四川省遂宁中学校介福校区2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷

遂宁中学介福校区高2026届（高一下）五月月考 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数，下列说法不正确的是（    ） A．的实部为12 B．的虚部为 C． D． 2．复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知中，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现．如图，是一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．已知向量，则向量与夹角的大小等于（    ） A． B． C． D． 7．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 2、 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若 则； ②若 则； ③若， 则； ④若 则. 其中正确命题的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 10．已知正方体的棱长为为的中点，为线段上一动点，则（    ） A．异面直线与所成角为 B．平面 C．平面平面 D．三棱锥的体积为定值 11．已知圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，其母线长为，底面圆周上有，两点，下列说法正确的有（    ） A．截面的最大面积为 B．若，则直线与平面夹角的正弦值为 C．若一只小蚂蚁从圆锥底面圆周上一点绕侧面一周回到原点，则最短路程为 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为 . 13．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 个 14．已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，，，（） (1)若向量与垂直，求实数的值 (2)当为何值时，向量与平行. 16．（15分） 已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值； (1)z为实数； (2)z为虚数； (3)z为纯虚数. 17．（15分）如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 18．（17分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点. (1)求证：AM⊥面PCD. (2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值. 19．（17分） 如图，在三棱柱中，侧面为矩形． (1)设为中点，点在线段上，且，求证：平面； (2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 五月月考数学试卷参考答案： 1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．C 7．C 8．C 9．BC 10．BCD【详解】对于选项，如图，连接，则， 则或其补角为异面直线与所成角， 因为，所以， 故异面直线与所成角为，故选项错误； 对于选项，由已知得为等腰直角三角形，是的中点，则， 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，设与交于点， 其中， 因为，所以， 因为，所以， 又平面平面，所以平面，故选项正确.；对于选项，由正方体的性质可知，平面， 而平面，所以，因为平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，故选项正确；对于选项，由，平面，平面，得平面， 又，所以点到平面的距离为定值，又的面积确定，，所以三棱锥的体积为定值，故选项正确.故选：. 11．BD【详解】对于A，截面的面积为，所以当时，截面的面积最大，为，A错误．对于B，设为圆锥底面圆的直径．由，得，则．如图，取线段的中点，连接，．，易知为等边三角形，平面． 所以点到平面的距离为， 所以直线与平面夹角的正弦值为，B正确． 对于C，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为， 又因为，所以最短路程为，C错误． 对于D，，设，则， 所以当时，三棱锥的体积取得最大值， 此时外接球的半径， 则外接球的表面积，D正确． 12． 13．4 14． 【分析】因为为在方向上的投影向量，且与的夹角为锐角， 所以，故．因为，且， 所以．设，则， 故．又． 设与的夹角为，所以． 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，即，故．又，所以． 故与的夹角的最大值是． 15．【详解】（1）由已知可得， 因为向量与垂直，所以，解得； （2），因为与平行，所以，解得， 所以当时，向量与平行 16【详解】（1）若z为实数，则，解得. （2）若z为虚数，则，解得. （3）若z为纯虚数，则，解得. 17．【详解】（1）在三棱柱中， 平面平面，平面平面，平面平面， 故 （2）在三棱柱中， ，，分别是，，的中点，， 四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面． 又，平面，平面， 平面．，平面 平面平面． 18．证明：等边△PAD中，∵M为PD的中点，∴AM⊥PD. 正方形ABCD中，CD⊥AD， 又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD， ∴CD⊥平面PAD.∵AM⊂面PCD，∴CD⊥AM. ∵CD∩PD=D，CD, PD⊂平面PCD，∴AM⊥平面PAD. (2)取AD,BC的中点E,F，连接PE,PF,EF. 则EF//CD，又正方形ABCD中，CD⊥BC，∴EF ⊥BC；等边△PAD中，∵E为AD的中点，∴PE⊥AD. ∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD， ∴PE⊥面ABCD. ∵BC⊂面ABCD，∴PE⊥BC. ∵PE∩EF=E，PE, EF⊂平面PEF，∴BC⊥平面PEF. ∵PF⊂面PEF，∴BC ⊥P F. 又∵EF ⊥BC， ∴∠PFE是面PBC与面ABCD所成二面角的平面角. 设PA=a,则PE= EF= a PF=∴COS∠PFE= 19．【详解】（1）连接交于，连接， 因为侧面为矩形， 所以，又为中点， 所以，又因为， 所以． 所以，又平面，平面，所以平面． （2）在平面中，过点作射线， 因为底面为矩形，所以， 所以为二面角的平面角，且． 又，平面，所以平面， 在平面中，过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面， 所以，又，平面，平面， 所以平面， 则即为直线和平面所成的角， 于是为点到平面的距离，且， 设直线和平面所成角为，又， 则， 所以直线和平面所成角的正弦值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$