精品解析：2024年山东省淄博市北部中考一模数学试题

2023—2024学年度第二学期期中复习训练题 九年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分．） 1. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立体几何的三视图，理解并掌握三视图的特点是解题的关键． 根据立体几何的特点，确定三视图，注意：立体几何中能看到的线用实线，存在但看不到的线用虚线表示，由此即可求解． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形， 即看到的图形为， 故选：C． 2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：∵抛物线先向左平移2个单位， ∴， ∵抛物线向下平移3个单位， ∴， 故选：A． 3. 新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择化学和生物的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 思想政治 地理 化学 生物 思想政治 （思想政治，地理） （思想政治，化学） （思想政治，生物） 地理 （地理，思想政治） （地理，化学） （地理，生物） 化学 （化学，思想政治） （化学，地理） （化学，生物） 生物 （生物，思想政治） （生物，地理） （生物，化学） 共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种， 恰好选择化学和生物的概率为． 故选：B． 4. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， ， 同理可得，， 又双翼边缘的端点与之间的距离为， ， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 5. 在同一平面直角坐标系中，函数 和 交于点 ，则点 的纵坐标为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查两条直线的交点问题，先联立方程组，然后两式相加消去，即可求出y，从而得解，掌握求两直线交点的方法是解题的关键． 【详解】解：联立方程组得：， 得：， 解得：， 即点A的纵坐标为2， 故选：A． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可作答． 【详解】， 解不等式，得：； 解不等式，得：； 即不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求解不等式组的解集并在数轴上表示解集的知识，注意，含端点时用实心点，不含端点时，用空心点． 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键． 8. 如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（ ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 9. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 10. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ） A. 12 B. 24 C. 14 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置． 连接，根据直角三角形的性质得出，说明要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值，过点M作轴于点Q，根据勾股定理求出，得出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 点A、点B关于原点O对称， ， ， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值， 过点M作轴于点Q， 则， ， 又， ， ． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分．） 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法以及完全平方公式． 【详解】解： 故答案为： 12. 在中，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，特殊角的三角函数，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得，，进而可得，，由特殊角的三角函数可得，，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 13. 如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线那么一元二次方程的根是______ ． 【答案】， 【解析】 【分析】求出关于直线对称的点是，两个点的横坐标即为所求． 【详解】关于直线对称的点是， 、是抛物线与轴的交点， ，是一元二次方程的根， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，关键是利用对称性确定点的坐标． 14. 如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，设，，证明，求得，由折叠的性质求得，在中，利用勾股定理列式计算，即可求解． 【详解】解：连接，设，， 由矩形的性质和折叠的性质知，，， ∵，， ∴， ∴， 由矩形的性质知： ∴， 折叠的性质知：， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴，即， 在中，，即， 解得， ∴， 故答案为： 15. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有__________（填序号）． 【答案】①③⑥ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据二次函数图象，确定字母系数的符号和相关式子；根据二次函数图象的性质，逐项判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知， 抛物线开口向下，， 因为抛物线的对称轴为直线， 所以，即， ∵抛物线与y轴交点在正半轴， ∴ 所以． 故①正确． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以． 故②错误． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即， 所以， 即． 故③正确． 因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 则． 又因为， 所以． 故④错误． 当点在抛物线对称轴的右侧时， 因为抛物线开口向下， 所以在对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小， 即时，． 故⑤错误． 方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标， 因为抛物线经过点， 所以函数的图象与直线的一个交点的横坐标为． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以函数的图象与直线的另一个交点的横坐标为5， 所以关于x的一元二次方程的两根分别为． 故⑥正确． 故答案为：①③⑥． 三、解答题（共8小题，共90分．） 16. （1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解不等式组，解题的关键是利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）方程两边都乘以得出方程，求出方程的解，再进行检验即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）方程两边都乘以得：， 解这个方程：， 检验：把代入， 原方程的解为； （2）， 解①，得； 解②，得． 原不等式组的解集为． 17. 如图，，平分，且交于点D，过点D作交于点C．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵,， ∴四边形平行四边形， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定．先证明四边形平行四边形，利用平行四边形的性质和角平分线的定义求得，推出，即可证明四边形是菱形． 【详解】略 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为、，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意． 19. “1000米跑步”是体育中考的必考项目，某校为了了解学生长跑能力，学校从初三800名学生中随机抽取部分学生进行测试，并将跑步时间折算成得分绘制统计图（部分信息未给出），其中扇形统计图中8分的圆心角度数为90°． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求抽取学生的总人数，并补全频数分布直方图； （2）如果全体初三学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初三学生获得10分学生的人数； （3）经过一段时间训练，学校将从之前抽测获得7分的3位同学（2名男生，1名女生）当中抽取2人再次测试，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率． 【答案】（1）抽取学生的总人数为80名， 补全频数分布直方图如下∶ （2）250名； （3）． 【解析】 【分析】（1）求出抽取的总人数，即可解决问题； （2）由初三学生总人数乘以获得10分学生的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：获得8分的学生的人数占抽取人数的百分比为∶， 则剩余学生人数为∶（名），占抽取人数的， 抽取学生的总人数为∶（名）， 获得8分的学生的人数为∶ (名)， 【小问2详解】 解：估计该校初三学生获得10分学生的人数为∶ (名)； 【小问3详解】 解：画树状图如下∶ 由树状图可知，共有6种等可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2种，恰好抽到抽到2名男生的概率为． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． （1）求点到墙面的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， 【小问1详解】 解：过点A作，垂足为F， 在中，（米）， ∴（米）， ∴点A到墙面的距离约为米； 【小问2详解】 解：过点A作，垂足为G， 由题意得：，（米）， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中， ∴（米）， ∴（米）． 21. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM． （1）求m的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集； （3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1）；（2）＞；（3）,△BMN的面积最大为 【解析】 【分析】（1）先求解的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可； （2）不等式2x＋6－＞0即不等式＞，结合图象可得答案； （3）先求解的坐标，再求解的长度，利用三角形的面积公式列函数关系式，再利用二次函数的性质求解面积的最大值即可. 【详解】解：（1） 直线y＝2x＋6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8）， 反比例函数的解析式为： （2） 观察图象，可得当x＞0时，不等式2x＋6－＞0的解集为： ＞. （3）与x轴交于点B， 令 则 直线y＝n与 反比例函数分别交于 当时， 同理： 0＜n＜6 而函数的对称轴为：，＜ 当时，最大， 最大面积为： 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的性质，利用待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，熟练的列二次函数的关系式，再利用二次函数的性质求解面积的最值是本题的难点. 22. 【问题初探】（1）如图1，正方形中，，点，点在边上，连接，，将沿着直线折叠，将沿着直线折叠，点，点的对称点恰好都为点，过点作垂直于，交于点，交于点，请直接写出线段的长度． 【类比分析】（2）如图2，矩形中，，，点，点在边上，连接，，将沿着直线折叠，将沿着直线折叠，点，点的对称点恰好都为点，过点作垂直于，交于点，交于点，求线段的长度． 【学以致用】（3）如图3，四边形中，，点为四边形内部一点，连接，，，，，，．求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：延长至，使，延长至点，使， ， ， ， ， ， ， ，， 同理可得， ，， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ． 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，折叠变换的性质等，熟练掌握以上知识是解本题的关键． （1）由折叠的性质得出，，，证出，由勾股定理求出，则可得出答案； （2）证明，得出，求出的长，由等腰三角形的性质可得出答案； （3）延长至，使，延长至点，使，证明，得出，，同理可得，得出，，证出四边形为平行四边形，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵将沿着直线折叠，将沿着直线折叠， ，，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， ； （2）解：同（1）可知，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ； （3）略 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点： ①当点P运动到抛物线顶点时，求此时的面积； ②点在运动的过程中，是否存在周长的最大值，若存在，请求出周长的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①的面积为1；②存在，周长的最大值为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据题意，运用待定系数法，将和的坐标代入，解二元一次方程组即可得到答案； （2）①根据题意，求出和，利用待定系数法确定函数关系式，再由三角形相似的判定得到，进而结合相似性质求解即可得到答案；②根据题意，设点，则点，利用两点之间距离公式得到，由二次函数图象与性质求出最大值，借助，再由相似三角形的性质求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：将和的坐标代入， 得，解得， 抛物线的表达式为；, 【小问2详解】 解：①令，解得或3，即点， 令，则，即点， 设直线的表达式为，将和代入表达式， 得，解得， 直线的表达式为：，则， ， ，， 点是抛物线的顶点， 点， 轴， 点的横坐标为，， 点， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为1； ②存在，设点，则点， ， ， 抛物线开口向下， 当时，最大，为， ， ，即， 当最大，即时，最大， ， ， 周长的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数综合，综合性强、难度较大，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟记二次函数综合的常见题意，灵活运用相关性质与判定求解是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期期中复习训练题 九年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分．） 1. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，函数 和 交于点 ，则点 的纵坐标为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（ ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 22 9. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ） A. 12 B. 24 C. 14 D. 28 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分．） 11. 因式分解：____________． 12. 在中，若，则_______． 13. 如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线那么一元二次方程的根是______ ． 14. 如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为_________． 15. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有__________（填序号）． 三、解答题（共8小题，共90分．） 16. （1）解方程： （2）解不等式组： 17. 如图，，平分，且交于点D，过点D作交于点C．求证：四边形是菱形． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为、，且，求m的值． 19. “1000米跑步”是体育中考的必考项目，某校为了了解学生长跑能力，学校从初三800名学生中随机抽取部分学生进行测试，并将跑步时间折算成得分绘制统计图（部分信息未给出），其中扇形统计图中8分的圆心角度数为90°． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求抽取学生的总人数，并补全频数分布直方图； （2）如果全体初三学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初三学生获得10分学生的人数； （3）经过一段时间训练，学校将从之前抽测获得7分的3位同学（2名男生，1名女生）当中抽取2人再次测试，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率． 20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． （1）求点到墙面的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 21. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM． （1）求m的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集； （3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？ 22. 【问题初探】（1）如图1，正方形中，，点，点在边上，连接，，将沿着直线折叠，将沿着直线折叠，点，点的对称点恰好都为点，过点作垂直于，交于点，交于点，请直接写出线段的长度． 【类比分析】（2）如图2，矩形中，，，点，点在边上，连接，，将沿着直线折叠，将沿着直线折叠，点，点的对称点恰好都为点，过点作垂直于，交于点，交于点，求线段的长度． 【学以致用】（3）如图3，四边形中，，点为四边形内部一点，连接，，，，，，．求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点： ①当点P运动到抛物线顶点时，求此时的面积； ②点在运动的过程中，是否存在周长的最大值，若存在，请求出周长的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $