精品解析：广东省汕头市蓝田中学2023—2024学年上学期第一阶段考试九年级数学试卷

2023—2024学年度第二学期汕头市蓝田中学第一阶段考试九年级数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是由5个大小相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 中国芯片领域的龙头企业“中心国际”目前已经实现（）工艺芯片的量产，使中国集成电路制造技术与世界最先进工艺拉近了距离．数据0.000000014用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 如图所示，点P是反比例函数图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点、、共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点．如果测得，，，则河的宽度为（ ） A. 40m B. 90m C. 60m D. 120m 10. 如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 12. 计算：+=____． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是_____． 14. 如图，已知六边形 是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______． 三、解答题（一）（本大题共 3小题，第 16题 10分，第17、18 题各7分，共 24分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与x轴交于C点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题9分，共 27分） 19. 热情的刘老师邀请两位朋友茗茗和欣欣来西安游玩，他向两人推荐了四个游览地：兵马俑、西安城墙、华清宫和陕西省历史博物馆，并制作了四个外形完全一致的纸签，纸签上分别写有这四个游览地，让两位朋友随机抽取．抽签规则为：茗茗先抽签，放回洗匀后，再由欣欣抽签， （1）茗茗抽取到“兵马俑”的概率为___________； （2）请用树状图或列表法求两人抽取到同一个景点的概率． 20. “接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，在刚举行的第届杭州亚运会中，吉祥物“莲莲”被认为最具山水诗气、受到人们的喜爱．某经销商销售大小两种规格的“莲莲”玩偶，第一周售出大玩偶个、小玩偶个．已知一个大玩偶的售价是一个小玩偶的售价的倍少元，第一周大玩偶和小玩偶的销售额相同 （1）求两种玩偶的售价分别是多少元？ （2）该经销商发现人们对小玩偶的喜爱超过大玩偶，第二周准备调整运营模式，小玩偶原价销售，销量与第一周持平；大玩偶进行降价促销，经调查发现，大玩偶每降价元，销量就会增加件．若要使大玩偶的销售额比小玩偶的销售额多元，应把大玩偶降价多少元出售（大玩偶售价不低于小玩偶售价）？ 21. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角为，楼顶的仰角为； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离． 参考数据 根据以上信息计算两幢楼楼顶，之间的距离．（结果精确到） 五、解答题（三）（本题包括2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，是圆O直径，C，D两动点在直径同侧，连接，作射线，交的延长线于点H． （1）求证：． （2）已知， ①若，求的长． ②若，，求y关于x的关系式，并求出四边形周长的最大值． 23. 如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，． （1）求点 M 的坐标及抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当 时，求点P的坐标； （3）点D是线段 (包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期汕头市蓝田中学第一阶段考试九年级数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义是解题关键．图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此逐一判断即可． 【详解】解：A. 是中心对称图形，符合题意； B. 不是中心对称图形，不符合题意； C. 不是中心对称图形，不符合题意； D. 不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义“被开方数中不含字母或开得尽方的整数或整式，这样的二次根式即为最简二次根式”依次进行判断即可得，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； C、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； D、是最简二次根式，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图是由5个大小相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，根据左视图是从左面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两层，共2列，从左边数，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形，即看到的图形如下： ， 故选：C． 5. 中国芯片领域的龙头企业“中心国际”目前已经实现（）工艺芯片的量产，使中国集成电路制造技术与世界最先进工艺拉近了距离．数据0.000000014用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握一般形式为， 其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：， ∴方程没有实数根， 故选：． 7. 如图所示，点P是反比例函数图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数中比例系数的几何意义，矩形的面积等于|k|，以及函数所在的象限，即可确定k的符号．从而得到函数的解析式． 【详解】解：由题意得：矩形面积等于|k|， ∴|k|=4， 又∵反比例函数图象在二、四象限． ∴k＜0 ， ∴k=-4 ， ∴反比例函数的解析式是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，由矩形面积求得k的值是解决此题的关键． 8. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 9. 某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点、、共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点．如果测得，，，则河的宽度为（ ） A. 40m B. 90m C. 60m D. 120m 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的性质得出，进而代入求出即可． 【详解】解：根据题意得出：， 则， 故， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：B． 10. 如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①不能， ∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠B+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠DAC， ∴无法证明△ABC是直角三角形； ②能， ∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠B=∠DAC， ∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=∠B+∠BAD=90°； ∴△ABC是直角三角形； ③能， ∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠ADC=90°， ∴Rt△ABD∽Rt△CAD， ∴∠B=∠DAC， 由②得△ABC是直角三角形； ④能， ∵AB2=BD•BC， ∴， 又∠ABD=∠CBA， ∴△ABD∽△CBA， ∴△ABC一定是直角三角形． 综上，②③④都能判定△ABC是直角三角形，共有3个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是通过计算角相等和边成比例，判断出两个三角形是否相似，进而判断出是否为直角． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 【答案】x（x﹣3）2 【解析】 【详解】解：x3﹣6x2+9x =x（x2﹣6x+9） =x（x﹣3）2 故答案为：x（x﹣3）2 12. 计算：+=____． 【答案】 【解析】 【分析】先将两个分式化为同分母，再根据分式的减法法则即可得． 【详解】原式， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的减法，熟记分式的运算法则是解题关键． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由旋转性质可知：， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， 即旋转角的度数是， 故答案为：． 14. 如图，已知六边形 是的内接正六边形，的半径为，连接，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接多边形的性质，扇形的面积，如图，连接，，证明即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∴， ∴，，三点共线， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可． 【详解】解：如图， 取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为等腰梯形， ， ，，， ， 点在以点为圆心，2为半径的圆上， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， 当三点共线时，有最小值， 面积的最小值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键． 三、解答题（一）（本大题共 3小题，第 16题 10分，第17、18 题各7分，共 24分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，整式的混合运算，负整数指数幂，零次幂．熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）先化简各式，再进行加减运算； （2）先进行完全平方公式和平方差公式的运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17. 如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． （1）等边对等角结合平角的定义，得到，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与x轴交于C点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式：，反比例函数的解析式： （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式： 把代入得：， ， 把代入得： 解得：， ∴一次函数解析式：； 【小问2详解】 解：观察图象可知当时，一次函数在反比例函数的图象上方 ∴的解集为：． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题9分，共 27分） 19. 热情的刘老师邀请两位朋友茗茗和欣欣来西安游玩，他向两人推荐了四个游览地：兵马俑、西安城墙、华清宫和陕西省历史博物馆，并制作了四个外形完全一致的纸签，纸签上分别写有这四个游览地，让两位朋友随机抽取．抽签规则为：茗茗先抽签，放回洗匀后，再由欣欣抽签， （1）茗茗抽取到“兵马俑”的概率为___________； （2）请用树状图或列表法求两人抽取到同一个景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式计算即可； （2）利用树状图求概率即可． 【小问1详解】 茗茗从中随机抽取一张纸签共有4种等可能情况，抽到“兵马俑”有1种可能，所以概率为：． 故答案为： 【小问2详解】 把兵马俑、西安城墙、华清宫和陕西省历史博物馆分别记为：A、B、C、D， 画树状图如图： 共有16种等可能的结果，两人抽取到同一个景点的结果有4种， ∴两人抽取到同一个景点的概率为． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，根据概率公式求出事件的概率是解题的关键． 20. “接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，在刚举行的第届杭州亚运会中，吉祥物“莲莲”被认为最具山水诗气、受到人们的喜爱．某经销商销售大小两种规格的“莲莲”玩偶，第一周售出大玩偶个、小玩偶个．已知一个大玩偶的售价是一个小玩偶的售价的倍少元，第一周大玩偶和小玩偶的销售额相同 （1）求两种玩偶的售价分别是多少元？ （2）该经销商发现人们对小玩偶的喜爱超过大玩偶，第二周准备调整运营模式，小玩偶原价销售，销量与第一周持平；大玩偶进行降价促销，经调查发现，大玩偶每降价元，销量就会增加件．若要使大玩偶的销售额比小玩偶的销售额多元，应把大玩偶降价多少元出售（大玩偶售价不低于小玩偶售价）？ 【答案】（1）小玩偶的售价为元，则大玩偶的售价为元； （2）把大玩偶降价元出售． 【解析】 【分析】（）设小玩偶的售价为元，则大玩偶的售价为元，根据题意列出方程即可； （）设把大玩偶降价元出售，根据题意列出方程，即可求解； 本题考查了一元一次方程与一元二次方程的应用，关键是明确题意，找到等量关系并正确列出方程． 【小问1详解】 解：设小玩偶的售价为元，则大玩偶的售价为元， 由题意有：， 解之得：， ∴， 答：小玩偶的售价为元，则大玩偶的售价为元； 【小问2详解】 解：设把大玩偶降价元出售， 则有：， 解之得，， 当时，大玩偶售价为，不符题意，舍去， ∴，此时大玩偶售价为， 答：把大玩偶降价元出售． 21. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角为，楼顶的仰角为； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离． 参考数据 根据以上信息计算两幢楼楼顶，之间的距离．（结果精确到） 【答案】两幢楼楼顶，之间的距离约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质，过作，交于点，交于点，过作于点，根据题意得四边形是矩形，由测量步骤可得：四边形是矩形，则米，米，米，在中，，，则米，从而求出米，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交于点，交于点，过作于点， ∴，， ∴四边形是矩形， 由测量步骤可得：四边形是矩形， ∵米，米， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴米， 在中，，， ∴（米）， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 答：两幢楼楼顶，之间的距离约为米． 五、解答题（三）（本题包括2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，是圆O直径，C，D两动点在直径同侧，连接，作射线，交的延长线于点H． （1）求证：． （2）已知， ①若，求的长． ②若，，求y关于x的关系式，并求出四边形周长的最大值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）本题考查了平行线的性质，圆的半径相等的性质，通过，根据等角对等边即可得证； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角证，通过证，根据相似三角形的性质求出即可求解； （3）通过相似的三角形对线段成比例求出y关于x的解析式，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接， 又∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆O的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∴. ②∵， ∴，即， ∴， ∴. 四边形周长， ， 当时，四边形周长的最大值为. 23. 如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，． （1）求点 M 的坐标及抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当 时，求点P的坐标； （3）点D是线段 (包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过点P作轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为，设点P的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出p的值，从而得出点P的坐标； （3）由可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，①当，可推导B与点Q重合，，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；②当时，可推导，即此时符合题意，再证明，从而得到，再设点的横坐标为q，则，，从而得到，解得q的值，从而得到点Q的坐标，最后综合①②即可； 【小问1详解】 解：∵点M在y轴负半轴且， ∴ 将，代入，得 解得 ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：过点P作轴于点F，交线段AC于点E， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ，解得， ∴直线AC的解析式为 设点P的横坐标为 则，， ∴ ∵，∴，解得， ∴ 【小问3详解】 ，， ∵在中，，以点Q，N，C为顶点的三角形与相似， ∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形， 又∵轴，直线交直线于点N， ∴，即点N不与点O是对应点． 故分为和两种情况讨论： ①当时，由于轴， ∴轴，即在x轴上， 又∵点Q在抛物线上， ∴此时点B与点Q重合， 作出图形如下： 此时， 又∵ ∴，即此时符合题意， 令， 解得：(舍去) ∴点Q的坐标，也即点B的坐标是． ②当时，作图如下： ∵轴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴，即此时符合题意， ∵， ∴，即 ∵，， ∴ ∴， 设点的横坐标为q，则，， ∴， ∴， 解得：(舍去)， ∴， ∴点Q的坐标是 综上所述：点Q的坐标是，； 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $