精品解析：河北省石家庄四十二中2023-2024学年高二下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期期末考试数学学科试题 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解集合A，根据指数函数单调性求解值域得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】， 则， 所以. 故选：D 2. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 【答案】D 【解析】 【分析】根据权方和不等式，直接计算即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为49． 故选：D 3. 下列函数中，的最小值是2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：取特殊值，代入后否定结论； 对于B：取特殊值，代入后否定结论； 对于C：利用导数判断单调性，求出最小值； 对于D：根据基本不等式利用的条件“一正二定三相等”进行判断. 【详解】对于A：的定义域为.取特殊值，代入得y=-2<2.故A错误； 对于B：的定义域为.取特殊值，代入得y=e-1<2.故B错； 对于C：的定义域为R. . 令，解得；令，解得；所以在上单减，在上单增，所以当时，y取得最小值2.故C正确； 对于D：.令，则. 所以，当，记时取最小值，但是，所以的最小值不能取得.故D错误. 故选：C 4. 已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1012 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可. 【详解】由，即的一个周期为4， 由为偶函数可知关于轴对称，即， 又可知， 所以， 显然， 所以. 故选：B 5. 已知且，则“”是“函数为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由“函数为偶函数”，可得，结合充分条件与必要条件的性质即可判断. 【详解】若函数为偶函数，由定义域为，则有， 即，即对任意的恒成立， 即有，故， 由“”是“”的充分不必要条件， 故“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性排除A，B，再根据得到D. 【详解】因为定义域为， ， 所以为偶函数，关于轴对称，排除A，B； 因为，，所以，故C错误，D正确， 故选：D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知函数的图象关于轴对称且周期为4，由此可画出函数在区间上的图象，若在区间内方程有5个不同的实数根，即函数与的图象有5个交点，数形结合列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于轴对称， 因为对任意的，都有成立， 所以， 所以函数的周期为4， 画出函数在区间上的图象，如图所示： 若在区间内方程有5个不同的实数根， 即函数与的图象有5个交点， 显然，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D． 8. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解. 【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且， 所以 . 故选：D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知的定义域为，值域为，则（ ） A. 若，则 B. 对任意，使得 C. 对任意的图象恒过一定点 D. 若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题设得真数不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得.对于B，直接代入求解即可.对于C ，根据，求解即可.对于D ,根据对数型函数的单调性和真数大于零即可解得. 【详解】对于A，要使定义域为R，只需恒成立， 所以判别式，所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A对 对于B，若， 即，整理得，得， 此时，故B错； 对于C，，因为与m无关，所以过定点（1,2),故C正确； 对于D，若在上单调递减，只需函数在上递减，且，即，解得，故D对. 故选：ACD 10. 德国数学家狄里克雷在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个，都有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为，当自变量取无理数时，函数值为.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 的值域是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用狄里克雷函数的定义可判断AC选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；分和两种情况讨论，结合狄里克雷函数的定义可判断D选项的正误. 【详解】由题意可知，. 对于A选项，，则，A选项正确； 对于B选项，当，则，则， 当时，则，则， 所以，函数为偶函数，B选项错误； 对于C选项，由于，所以，函数的值域为，C选项正确； 对于D选项，当时，则，所以，， 当时，，所以，，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题的解题关键就是紧扣函数的新定义，在解题的过程中要对的取值进行分类讨论，结合函数的定义来求解，在判断命题为假命题时，可以通过特例来说明. 11. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据①②知“理想函数”是定义域上的奇函数且在定义域内单调递减，依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】由①知：为定义域上的奇函数；由②知：在定义域内单调递减； 对于A，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，A正确； 对于B，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，B正确； 对于C，为上的奇函数且在上单调递增，不符合“理想函数”定义，C错误； 对于D，是上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D错误. 故选：AB. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数满足求解即可. 【详解】依题意，当时，，故在区间上的解析式. 故答案为： 13. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”.若的导函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，则实数的最大值与最小值之差为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，根据“局部反比例对称函数”的定义，得到在上有解，令，换元后，利用二次函数在上有解，结合二次函数的性质解题即可. 【详解】， 因为的导函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以存在， ，即， 所以，在上有解， 令，设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以时，， 设，所以时有解， 当即时，在上单调递增，所以，解得； 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，又，所以不存在符合条件的. 综上可得，所以实数的最大值与最小值之差为. 故答案为： 14. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合. （1）求； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性，对数运算及对数函数的单调性，结合集合运算可得结果. （2）根据指数函数的单调性，结合不等式恒成立问题解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 因为， 由，得，所以， 即，解得，所以， 所以. 【小问2详解】 当时，因为单调递减，所以， 因为对任意的恒成立， 所以当时，则恒成立，即，即， 因为，所以解得； 当时，则恒成立，即， 因为，所以解得. 综上，的取值范围是. 16. 已知函数. （1）若，解不等式； （2）若关于的方程有解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解法得，再由指数函数单调性求解； （2）分离参数，得，利用基本不等式求最值，即可. 【小问1详解】 当时，，即， 则， ， ， . 故不等式的解集为. 【小问2详解】 即. ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的取值范围是. 17. 已知点在幂函数的图象上， . （1）求的解析式； （2）若，且方程有解，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）或 （3）当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求得的解析式； （2）根据一元二次方程有解，，解出即可； （3）结合条件把不等式化为，分类讨论的取值范围，即可得到不等式的解集. 【小问1详解】 设幂函数， 由点在幂函数的图象上， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 时，， 由方程有解， 可得， 解得或； 【小问3详解】 由得 ，即 ， 所以， 当即时，的解集为， 当即时，的解集为， 当即时，的解集为. 18. 已知，曲线在处的切线方程为． （1）求； （2）证明． 【答案】（1） （2） 要证明，只要证， 设，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程即可得，的值； （2）要证明，只要证，令，求出其单调性证明即可. 【小问1详解】 由可得， 则，所以曲线在点处的切线斜率为， 又因为，所以切线方程为：，即. 所以. 【小问2详解】 略 19. 取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分． （1）直接写出和的值； （2）设，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数； （3）对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数的指数． 【答案】（1）， （2） 因为，等式两边同乘，得， 因为，所以为整数， 又，所以， 所以，得证； 假设都小于等于， 因为， 所以， 所以， 因为，所以，即在b的倍数中不大于a的正整数的个数为． （3） ，将每个数都分解为质因数的乘积， 对于质因数，利用（2）中结论，的倍数中不大于的正整数的个数为，记为， 将这些数都提取出来，此时的倍数中还有可以提取的数， 注意到的倍数中不大于的正整数的个数为，记为，将这些数提取出来， 同理，的倍数中不大于的正整数的个数为，记为， 依此这样进行下去， 则质因数的指数． 【解析】 【分析】（1）由题意及对数函数的单调性即可计算求解； （2）由题意得，等式两边同乘得，由结合定义可得，即可证明；假设都小于等于，可得，即可得，又，则； （3）利用（2）中结论，可得的倍数中不大于得正整数的个数为，记为，的倍数中不大于的正整数的个数为，记为，的倍数中不大于的正整数的个数为，记为，依此进行下去，可得即可证明． 【小问1详解】 因为，所以， 所以， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期期末考试数学学科试题 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 3. 下列函数中，的最小值是2的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1012 D. 2024 5. 已知且，则“”是“函数为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知的定义域为，值域为，则（ ） A. 若，则 B. 对任意，使得 C. 对任意的图象恒过一定点 D. 若在上单调递减，则的取值范围是 10. 德国数学家狄里克雷在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个，都有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为，当自变量取无理数时，函数值为.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 的值域是 D. 11. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式___________． 13. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”.若的导函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，则实数的最大值与最小值之差为______. 14. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合. （1）求； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）若，解不等式； （2）若关于的方程有解，求的取值范围. 17. 已知点在幂函数的图象上， . （1）求的解析式； （2）若，且方程有解，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 18. 已知，曲线在处的切线方程为． （1）求； （2）证明． 19. 取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分． （1）直接写出和的值； （2）设，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数； （3）对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数的指数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $