1.1 有理数的引入-【指南针·课堂优化】2024-2025学年七年级上册数学（华东师大版）

第1章有理数 第1章 有理数 1.1 有理数的引人 【例1】填空： 第1课时 正数和负数 (1)若盈利10000元，记作+10000元，则亏 损3600元，记作 元 知 识 梳 理 (2)向东走50米，记作+50米，则向西走 1.相反意义的量 一20米，表示的意义是 (1)定义：相反意义的量是指两个数量，它 们所表示的意义恰好相反， (2)相反意义的量必须具备两个条件： ①两个量所表示的属性相同，是同一类对 规律与方法：在含有相反意义的量的实际问题中， 象，也就是说这两个量的单位相同： 将其转化为数学问题，用数学符号来表示，题中没 ②两个量表示的意义恰好相反 有指明哪一个量用正数表示，哪一个量用负数表 生活中存在大量具有相反意义的量，比如 示，习惯把“前进、上升、收入、零上、增加、多”等具 收入与支出、上升与降低、盈利与亏损等.我们 有向上趋势的量规定为正，而把“后退、下降、支出、 可以规定一种为正，则另一种即为负 零下、减少、少”等具有向下趋势的量规定为负。 2.正数与负数 【变式训练1】(1)下列不具有相反意义的 两个具有相反意义的量，将一种意义的量 量的是 () 规定为正，则另外一种与它意义相反的量就规 A.收人3万元和支出3万元 定为 ,所以我们得到了新的数，像一1， 一5，一3.5等这样带“-”号的数叫做 B.温度升高2℃和下降2℃ 像3,500，+1.2等这样带“+”（读作“正”号）的 C.大了2岁和重了2公斤 数（通常省略“+”）叫做 D.盈余25万元和亏损10万元 3. 既不是正数，也不是负数 (2)(河北中考)规定：（→2）表示向右移动2 记作+2，则（←3）表示向左移动3记作() 典例 精析 A.+3 B.-3 考点①用正负数表示具有相反意义的量 e D.+号 。1 格南针·课堂犹化·七年纸上册·数学(HS) (3)用正数和负数表示下列具有相反意义 【变式训练3】(1)规定正常水位为0米， 的量。 高于正常水位0.2米时记作十0.2米.下列说法 ①粮食产量增产11%和减产6%. 错误的是 () A.高于正常水位1.5米记作+1.5米 B.低于正常水位0.5米记作-0.5米 ②向西走12米和向东走100米。 C.+3米表示水深为3米 D.一1米表示比正常水位低1米 (2)规定零上温度为正，那么零下温度为 考 点2 正数和负数 ,零上10℃用 来表示，零下 5℃用 来表示. 【例2】 在2 -2.5,0,-20%,+15, 0.2,-2,号中的正数有 课后演 练 负数有 【基础过关】 1.(吉林中考)月球表面的白天平均温度零上 126℃记作+126℃，夜间平均温度零下150℃ 规律与方法：正数有两种表示：一种是前面带 应记作 () “十”号，一种是前面不带“十”号：负数前面的 A.+150℃ B.-150℃ “一”号不能省略：0既不是正数，也不是负数。 C.+276℃ D.-276℃ 【变式训练2】指出下列各数中哪些数是 2.下列说法中，正确的是 () 正数，哪些数是负数 A.如果水位上升3米记作+3米，则表示相 -2,0,3,+5,-0.5,-2+0.75,100. 反意义的量一定为一3米 B.亏损一30元表示亏损30元 C.号2.5,2,0都是正数 D.-2,-1,0都不是正数 3.下面说法中正确的是 () 考点3)用正数和负数的相对性求解实际问题 A.“向东5米”与“向西10米”不是相反意义的量 【例3】(1)数学考试成绩80分以上为优 B.如果气球上升25米记作+25米，那么 秀，以80分为标准，阳老师将某一小组四名同学 一15米的意义就是下降-15米 的成绩记为+8，一3，+12，一6.这些同学中的 C.如果气温下降6℃记作一6℃，那么+8℃ 最高分数是 的意义就是零上8℃ (2)某食品包装袋上标有“净含量385克士5 D.若将高1米设为标准0米，高1.20米记作 克”，这包食品的合格净含量范围是 +0.20米，那么-0.05米所表示的高为 0.95米 。2· 第1章有理数 4.质检员抽查4个足球，其中超过标准质量的克数 (2)第一季度盈利12万元，第二季度亏损6 记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻 万元（盈利记为正）： 重的角度看，最接近标准质量的足球是 ( (3)飞机平稳地在9000米高空飞翔，潜艇在 -0.6 0.75 海平面下40米巡航（高于海平面记为正）. A B 5.(1)(雅安中考)如果用+3℃表示温度升高3 摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为 (2)(柳州中考)如果水位升高2m时水位变化 记作+2m,那么水位下降2m时水位变化记作 11.某产品的标准质量为200克，在一次质量检 6.在一次安全教育知识竞赛中，七年级(1)班参 验中，若超出标准质量记为正，不足的记为 赛选手的平均分为90分，张浩得了87分记作 负，规定：超出标准质量3克以上或低于标准 -3分，则王磊得了95分记作 ,李 质量4克以上，则该产品不合格.现抽取8件 金得了90分记作 样品进行质量检测，结果如下： 7.甲地区5月份平均温度为20℃，记录表上有5月 件号 12 3 4 5 6 7 8 份前三天的记录分别为十1.5,0，一3，如果把高 质量 +4-30 +2 -5 -2 -4+3 出平均温度的部分记为正数，那么这三天记录表 (1)质量为“0”代表的意义是什么？ 示的实际温度分别是 :最 (2)这8件产品中，合格的产品有几件？ 后两天的实际温度是22℃，18.5℃，那么这两天 (3)质量最多的是哪件？最少的呢？它们相 的温度记为 差多少？ 8.不用负数，说明下列一些话的意义： (1)前进-26步： (2)水位上升-10米： (3)成本增加-25%： (4)高出海平面-580米： 9在+8，-2,45,0，号.-814,001.-99各数 中， 是正数， 是负数 10.用正数、负数表示下列问题中的数量，并指 出在这些问题中数0表示的意义： (1)上升400米，下降300米（规定上升为 正)： ·3· 格南针·课堂花化·七年熊上册·数学(HS》 【能力提升】 第2课时 有理数 12.(南京中考)北京与莫斯科的时差为5小时， 例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时 知识梳理 间是8：00.小丽和小红分别在北京和莫斯 1.有理数： 和 统称有 科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00 理数 之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以 2.有理数的分类： 是北京时间 ( (1)按定义分类 A.10:00 B.12:00 正整数 C.15:00 D.18:00 整数零 13.某项科学研究以45分钟为1个时间单位，并 有理数 规定每天上午10时为0,10时以前记为负， 正分数 10时以后记为正.例如，9：15记为一1,10： 分数 45记为1等等.依此类推，上午7：45应记为 (2)按正负分类： 正整数 核 素 养 有理数零 14.观察下列数： -1,+2,-3,+4,-5,+6,-7,+8,-9,… 负分数 (1)请写出这一列数中的第100个数和第 注意：①分类的结果应是不重不漏： 2023个数. ② 和 统称为非负有理数： (2)在前2024个数中，正数和负数分别有多 和 统称为非正有理数： 少个？ ③正整数和零统称为非负整数，也叫自然数；负 (3)一2022是否在这一列数中，若在，请写出 整数和零统称为非正整数： 它是第几个数？若不在，请说明理由。 ④有限小数，无限循环小数，百分数都看成 分数 典 例 精 析 考点① 有理数的概念 【例1】(1)下列语句：①所有整数都是正 数：②所有正数都是整数；③小学里学过的数都 是正数：④奇数都是正数：⑤分数是有理数： ⑥在有理数中不是负数，就是正数.其中正确的 语句的个数为 () A.0 B.1 C.2 D.3 4 第1章有理数 (2)在-号，0,0.3四个数中，有理数的个 规律与方法：进行有理数的分类时，在遵守两种 数为 ( 分类标准的同时，应了解分数与有限小数及无限 A.1 B.2 C.3 D.4 循环小数之间可互化，即有限小数和无限循环小 数都是分数， 【变式训练2】(1)把下列各数填在相应的 规律与方法：解此类题的关键是正确理解概念， 集合中：，2-号3.1415，-20,00.38，- 反复推敲，用举反例的方法来排除求解. 2024,-0.25,-9,π. 【例2】下列说法中正确的个数有 ①一个有理数不是整数就是分数： 正有理数集合 …}: ②3.3不是整数： ③正有理数、负有理数统称为有理数： 负有理数集合 ④非负有理数不包括零。 A.1个B.2个 分数集合 …: C.3个 D.4个 规律与方法：对有理数的意义和分类要正确理 非正数集合 解，特别地，有限小数、无限循环小数应看成分 数 负整数集合{ …}: 【变式训练1】下列说法正确的有 非负整数集合 …}. ①正数和负数统称为有理数： (2)将下列各数填入它所属于的集合的圈 ②非负分数就是正分数： ③所有的整数都是正数： 内：20，-0.08，-2号4.53.14，-1，+号+5. ④一个有理数不是整数就是分数。 考点2有理数的分类 【例3】把下列各数填人表示它所在的数 整数集合 负整数集合 集的括号里. 5%17.-9.25,,0.333…,10 -35, 35.02.-21.25,-5是 正分数集合 负分数集合 整数集：{ *} 探索：这四个集合合并在一起 (填 负整数集：{ …}: “是”或“不是”)全体有理数集合.若不是，缺少 负分数集：{ …}； 的是 正数集：{ …}. ·5· 格南针·课堂花化·七年熊上册·数学(HS》 (4)是正数但不是分数： 演 练 (5)最小的非负有理数： (6)最大的负整数是 ,最小的正整数 【基础过关】 是 1.(重庆中考)下列四个数中，是正整数的是 ( 6.在有理数-8，号0,275，-合中，属于整数的 数有 个 A.-1 B.0 C.2 D.1 7.选择合适的数填在相应的括号里（每个数只 2.下列说法中，错误的有 ( 能选用一次). ①一247是负整数： ②1.5不是整数： 15,-5l.2,241.5 ③非负有理数不包括0： 小明是七年级学生，身高160厘米，体重 ④正整数、负整数统称为有理数； 千克.他每天坚持晨练30分钟，即使冬天的早上 ⑤0不是自然数. 温度达到 ℃，他也不怕，坚持锻炼他沿着 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 学校400米的跑道跑3圈，共 千米，大约用 3.下列关于“0”的说法正确的是 ( ①是整数，也是有理数： 分钟，跑步时间占整个晨练时间的 ②不是正数，也不是负数： 8.把下列各数分别填入相应的集合里： ③不是整数，是有理数： ④是整数，不是自然数， -2.0,-0.314,1.2号.-40.3,2 5 A.①④ B.②③ 正有理数集合：{ …} C.①② D.①③ 4对于下列各数：-5,0，号，-0.2,10%，8其中 负有理数集合：( …}: 说法错误的是 ( 整数集合： …} A.-5,0,8都是整数 自然数集合：{ …} B分数有号，-0.2.10% 分数集合： … C正数有号，10%，8 9.有一次同学聚会，小王的座位号与下列一组 数中的负数的个数相等，小李的座位号与下 D.一0.2是负有理数，但不是分数 列一组数中的正整数的个数相等。 5.分别写出一个符合下列要求的有理数. (1)是整数又是负数： 5,-8 号0.-10，+33，-4,1，-0.01. (2)是分数但不是正数： (3)既不是正数又不是负数：； 53,-2 ,-10%,+200,-20. ·6… 第1章有理数 (1)小王，小李的座位号各是多少？ 别表示什么数的集合吗？ (2)若这同学聚会的人数是小王座位号的2倍 (1) 与小李座位号的4倍的和，问这次聚会到了多 少名同学？ 正数集 分数集 (2) 负数集 整数集 【能力提升】 10在-1号20%，号.03,0，-1.7,21，-2. 核 心 养 晋：7.0101001（每两个1之间的个数逐 13.在小学我们学习了偶数0,2,4,6,8，…以及 次增加1)中正数有m个，非负整数有n个， 奇数1,3,5,7,9，…，现在我们学习了负数， 正分数有k个，则m一n一k= 也知道了负偶数与负奇数，负偶数一2，一4， 1L.如果一个四位自然数abd满足ab一cd=60, 6,一8，…，负奇数1，一3，-5，-7.…，下 那么称这个四位数为“弦歌六秩数”.例如： 面我们将这些负偶数与负奇数排列（如图）： 四位数2024，，20-2×4=12≠60，∴.2024 第一列第二列第三列第四列第五列 不是“弦歌六秩数”：又如：四位数7025,70 -1 -2 -3 -4 -2×5=60,.7025是“弦歌六秩数”.若四 一8 -7 -6 -5 位数6m2n是“弦歌六秩数”，则m与n的关系 -9 -10 -11 -12 为 ;若“弦歌六秩数”abcd满足它 -16 -15-14 -13 的前两位数字组成的两位数ab与它的后两 位数字组成的两位数cd之差能被11整除，且 在上述的这些数中，观察它们的规律，并求 满足它的前三位数字组成的三位数abc与它 一101在哪一列？ 的个位数字d之和能被10整除，则满足条 件的“弦歌六秩数”的最小值为 12.如图，请将下列数值填人相应的圈内： -32-0.5,27-4,01.5.+8-3,+ 2.5,-11. 你能说出(1)、(2)中这两个圈的重叠部分分 。7·青南竹·说堂倪化·七年视上普·段字(H5)参考答案 指南针·课堂优化·七年级上册·数学·同步参考答案 (2)正数和载数都有1012个 到，第100个数弃第五列.新以第10个数在第 第1章有理数 ()银据样列观律，一2022不在这一…列数中.观 限列，群一101在第四列. %周略，-是<-1<是<0<号<2<号 由略 9,(1)A.B.C.D表示的数分别是-3，一1.5,02： 1.2数轴 (2)①由数轴得，大于一3并且小于3的整数有5 1,1有理数的引入 第2课时有理数 个：-2.一1,0.1,21 解阳镜理 第1课时数种 多在数射上到表示一1的点的能真等于1个单位 第1课时正t和真最 L.整数分数 知识镜理 长度的点表示的数是2虔0. 知识镜建 2负整数负分数正有理数正分数负有见数1.期在正方向单位长度 负整数©零正有理数零负有里数 nDL.-<-1<-<B<a<1<d 2负负数正数3零 工氟点右边螺点原点左边的点直线 典例精析 接心素养 典例精析 奥例精斯 12.(》-3<-1.32<3.5 【变式调炼1】(1C(2B 【度式辅练1】的 【变式明搐1】A【变式调练2】A 【变式n练2】停2.a15,a38,224 (2》点A对度一5，点H对应一3，点C对应0， ①规定培产为正，增产1⅓记作十11%，减产 【壹式练3】(1)D(2)8 点D对位1.i,=1<=3.5<0<L3: 6%记作一6%. 课后清练 3》顺序设有改变.数结上右边的数总比左边的 四规定向东为正，向我走2米记作一12来，向东走 1.B2.日3，H4.5.D 数大 100表记作十10米， 号.-号4，音一药 61)左8510(2)-8或8 【变式圳炼2】正数：3.十5，十山.而，100 5 38《脑链7米一)男昌，一青 1,3相反数 言200.帚-025、-0 1级.阁略 知识棱理 负数：一4，一5，一7 一00，-9 1L,1)A.C两点间的距商是45，，D5点间的距 L.(1)相等《2不间3)一40 【变式训体】(1)0少负n℃ 2,0.202 南是2. 2,(1)"++ (2)”-“ 课后需塔 (2)图略不是 (2点A表示一L3,点C表示a,点D表不立 典例精析 1.B2.D3D4B51)-2t 21-2m 课后淡练 ()点C表示一3或1. 【变式调练1】1D2)日 6十5分0分 1,D2.C3C4D 7.21℃，20,17℃+2.-1无 5.1)-02)-0730(4)12 2B81号 【变式知练2】1泪 (?处负数正数0正数负数0 保(1)后县2步8)水位下降10米 (50(61-1.1 结心素养 【交式御连】22)-202：276号 3)成本减少25⅓(4低干海平面50米 失+54.号a.01-3.-314.-997 627机5-5g5是 14《1)2(2①一3点A表示的数是一3,5.点 B表示的敷是品品 课后演练 %1号3,2是-名，-3别.-4 1.D2.A3B4.B5.D6.B 第2课时在数抽上比饺教的大小 1山，(1)十00米。一00米，0米表示不升也降， 7.0号g58)-0-2号 (2)十12万无，一6万元，0万元表示不堂利也 -3,8,110,11 如识统理 8,(1)5.4一902》-2m3)-r一y 不亏机 (1大2)正数，负数正数负数4>0 调 (4D1(5)7 (3)十000采。.一40米，9米表示承等享面的高度 g-04<04020 9,(1)十2的相反数是一2，一3的图反数是3,0的 11.(1)质量为“0“代表质量为200克. 男.(1》小王的座位号是7，小李的怪位号是 卖例精朝 (2)6件 (2》这次聚会判了30名与学 【变式明城1】(1)D2)g<66) 相反数是0，一（一1）的相反数是一上，-3安的相 (a)质量最多是第一作，整少的是第5件，它门相1011山，m=2w61 【变光明捕1】1)>()<31<(4)> 是9克 12图略，目)中重叠富分是正分数(2)中重叠溶分课后清练 反数是3子一（十）的刚反数是L图略 12.13.-3 是负整登 1B2.A3.C4.D (2)象数与其相反数对应的点线原点的距离相等， 楼心素养 信心素养 511<(2)3)=《41<5) 0.(1》点D表示的数是0《2》点C表示的数星是 14.61)+100:-2023 15以8个数作为一个桶环段，制第5个数在第+最一1【0无7，a一4 -3. 205 206