精品解析：吉林省松原市前郭县2023—2024学年度名校调研九年级第四次 数学模拟测试

名校调研系列卷·九年级第四次模拟测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的定义即可求解，相乘等于1的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 2. 根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；近地点高度约384000米； 将数据394900用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：C． 3. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ） A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可． 【详解】解：在滚动过程中主视图会发生变化； 在滚动过程俯视图会发生变化； 在滚动过程左视图不会发生变化； 故选：A． 【点睛】本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算，注意运算的方法和化简的方法．运用二次根式四运算的方法直接计算，逐一分析得出答案即可． 【详解】解：A、，此选项错误； B、，此选项正确； C、，此选项错误； D、，此选项错误． 故选：B． 5. 如图，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据题意求出，根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 四边形为的内接四边形， ， ， ， 的度数为， 故选：C 6. 我国明代数学著作《算法统宗》记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两：若每人分九两，则还差八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组， 根据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两，构建方程组即可． 【详解】解：若设共有名客人，两银子， 可列方程组为：， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 8. 不等式的解集为__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤即可解题． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为得：， 故答案为：． 9. 如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了三角形具有的________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性即可解题． 【详解】解：为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，是利用了三角形具有的稳定性， 故答案为：稳定性． 10. 如图，已知，，，，那么__________． 【答案】##28度 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质．首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D、B，使点A、D、B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取一点C，测得如果，则河宽为___________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 即河宽为． 故答案为：45 12. 如图，将一个三角形纸板的顶点放在上，经过圆心．，半径，则在上被这个三角形纸板遮挡住的的长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、弧长公式的计算，连接，由圆周角定理可得，代入弧长公式计算即可求出的长，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴的长， 故答案为：． 13. 如图，依据尺规作图的痕迹，若，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质．本题先证明，求解，结合角平分线的作图以及三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可得：是的角平分线， ∴； ∵， ∴ 故答案为：． 14. 如图是一款抛物线型落地灯简示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面2.25米，最高点C距灯柱的水平距离为1.5米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为____________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力，解题的关键是建立坐标系，将实际问题转化为数学问题．以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则点C坐标，点B坐标 设抛物线的解析式为， 将点B代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得：（舍去）或， 茶几到灯柱的距离为米， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，涉及平方差公式，完全平方公式及多项式除以单项式的运算，先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后再进行多项式除以单项式的运算即可化简，再代求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图，在，，，分别过点A，B向过点C的直线l作垂线，垂足分别为M，N． 求证：． 【答案】 证明：∵， ， ∵分别过点向过点的直线作垂线，垂足分别为， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先证出，再利用定理即可得证． 【详解】略 17. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率为，利用该单位4月份纸的用纸量该单位2月份纸的用纸量从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率为， 根据题意得：， ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该单位纸的用纸量月平均降低率为． 18. 陕西物产丰富，特产有很多．某数学兴趣小组制作了四张特产卡片，卡片除正面内容不同之外，其他均相同．将如图所示的四张卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上． （1）若小宇从中随机抽取一张，则抽到“．西安凉皮”的概率为　　； （2）若小雅从中随机抽取一张（不放回），然后再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求小雅抽取的两张卡片都是水果的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）利用画树状图的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“．西安凉皮”的结果有1种， 抽到“．西安凉皮”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小雅抽取的两张卡片都是水果的结果有：，，共2种， 小雅抽取的两张卡片都是水果的概率为． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图1、图2、图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．请按要求仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写画法． （1）在图1的网格内作一点，使得，且； （2）在图2的网格内作一点，使得点为线段的中点； （3）在图3的网格内作一点，满足点在线段上，且平分． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质，如图所示，取点，连接，由平行四边形性质即可得到答案； （2）如图所示，取中点，再取格点，连接交于点，由全等三角形的判定与性质即可得到答案； （3）在中，，则根据勾股定理可知，如图所示，延长 到，使，连接，取中点，连接，由等腰三角形“三线合一”性质即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查复杂作图，涉及平行四边形判定与性质、平移性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及等腰三角形性质． 20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表． 课题 古代典籍数学文化探究 工具计 算器、纸、笔等 示意图 说明 图2是桔槔的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． 参考数据 计算 求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1） 过程 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图：过A作底面的垂线，过O作，两垂线相交于C；根据角的和差和解直角三角形可得，再说明四边形是矩形可得米，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过A作底面的垂线，过O作，两垂线相交于C, ∵米，， ∴, ∵， ∴， ∴米， ∵是垂直于水平地面，， ∴四边形是矩形， ∴米， ∴点A位于最高点时到地面的距离米． 21. 如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点、，交轴于点C，点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为一次函数在第一象限内图象上的一点，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接，若点是的中点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的性质与判定； （1）先把点的坐标代入一次函数得到值，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）作轴，延长交轴于点，先证明，得到，求出值，分别将值代入直线解析式和反比例函数解析式求出点坐标及点坐标即可． 【小问1详解】 解：将点的坐标，代入 得：， ,， 在反比例函数图象上， 反比例函数解析式为 【小问2详解】 在一次函数中，当时，， ，即， 如图，作轴，延长交轴于点， ， ， ，即 ， 当时，解得， ， 当时，， ∴ 22. 某中学注重学生书法练习，并将其作为家庭作业的一项必查内容，为了解学生每周在家书法练习时间t（小时）的情况，随机抽取了部分学生进行调查并整理分析，共分为A、B、C、D、E五个组别，其中A组的数据分别为0.3，0.3，0.5．0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 组别 时间t/小时 频数 5 12 20 8 学生每周在家书法练习时间的频数分布表 请根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ； （2）A组数据的中位数是 ，D组所在扇形的圆心角的度数是 ； （3）若该校有1200名学生估计该校学生每周在家书法练习时间超过1.5小时的人数． 【答案】（1）60 （2）0.3； （3）460人 【解析】 【分析】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，中位数定义，求扇形统计图圆心角度数，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用组频数除以其所占百分比，即可解题； （2）根据中位数的定义求解即可得到A组的数据中位数，利用乘以D组所占比即可得到D组所在扇形的圆心角的度数； （3）利用样本中学生每周在家书法练习时间超过1.5小时的人数占比乘以总人数即可解题． 【小问1详解】 解：由图表可知：组频数为，占扇形图面积的， 故本次调查的样本容量为：， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：将A组的数据从小到大排列为：0.3，0.3，0.3．0.4，0.5，故A组的数据中位数为0.3； 由（1）可知：本次调查的样本容量为60，故D组频数为：， D组所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：0.3；90°； 【小问3详解】 解：（人）． 答：该校有1200名学生估计该校学生每周在家书法练习时间超过1.5小时的人数为人． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 甲、乙两人分别开汽车和骑自行车沿着相同的路线同时从A地出发驶往B地，甲到达B地后休息一段时间原路返回A地．他们离A地的距离随时间的变化如图所示，请根据图中提供的信息，解决下列问题． （1）A、B两地相距 ，去B地时甲的速度为 ，乙的速度为 ； （2）若甲返回时在离B地千米处与乙相遇，求线段的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）在（2）的条件下，在甲返回A地的过程中，直接写出当x为何值时，甲、乙两人之间的距离恰好是10千米? 【答案】（1）30； 60；15 （2） （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，关键是看懂图象所表示的意义，利用待定系数法求出甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式． （1）根据图象可得两地相距，根据“速度路程时间”即可求出去B地时甲的速度以及乙的速度； （2）设乙出发x小时，甲返回时与乙相遇，先求出相遇时间，得到点D的坐标，再得出的函数关系式即可； （3）根据题意分类讨论并列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：由题意，得两地相距，去B地时甲的速度为，乙的速度为：； 【小问2详解】 解：设乙出发x小时，甲返回时与乙相遇，依题意， ， 解得， ∴两直线的交点D为， 设线段的解析式为：， 则， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴； 【小问3详解】 解：①若甲从B地返回A地尚未与乙相遇时，甲乙之间的距离10千米时，则： ， 解得； ②若甲从B地返回A地与乙相遇后，甲乙之间的距离10千米时，则： ， 解得 综上，或时，甲乙之间的距离恰好是10千米． 24. 如图在正方形中，E是对角线上的一动点（不与点B，D重合），连接，过点E作交射线于点F，接． （1）发现问题：如图1，当点F落在边上时，和的数量关系是 ． （2）探究问题：如图2当点F落在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． （3）拓展应用：当点E在射线上运动，且时，求的面积． 【答案】（1） （2） （1）中结论仍然成立，理由如下： 如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形 ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）5或13 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等： （1）过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H，证明四边形是正方形得到，进而证明，即可得到 （2）仿照（2）求解即可； （3）分点E在线段上和在线段的延长线上两种情况利用勾股定理求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形 ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图当点E在线段上时， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， 又∵， ∴； 如图所示，当点E在延长线上时，过点E分别作直线，直线的垂线，垂足分别为H、G 同理可得四边形是正方形， 同理可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为5或13． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，为斜边上的中线．点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，过点P作于点E，于点F，得到四边形，与四边形的一边交于点G．设点P的运动时间为t（秒）． （1）求线段的长（用含t的代数式表示）； （2）当四边形是正方形时，求t的值； （3）当点P不与点A、B、D重合时，设四边形与重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （4）当将四边形的面积分为的两部分时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， （4）或 【解析】 【分析】（1）根据题干条件证得四边形为矩形，从而证得，再根据矩形的性质和相似三角形性质即可解题； （2）根据（1）中结论和正方形的性质即可解题； （3）根据三角形中线的性质即可得出，，再利用三角函数即可求得四边形截出三角形的直角边长，从而求得四边形与重叠部分图形的面积； （4）根据（3）结果，分别讨论和两种情况即可． 【小问1详解】 解：，，， ， ，，， 四边形为矩形， ， ， 点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，点P的运动时间为t， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ， ， 四边形是正方形， 即， 解得：； 【小问3详解】 解：为斜边上的中线， ，，， 点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点B运动， 当时，点P正好在A点，当时，点P正好在D点，时点P正好在B点， 又点P不与点A、B、D重合， 当时， ， ， ， ， ， 即； 当时，， ， ， ， ， ， 【小问4详解】 解：当将四边形的面积分为的两部分时，存在两种情况： 当时，， 由（3）可得：， 解得：， 当时，， 由（3）可得：， 解得：或（舍去）． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质，三角形中线的性质，三角函数，二次函数的实际应用，以及分类讨论思想，熟练运用三角函数是解题的关键． 26. 如图、在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点A在抛物线上，点A的横坐标为m．点C的坐标为，以为对角线作矩形，使轴． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）求抛物线与y轴的交点坐标； （3）当时，求抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差； （4）当抛物线与矩形的边恰好有4个交点（包含端点）时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）2 （4）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用． (1)运用待定系数法即可求得答案； (2)令函数解析式中的横坐标为0，求得纵坐标的值，即可得到答案． (3)当时，可得，结合图形即可求得答案； (4)当，解得：， 当，解得即可得出答案； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点 ∴，解得 ∴抛物线所对应的函数解析式为； 【小问2详解】 在函数解析式中，令，得， ∴抛物线与y轴的交点坐标是． 【小问3详解】 当时，则， ， 把代入得 ∵以为对角线作矩形，使轴， ∴，如图， ∴抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值为4，最小值为2， ∴最大值与最小值的差为； 【小问4详解】 由题意得： 当解得， ， 当解得：， 综上:或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·九年级第四次模拟测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；近地点高度约384000米； 将数据394900用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ） A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 我国明代数学著作《算法统宗》记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两：若每人分九两，则还差八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 分解因式：2x2﹣8=_______ 8. 不等式的解集为__________________． 9. 如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了三角形具有的________． 10. 如图，已知，，，，那么__________． 11. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D、B，使点A、D、B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取一点C，测得如果，则河宽为___________． 12. 如图，将一个三角形纸板的顶点放在上，经过圆心．，半径，则在上被这个三角形纸板遮挡住的的长为______．（结果保留） 13. 如图，依据尺规作图的痕迹，若，，则的度数为______． 14. 如图是一款抛物线型落地灯简示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面2.25米，最高点C距灯柱的水平距离为1.5米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为____________米． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 先化简，再求值： ，其中． 16. 如图，在，，，分别过点A，B向过点C的直线l作垂线，垂足分别为M，N． 求证：． 17. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率． 18. 陕西物产丰富，特产有很多．某数学兴趣小组制作了四张特产卡片，卡片除正面内容不同之外，其他均相同．将如图所示的四张卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上． （1）若小宇从中随机抽取一张，则抽到“．西安凉皮”的概率为　　； （2）若小雅从中随机抽取一张（不放回），然后再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求小雅抽取的两张卡片都是水果的概率． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图1、图2、图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．请按要求仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写画法． （1）在图1的网格内作一点，使得，且； （2）在图2的网格内作一点，使得点为线段的中点； （3）在图3的网格内作一点，满足点在线段上，且平分． 20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表． 课题 古代典籍数学文化探究 工具计 算器、纸、笔等 示意图 说明 图2是桔槔的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． 参考数据 计算 求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1） 过程 21. 如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点、，交轴于点C，点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为一次函数在第一象限内图象上的一点，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接，若点是的中点，求点的坐标． 22. 某中学注重学生书法练习，并将其作为家庭作业的一项必查内容，为了解学生每周在家书法练习时间t（小时）的情况，随机抽取了部分学生进行调查并整理分析，共分为A、B、C、D、E五个组别，其中A组的数据分别为0.3，0.3，0.5．0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 组别 时间t/小时 频数 5 12 20 8 学生每周在家书法练习时间的频数分布表 请根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ； （2）A组数据的中位数是 ，D组所在扇形的圆心角的度数是 ； （3）若该校有1200名学生估计该校学生每周在家书法练习时间超过1.5小时的人数． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 甲、乙两人分别开汽车和骑自行车沿着相同的路线同时从A地出发驶往B地，甲到达B地后休息一段时间原路返回A地．他们离A地的距离随时间的变化如图所示，请根据图中提供的信息，解决下列问题． （1）A、B两地相距 ，去B地时甲的速度为 ，乙的速度为 ； （2）若甲返回时在离B地千米处与乙相遇，求线段的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）在（2）的条件下，在甲返回A地的过程中，直接写出当x为何值时，甲、乙两人之间的距离恰好是10千米? 24. 如图在正方形中，E是对角线上的一动点（不与点B，D重合），连接，过点E作交射线于点F，接． （1）发现问题：如图1，当点F落在边上时，和的数量关系是 ． （2）探究问题：如图2当点F落在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． （3）拓展应用：当点E在射线上运动，且时，求的面积． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，为斜边上的中线．点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，过点P作于点E，于点F，得到四边形，与四边形的一边交于点G．设点P的运动时间为t（秒）． （1）求线段的长（用含t的代数式表示）； （2）当四边形是正方形时，求t的值； （3）当点P不与点A、B、D重合时，设四边形与重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （4）当将四边形的面积分为的两部分时，直接写出t的值． 26. 如图、在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点A在抛物线上，点A的横坐标为m．点C的坐标为，以为对角线作矩形，使轴． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）求抛物线与y轴的交点坐标； （3）当时，求抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差； （4）当抛物线与矩形的边恰好有4个交点（包含端点）时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $