精品解析：广西河池市2023-2024学年九年级下学期中考模拟数学试卷（二）

2024年广西初中学业水平考试模拟卷（二）数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 在世界数学史上首次正式引入负数的是中国古代著作《九章算术》．若某天中午的气温是，记作，则当天晚上的气温零下可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正数和负数表示相反意义的量，零上记为正数，可得零下记为负数，据此可得答案． 【详解】解：若某天中午的气温是，记作，则当天晚上的气温零下可记作， 故选：A． 2. “水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水!以下通过平移节水标志得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可． 【详解】解：只通过平移能与上面的图形重合． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的定义，平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键． 3. 下列几何体中，从正面看得到的平面图形是圆的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】A.主视图是三角形，故A不符合题意； B.主视图是正方形，故B不符合题意； C.主视图是圆，故C符合题意； D.主视图是一个矩形，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，熟悉常见几何体的三视图是解题关键． 4. 不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质将原不等式化为的形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法是正确解答的前提，理解不等式的性质是正确计算的关键． 5. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质定理，利用平行线的性质得出是解此题的关键．先根据三角形外角性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴．    ∵，，． ∴． 故选：D． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据整式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项不能合并，故错误，不符合题意； B、，故原计算错误，不符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：D． 7. 对甲、乙、丙、丁四名射击选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（ ） 选手 甲 乙 丙 丁 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差越小，越稳定判断即可．本题考查了方差的意义，解题关键是明确方差越小，波动越小． 【详解】解：因为乙的方差最小，所以乙的成绩最稳定； 故选：B． 8. 已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形的面积计算，关键是掌握扇形面积计算公式． 根据扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则进行计算即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，半径是6， ∴． 故选：A． 9. 在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，根据“2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，”即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，根据题意得： ． 故选：D 10. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B==70°， ∴∠AED=70°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 11. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形； 第二步：分别取、的中点M、N，连接； 第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E； 第四步：过点E作，交的延长线于F． 则所作图形中是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形和 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理．设正方形的边长为，结合线段中点特点得到，，由勾股定理可得，进而可得，再利用黄金矩形的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为， 、N为、的中点， ，， ， 由画图可知：， 对于矩形，，不是黄金矩形； 对于矩形，，是黄金矩形； 对于矩形，，不是黄金矩形； 对于矩形，，是黄金矩形； 矩形和是黄金矩形， 故选：D． 12. 如图，反比例函数的图像与的直角边相交于点C，直角顶点B在轴上，交斜边于点D，若，且，则的值为（ ） A. 16 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出的值．根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质得出，,，进而求出即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点， 的面积和的面积相等，即， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 要使根式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 14. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 15. 为的直径，弦于点，已知，，则的直径为_________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理等知识点，能根据垂径定理求出的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， 为的直径，弦于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 所以的直径为20， 故答案为：20 16. “八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______（填写“必然事件”或“不可能事件”或“不确定事件”）． 【答案】不确定事件 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”可能发生，也可能不发生，属于随机事件． 【详解】解：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”可能发生，也可能不发生，是不确定事件， 故答案为：不确定事件． 17. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC的长为24米，则旗杆AB的高度是__________米． 【答案】8 【解析】 【分析】由于旗杆、地面及太阳光线恰好构成直角三角形，故=tan30°，由此即可得出AB的长． 【详解】解：∵旗杆、地面及太阳光线恰好构成直角三角形， ∴=tan30° ∴AB=BC•tan30°=24×=8 故答案为8. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解题关键． 18. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B顺时针旋转与x轴交于点C，则直线的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先求出A、B的坐标，得到；过点A作交于D，过点D作轴于E，通过证明，求出，进而利用待定系数法求出对应的解析式即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 如图所示，过点A作交于D，过点D作轴于E， 由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据配方法求解即可． 【详解】解：， ∴， ， ， ，． 21. 如图，在中，，，作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E． （1）依题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 【答案】（1） 补全图形如下： （2） 证明：如图，连接， 由（1）知，是线段的垂直平分线， ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，以及直角三角形的性质，关键是正确掌握垂直平分线的作法，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线即为所求； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角可得，然后再计算出的度数，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半进而可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】（1）162；162 （2）175；108 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可得答案． （2）先用选择项目的男生人数除以扇形统计图中的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中的百分比可得选择项目的男生人数；用乘以扇形统计图中得百分比即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162， 该组数据的中位数是． 该组数据中出现次数最多的为162， 该组数据的众数为162． 故答案为：162；162． 【小问2详解】 全校的男生人数为（人， 选择项目的男生共有（人． 扇形统计图中项目所占圆的圆心角为． 故答案为：175；108． 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， 甲和乙同学同时被选中的概率为． 23. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1）坐垫到地面的距离约为 （2）的长约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义． （1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可； （2）根据坐㻗到的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为，求出，进而求出即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， ， ， 在中，， 所以坐垫到地面的距离为， 答：坐垫到地面的距离约为； 【小问2详解】 如图，由题意得，当时，人骑行最舒服， 在中，， 所以， 答：的长约为． 24. 如图，已知是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）设的面积为，求S与t的函数关系式； （2）作交于点R，连接，当t为何值时，． 【答案】（1） （2）当时， 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质、三角形相似、移动的特征、解直角三角形、函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神； （1）为特殊角，过作，垂足为，则、、高（含30度角的直角三角形的性质和勾股定理）的长可用表示，与的函数关系式也可求； （2）由题目线段的长度可证得为等边三角形，进而得出四边形是矩形，由，得出比例式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：过作，垂足为， 在中，，， ， 由，得 ； 【小问2详解】 解： ， 是等边三角形 ， 四边形是平行四边形 又， ， ， 解得 当时，． 25. 某汽车制造厂接到两项都为生产360辆汽车的任务． （1）完成第一项任务时，生产的第一天按原计划的生产速度进行，第一天后按原计划生产速度的1.5倍进行，结果提前3天完成任务，问完成第一项任务实际需要多少天？ （2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案(其中)． 甲方案：计划180辆按每天生产辆完成，剩下的180辆按每天生产辆完成，设完成生产任务所需的时间为天． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产辆，另一半时间每天生产辆． 请比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）完成第一项任务实际需要7天 （2）， 甲方案的天数为：， 乙方案，由题意得：， ， ∴ ， ，， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系并列方程是解题的关键，注意检验． （1）设设原计划每天生产辆，根据“前面做了1天，又提前3天完成任务”列出方程求解并检验即可； （2）根据不同的方案列式或列方程求出与，并比较大小即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天生产辆，则实际需要的天数是， 列方程得：， 即， 方程两边同乘得：， 解得：， 经检验：为原分式方程的解，符合题意， 完成第一项任务实际需要天数为：， 答：完成第一项任务实际需要7天； 【小问2详解】 略 26. 阅读理解： （1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ，（定角） 点在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长． 【答案】（1）， （2）2 （3）， 【解析】 【分析】本题要考查的是圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等等，理解题意运用各种性质解题即可． （1）①以点A(定点)为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，得出是的圆心角，而是圆周角，即可求出答案； ②先判断出，进而判断出，进而判断出点P在上，即可求出答案； （2）连接，，由，点B，点M关于直线对称，得出，进而推出点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值； （3）①由正方形性质可证可得，，由余角的性质可证②由题意可得点P的运动路径是以为直径的圆的，由弧长公式可求解． 【小问1详解】 解：①∵ ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，如图1： ∴， 故答案为∶． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以(定弦)为直的上，如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴ ∴， ∴最小值为2， 故答案为∶ 【小问2详解】 如图3，连接，， ∵点B，点M关于直线对称， ∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵ ∴， ∴的最小值为， 故答案为∶2 【小问3详解】 ①结论∶，， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， 在和中， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ②如图4，连接，交于点O， ∵点P在运动中保持， ∴点P的运动路径是以AD为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为 ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广西初中学业水平考试模拟卷（二）数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 在世界数学史上首次正式引入负数的是中国古代著作《九章算术》．若某天中午的气温是，记作，则当天晚上的气温零下可记作（ ） A. B. C. D. 2. “水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水!以下通过平移节水标志得到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，从正面看得到的平面图形是圆的是（　　） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 5. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对甲、乙、丙、丁四名射击选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（ ） 选手 甲 乙 丙 丁 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的面积是（　　） A. B. C. D. 9. 在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为( ) A. B. C. D. 10. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现在，按照如下的步骤作图：第一步：作一个正方形； 第二步：分别取、的中点M、N，连接； 第三步：以点N为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点E； 第四步：过点E作，交的延长线于F． 则所作图形中是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形和 12. 如图，反比例函数的图像与的直角边相交于点C，直角顶点B在轴上，交斜边于点D，若，且，则的值为（ ） A. 16 B. 8 C. 9 D. 18 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 要使根式有意义，则x应满足的条件是______． 14. 分解因式：_____． 15. 为的直径，弦于点，已知，，则的直径为_________． 16. “八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______（填写“必然事件”或“不可能事件”或“不确定事件”）． 17. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC的长为24米，则旗杆AB的高度是__________米． 18. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B顺时针旋转与x轴交于点C，则直线的解析式为____________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，在中，，，作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E． （1）依题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 22. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 23. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 24. 如图，已知是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）设的面积为，求S与t的函数关系式； （2）作交于点R，连接，当t为何值时，． 25. 某汽车制造厂接到两项都为生产360辆汽车的任务． （1）完成第一项任务时，生产的第一天按原计划的生产速度进行，第一天后按原计划生产速度的1.5倍进行，结果提前3天完成任务，问完成第一项任务实际需要多少天？ （2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案(其中)． 甲方案：计划180辆按每天生产辆完成，剩下的180辆按每天生产辆完成，设完成生产任务所需的时间为天． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产辆，另一半时间每天生产辆． 请比较，的大小，并说明理由． 26. 阅读理解： （1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ，（定角） 点在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点分别在边上移动，且满足．连接和，交于点． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $