精品解析：湖北省十堰市郧阳区第一中学2023-2024学年5月月考数学试题

湖北省十堰市郧阳区郧阳区一中2023~2024学年数学5月考考试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合交集的概念求解即可. 【详解】由题意可得， 由，解得或，所以或， 所以， 故选：C 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由复数除法求出复数，再求模. 【详解】根据题意，， 则. 故选：B 3. 设数列的前n项和为，给出以下两个命题：①若数列是公差不为 0 的等差数列，则对于任意不小于 2 的正整数 k， 是的必要非充分条件；②若数列是等比数列，则对于任意不小于2的正整数k， 是的充要条件； 下列判断正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列的性质及求和公式计算可判定命题. 【详解】对于命题①，当时，显然有满足， 但各项均不为0，不满足充分性， 当时，此时中必有一项为0， 不妨设，则，可使得成立， 故满足必要性，即①正确； 对于命题②，设等比数列的公比为q，显然， 若，则，不存在， 若，则，要使，则需为偶数， 故对于，当时，必有，此时， 则成立，满足充分性， 而，则有，此时必有， 则，满足必要性，即②正确. 故选：A 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据差角公式可得，即可利用同角关系求解.` 【详解】由得，解得， 故，结合，故 由于，故， 故选：A 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得即在上恒成立，构造函数，，由二次函数的性质求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以. 故选：A． 6. 函数的部分图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的定义域排除B；由是奇函数排除C；由排除D，从而得出答案. 【详解】由，得，则的定义域是，排除B； 由， 得， 所以函数是奇函数，排除C； ，排除D. 故选：A． 7. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求圆锥的底面半径和母线长，再根据公式求圆锥的表面积. 【详解】如图： 设圆锥底面为，母线长为，母线，夹角为，则，所以. 因为的面积为，所以. 又. 所以圆锥的表面积为：. 故选：B 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合余弦定理列式计算即得. 【详解】设，则，，由双曲线定义得， 在中，由余弦定理得， 解得，因此，令双曲线的半焦距为c， 在中，由余弦定理得，解得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中， 正确的是（ ） A. 数据的第百分位数为 B. 已知随机变量服从正态分布，；则 C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，则 D. 若样本数据的方差为，则数据的方差为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用第百分位数的性质判断A，利用正态分布的性质判断B，利用回归方程的性质判断C，利用数据方差的性质判断D即可. 【详解】对于A，我们首先按顺序排列数据，得到， 而第百分位数即为中位数，所以该数为，故A错误， 对于B，因为随机变量服从正态分布，， 所以，， 故，得到，故B正确， 对于C，因为，所以， 将代入中，得到，解得，故C正确， 对于D，因为样本数据的方差为， 所以数据的方差为，故D错误. 故选：BC 10. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若，且，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. D. 边上的高的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角求出，再结合三角形面积公式、余弦定理逐项计算判断得解. 【详解】在中，由及正弦定理，得，而， 则，由余弦定理得，而，解得， 对于A，，A正确； 对于B，显然，当且仅当时取等号，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，令边上的高为，则，解得，D正确. 故选：AD 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，若，，则数列的前20项的和为______． 【答案】210 【解析】 【分析】数列的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解. 【详解】数列满足，若，，则， 所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列 所以数列的前20项的和为 . 故答案为：210. 13. 在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，得到平面截该四棱柱所得截面为五边形，求出各边边长，相加得到答案. 【详解】延长相交于点，连接交于点，连接， 因为正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点， 所以，，， 因为∽，，故，， 在上取点，连接，则， 同理可知，所以四边形为平行四边形， 故四点共面， 则平面截该四棱柱所得的截面为五边形， ，， 同理， 故截面周长为. 故答案为： 14. 已知抛物线与圆相交于四个不同的点，则r的取值范围为______，四边形面积的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】联立抛物线与圆的方程利用判别式及根的分布计算可求第一空，由对称性设点坐标，根据坐标含参表示四边形面积，换元结合求导判定单调性与最值即可. 【详解】 联立，由题意知该方程有两个不等正根， 即，所以； 如图所示，由图形的对称性，不妨设， 易知四边形为等腰梯形， 其面积为， 又点在抛物线上则有：， 而， 所以， ， 则， 令，则， 令， 易得时，此时单调递增， 时，此时单调递减，即， 则，时取得等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：第一空联立方程利用韦达定理计算即可，注意根的分布；第二空利用对称性设点，利用点坐标表示面积，注意运用点特征及韦达定理消元转化得面积与半径的关系，换元结合求导计算最值即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起.某企业着力推进技术革新，利润稳步提高.统计该企业年至年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图.其中年至年对应的年份代码依次为. 我们给定一些参考公式和数据：， ，，，， （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型.（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立关于的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计年的企业利润. 【答案】（1）适宜 （2） （3）亿元 【解析】 【分析】（1）利用散点图选择合适的模型即可. （2）利用最小二乘法求解回归方程即可. （3）利用回归方程合理估计即可. 【小问1详解】 适宜， 由散点图可知，相关点并不聚集在一条直线上， 所以要用非线性模型拟合，故用适宜. 【小问2详解】 由题意得，， ， ， 所以. 【小问3详解】 令， 所以估计2024年的企业利润为亿元. 16. 如图，在三棱台中，平面平面，，，． （1）求三棱台的高； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作于点O，利用面面垂直的性质得即为三棱台的高，再利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案； （2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用线面角的空间向量求法可得答案． 【小问1详解】 作于点O，因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，即为三棱台的高， 又因为平面，所以，连接， 因为，，所以， ，平面，所以平面， 又平面，所以，，， 所以，，所以三棱台的高为； 【小问2详解】 以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，则，可取， 设，则， 设直线与平面所成角为，， 化简得，解得，或（舍去，因为，则，所以）， 所以． 17. 已知函数，其中且． （1）若是偶函数，求a的值； （2）若时，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）且． 【解析】 【分析】（1）由题意，，即可得解； （2）分，且和三种情况讨论，结合基本不等式和导数求解即可. 【小问1详解】 由题意，，即， 解得，或（舍），经检验时，是偶函数， 所以a的值为； 【小问2详解】 当时，，成立； 当且时，，， 又已证，故此时符合题意； 当时，， 因为函数都是增函数， 所以函数在上单调递增，且， 故存在，使得当时，，从而单调递减， 所以，存在，使得，此时不合题意． 综上所述，且． 18. 已知点在椭圆上，到的两焦点的距离之和为． （1）求的方程； （2）过抛物线上一动点，作的两条切线分别交于另外两点． （ⅰ）当为的顶点时，求直线在轴上的截距（结果用含有的式子表示）； （ⅱ）是否存在，使得直线总与相切．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用椭圆的定义得到，再利用点在上，即可求出结果； （2）（ⅰ）设直线的方程为，联立椭圆方程程，利用，得到，联立抛物线方程，得到，即可求出结果；（ⅱ）根据条件得到必要条件，再代入检验满足题意，从而求出结果. 【小问1详解】 由题意，得． 又在上，得，从而，故E的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）当为的顶点时，， 不妨设在第一象限，直线的方程为， 联立的方程为，可得． 由，得． 联立直线的方程与抛物线的方程，可得， 则点的纵坐标为， 由对称性知， 故直线在轴上的截距为． （ⅱ）要使（2）中的直线与相切，必有，即， 解得或（舍去）． 设，，，则，，． 直线的方程为，即． 联立椭圆方程可得 ， 由 可得， 即． 同理可得． 因为直线同时经过点，所以的直线方程为． 联立椭圆方程可得， 于是． 故直线与椭圆相切，因此符合题意． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问的第（ii）小问，通过条件，得到，从而有，再检验满足题意，即可求解. 19. 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义. （1）若，求和； （2）求 ； （3）证明： 【答案】（1）， （2） （3） 结合第二问结论知， 要证 只需证 ， 令，易知， 则， 所以， 一方面， 另一方面，， 当且时， 由于， 比较两式中的系数可得：， 则 由 可知=， 当时，由 可知：， 此时命题也成立. 当时， 也成立. 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）直接利用定义计算即可； （2）分与，利用定义结合等差数列求和公式计算即可； （3）利用上问结论将问题转化为证，令，先判定结合定义化简的等量关系得出，再分类讨论且，和，时等式成立即可. 【小问1详解】 若， 而 【小问2详解】 当时， ， 当时，由 可得 ； 综上所述，. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：处理新定义类问题的思路有①找出新定义的几个要素，找出要素分别代表的意义；②由已知条件看所求问题，进行分析，转化为数学语言；③将已知条件代入新定义中；④结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省十堰市郧阳区郧阳区一中2023~2024学年数学5月考考试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设数列的前n项和为，给出以下两个命题：①若数列是公差不为 0 的等差数列，则对于任意不小于 2 的正整数 k， 是的必要非充分条件；②若数列是等比数列，则对于任意不小于2的正整数k， 是的充要条件； 下列判断正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中， 正确的是（ ） A. 数据的第百分位数为 B. 已知随机变量服从正态分布，；则 C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，则 D. 若样本数据的方差为，则数据的方差为4 10. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若，且，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. D. 边上的高的最大值为 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，若，，则数列的前20项的和为______． 13. 在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为______． 14. 已知抛物线与圆相交于四个不同的点，则r的取值范围为______，四边形面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起.某企业着力推进技术革新，利润稳步提高.统计该企业年至年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图.其中年至年对应的年份代码依次为. 我们给定一些参考公式和数据：， ，，，， （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型.（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立关于的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计年的企业利润. 16. 如图，在三棱台中，平面平面，，，． （1）求三棱台的高； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 17. 已知函数，其中且． （1）若是偶函数，求a的值； （2）若时，，求a的取值范围． 18. 已知点在椭圆上，到的两焦点的距离之和为． （1）求的方程； （2）过抛物线上一动点，作的两条切线分别交于另外两点． （ⅰ）当为的顶点时，求直线在轴上的截距（结果用含有的式子表示）； （ⅱ）是否存在，使得直线总与相切．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义. （1）若，求和； （2）求 ； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $