精品解析：2024年广东省清远市连山县中考模拟数学试题（二）

2024初中学业水平考试模拟（二） 数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时90分钟． 说明： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，0，3这四个数中，大小在和2之间的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 2. 2023年清远市九年级共计约52800人报名参加中考，比去年增加约2800人，增幅，将数据“52800”用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的定义，理解科学记数法的定义是解题的关键．根据科学记数法的定义：把一个数表示成与的次幂相乘的形式（，为整数）解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列图形中对称轴最多的是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 圆 D. 菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解决问题的关键在于掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴． 【详解】解：正方形有4条对称轴； 矩形有2条对称轴； 圆的有无数条对称轴； 菱形有2条对称轴； 故选：C． 4. 如图，足球的表面是由黑皮的正五边形和白皮的正六边形拼接而成，其中黑皮的有12块，白皮有20块．图片中足球的一块白色皮块的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 5. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则即可求出答案． 【详解】原式=（2+3）a2=5a2， 故选A． 【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练运用合并同类项的性质，本题属于基础题型． 6. 小明每天上学要经过某十字路口，该路口红绿灯的设置时间为：红灯，绿灯，黄灯，那么他每次路过此路口，遇到红灯的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率为． 【详解】解：遇到红灯的概率为：， 故选B． 7. 化简的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的加减运算法则计算，再化简为最简分式即可. 【详解】 = = =m+4. 故选B. 【点睛】本题考查分式的加减.同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.熟练掌握运算法则是解题关键. 8. 农户利用“立体大棚种植技术”把茄子和丝瓜进行混种．已知茄子齐苗后棚温在最适宜，播种丝瓜的最适宜温度是．农户在茄子齐苗后在同一大棚播种了丝瓜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（ ） A. B. C. D. 以上 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组的应用，根据题意，设大棚温度为，则，再根据一元一次不等式组的方法，求出这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜即可． 【详解】解：设大棚温度为， 则， 解得， ∴这时应该把大棚温度设置在最适宜． 故选：B． 9. 如图，在中，半径垂直弦于D，，，则长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，垂径定理和圆周角定理，解题的关键是正确得出是等腰直角三角形． 利用垂径定理得，由圆周角定理得，得出是等腰直角三角形，进而得出答案． 【详解】解：半径弦于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴． 故选A． 10. 如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 12. 如果关于x的一元二次方程的一根为，则另一根为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一根为，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， 解得：， 故答案为：3． 13. 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，当横截面积为时，面条的总长度为，请写出y与s的函数关系式__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设y与x的函数关系式为，把代入求解即可． 【详解】解：设y与x的函数关系式为． 将代入上式， 解得：， ∴． 故答案为：． 14. 如图，为平面镜，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，已知入射角为，则的度数是__________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，则，求出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】如图，作，则， ∵入射角为， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：38． 15. 如图，象棋盘中各个小正方形的边长为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照马走日的规则，走两步后的落点与出发点间的最远距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 走两步后的落点与出发点间的最远距离的点为A处，最远距离为． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算：． （2）已知中，有下列条件： ①；②；③；④． 请选择两个可以求出长的条件__________（直接填写序号），并写出求的解答过程． 【答案】（1） （2）方法一：①③；方法二：①④；方法三：①②； 方法一：选取条件①③． 在中， ∵，，∴， ∴，∴． 方法二：选取条件①④． 在中， ∵，，∴， ∴，∴． ∵，∴． 方法三：选取条件①②． 在中， ∵，，∴． ∵，∴，∴． ∵，∴． 【解析】 【分析】（1）先根据乘方、绝对值、零指数幂的意义和特殊角的三角函数值化简，再算加减； （2）方法一：选取条件①③，根据的正切求解即可；方法二：选取条件①④，先根据根据的余弦求出，再利用勾股定理求解；方法三：选取条件①②，先根据同名两角的三角函数关系求出的余弦，再根据余弦的定义求，然后利用正弦定义求． 【详解】解：（1）原式． （2）略 【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，勾股定理，以及解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键． 17. 如图，在平面内，绕点A逆时针旋转后得，，连接．求证：． 【答案】 证明：∵由旋转可得， ∴．， ∵旋转角为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，由旋转的性质得，，求出，然后根据即可证明． 【详解】略 18. 我市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，求这批游客的人数和这箱鹰嘴桃的个数． 【答案】游客有6名，这箱鹰嘴桃有44个 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组，根据条件列出不等式组是解题的关键． 设设有名游客，则鹰嘴桃有个，根据如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，列出不等式组解出即可得到答案． 【详解】解：设有名游客，则鹰嘴桃有个， 依题意得：， 解得：． ∵游客人数应取整数， ∴． ∴（个）． 答：游客有6名，这箱鹰嘴桃有44个． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在菱形中，，． （1）实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求作的高． （2） 证明：如图所示，截取线段，连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 由（1）作法知：， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，， ∴． 在中， ∵，， ∴， ， ∴， ∴矩形的周长为：． 【解析】 【分析】（1）根据垂线作法直接作垂线即可； （2）截取线段，连接，根据菱形的性质结合可证得四边形是平行四边形，再结合（1）作法可得，从而证得平行四边形是矩形，再根据锐角三角函数和菱形的性质即可求得矩形的长与宽，从而求得四边形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作垂线，作线段等于已知线段，矩形的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 20. 综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算： （1）直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； （2）如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 【答案】（1）（或） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥的展开图，解直角三角形，掌握相关定义是解题的关键． （1）根据圆锥的展开图即可得到答案； （2）根据得到的长，在直角中，利用正弦定义得到，进而得到． 【小问1详解】 解：由题可知，半圆的弧长等于圆锥的底面周长， 或． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：， 在直角中，， ， ， ． 21. 游泳是中考体育必考项目之一，男子100米满分是144秒，女子100米满分是151秒，在一次中学生100米游泳测试中，选取了100人进行测试，其中男女学生各50人，男女分组进行测试，每组10人．随机抽取了男女各一组学生的成绩进行分析，数据如下：每个学生的成绩统计表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男生成绩（秒） 146 141 139 143 a 140 142 142 139 143 女生成绩（秒） 150 154 155 149 150 149 148 153 154 151 根据以上信息解答下列问题： （1）填空，a为该组男生成绩的中位数，则__________； （2）应用你所学的统计，计算该100名学生中大约有多少人会取得满分成绩； （3）若从以上两组中各派2名成绩最好的学生进行抽签，由抽签决定谁去参加比赛，则刚好抽到一男一女的概率是多少？请用表格法或树状图表示． 【答案】（1）142 （2）大约有75人取得满分成绩 （3） 【解析】 【分析】本题考查了中位数，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据用样本估计总体的方法求解即可； （3）用列表法求解即可． 【小问1详解】 把已知数据从小到大排序：139，139，140，141，142， 142，143，143，146， ∵a为该组男生成绩的中位数， ∴． 故答案为：142； 【小问2详解】 人； 【小问3详解】 列表如下 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 如上表所示，共有 12 种等可能出现的结果，其中为一男一女的共有 8 种情况， 所以． 所以抽到的学生是一男一女的概率为：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 综合运用 如图1，内接于，AB是的直径，点C平分弧，连接与交于点E． （1）求证：； （2）如图2，若，，过点C作的切线交的延长线于点P，过点P作，交于点F． ①求的半径； ②求的长． 【答案】（1）证明：∵点C平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）①的半径为；② 【解析】 【分析】（1）由点C平分，可得，从而得出．再由，可得，从而得出，再由平行线的判定可得结论； （2）①连接，由得出，，再由是的直径，可得，再证明，可得，求出，从而得出，再由勾股定理得，最后可得答案； ②延长交于点G，过点O作，垂足为H，连接，由点C平分弧，可得．再由平行线分线段成比例性质可得，即，求出，．最后由勾股定理及解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接． ∵， ∴，． ∵是的直径， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，． 在中，由勾股定理得， ∴的半径为． ②延长交于点G，过点O作，垂足为H，连接． ∵点C平分弧， ∴． ∵切于点C， ∴． ∴，即， ∴，即， ∴， ∴． 在中，， ∵， ∴． 在中， ∵， ∴，． 在中，， ∴ 【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质；掌握相关性质定理，准确添加辅助线，正确推理计算是解题关键． 23. 综合探究 如图，在中，，经过点C的直线交x轴正半轴于点，一抛物线经过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的最大值； （3）若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）最大值为4，点G坐标为 （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可； （2）过点G作轴，交直线于点F，，设点G坐标为，点F坐标为，用e表示出的面积为，得出当时，面积取得最大值，最大值为4，求出点的坐标即可； （3）分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为N、M，，证，利用对应边成比例可以解题． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， ∵，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵点B的坐标为， ∴将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得， ∴抛物线的表达式为． 将点B、C的坐标代入直线得： ，解得， ∴直线BC的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点G作轴，交直线于点F， 设点G坐标为，点F坐标为， 则， 故， ∴当时，面积取得最大值，最大值为4，此时点G坐标为． 【小问3详解】 解：存在． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点E的坐标为． 设点P的坐标为、点Q的坐标为， 则，，，， ①当点Q在点P的左侧时，如图，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为N、M， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，解得（舍去负值）， 当时，， ∴点P的坐标为． ②当点Q在点P的右侧时，如图，分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M， 则，，，， 同理可得：∽，∴， ∴，解得（舍去负值）， ∴当时，， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、直角三角形存在性问题，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用二次函数知识，设出点的坐标，利用相似三角形的判定与性质表示出其他点的坐标，列出方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024初中学业水平考试模拟（二） 数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时90分钟． 说明： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，0，3这四个数中，大小在和2之间的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 2023年清远市九年级共计约52800人报名参加中考，比去年增加约2800人，增幅，将数据“52800”用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中对称轴最多的是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 圆 D. 菱形 4. 如图，足球的表面是由黑皮的正五边形和白皮的正六边形拼接而成，其中黑皮的有12块，白皮有20块．图片中足球的一块白色皮块的内角和是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明每天上学要经过某十字路口，该路口红绿灯的设置时间为：红灯，绿灯，黄灯，那么他每次路过此路口，遇到红灯的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是( ) A. B. C. D. 8. 农户利用“立体大棚种植技术”把茄子和丝瓜进行混种．已知茄子齐苗后棚温在最适宜，播种丝瓜的最适宜温度是．农户在茄子齐苗后在同一大棚播种了丝瓜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（ ） A. B. C. D. 以上 9. 如图，在中，半径垂直弦于D，，，则长为（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解=______． 12. 如果关于x的一元二次方程的一根为，则另一根为________． 13. 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，当横截面积为时，面条的总长度为，请写出y与s的函数关系式__________． 14. 如图，为平面镜，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，已知入射角为，则的度数是__________度． 15. 如图，象棋盘中各个小正方形的边长为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照马走日的规则，走两步后的落点与出发点间的最远距离为__________． 三、解答题（一）：本大题3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算：． （2）已知中，有下列条件： ①；②；③；④． 请选择两个可以求出长的条件__________（直接填写序号），并写出求的解答过程． 17. 如图，在平面内，绕点A逆时针旋转后得，，连接．求证：． 18. 我市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，求这批游客的人数和这箱鹰嘴桃的个数． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在菱形中，，． （1）实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长． 20. 综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算： （1）直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； （2）如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 21. 游泳是中考体育必考项目之一，男子100米满分是144秒，女子100米满分是151秒，在一次中学生100米游泳测试中，选取了100人进行测试，其中男女学生各50人，男女分组进行测试，每组10人．随机抽取了男女各一组学生的成绩进行分析，数据如下：每个学生的成绩统计表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男生成绩（秒） 146 141 139 143 a 140 142 142 139 143 女生成绩（秒） 150 154 155 149 150 149 148 153 154 151 根据以上信息解答下列问题： （1）填空，a为该组男生成绩的中位数，则__________； （2）应用你所学的统计，计算该100名学生中大约有多少人会取得满分成绩； （3）若从以上两组中各派2名成绩最好的学生进行抽签，由抽签决定谁去参加比赛，则刚好抽到一男一女的概率是多少？请用表格法或树状图表示． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 综合运用 如图1，内接于，AB是的直径，点C平分弧，连接与交于点E． （1）求证：； （2）如图2，若，，过点C作的切线交的延长线于点P，过点P作，交于点F． ①求的半径； ②求的长． 23. 综合探究 如图，在中，，经过点C的直线交x轴正半轴于点，一抛物线经过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的最大值； （3）若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $