精品解析：四川省达州市宣汉县双河中学2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

四川省达州市宣汉县双河中学2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程x2＝2x的根是（　　）． A. 0 B. 2 C. 0和2 D. 0和﹣2 2. 下列说法正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 D. 对角线相等的四边形是矩形 3. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的袋子里装有白球、红球共40个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. 16 B. 24 C. 4 D. 8 5. 若，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象经过点（2, 3 )，下列说法正确的是( ) A. y随x的增大而增大 B. 函数的图象只在第一象限 C. 当x<0时，必y<0 D. 点(-2, -3)不在此函数的图象上 7. 已知，将△ABC沿AD折叠，点B的对应点B'落在边AC上（如图a），再将∠CAD对折，点A的对应点为A'，折痕为EF（如图b），再沿A'E所在直线剪下，则阴影部分展开后的形状为（　　） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8. 设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在矩形中，，，点M为的中点，点N为上一点，连接，，将沿直线折叠后，点A恰好落在上的点P处，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上取点A，连接，与的图象交于点B，过点B作轴交函数的图象于点C，过点C作轴交函数的图象于点E，连接，，，与交于点F，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘a转出红色，转盘b转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为__． 12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，，DE=6，则BC的长___． 13. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 14. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE＝_____． 15. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足分别为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别交于点，．连接并延长交轴于点，则的面积是________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，满足x1x2+x1+x2＝0，求k的值． 18. 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形． 19. 2021年世界大运会将在成都举办，现有三种大运会纪念卡片（如图所示），分别是印有会徽图案的A种纪念卡片和印有吉祥物“蓉宝”图案的B种、C种纪念卡片．小王将圆形转盘三等分并标上字母A，B，C，分别代表三种纪念卡片，随机转动转盘后，指针落在某个字母所在扇形部分就表示获得一张该种纪念卡片（当指针指在分界线上时重转）． （1）填空：小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是　 　； （2）小王任意转动转盘两次，请用列表或画树状图的方法求他两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率． 20. 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； （2）如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过A（，），B（4，）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）过O，A两点的直线与反比例函数图象交于点C，连接BC，求△ABC的面积． 22. 广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率． （2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 23. 如图，点在菱形的边上滑动（不与，重合），点在边.上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若点为边的黄金分割点（），求证． 24. 如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知． （1）求证：； （2）求的度数及的长； （3）若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 25. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，连接AC，点O为AC的中点，点E为线段BC上的动点，连接OE，过点O作OF⊥OE，交AB于点F，连接EF． （1）如图1，当CE＝3时，求OF的长； （2）如图2，当点E在线段BC上运动过程中，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值； （3）连接BO，当BO将△OEF分成两部分面积之比为1：2时，求BE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市宣汉县双河中学2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程x2＝2x的根是（　　）． A. 0 B. 2 C. 0和2 D. 0和﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的性质，先提公因式，通过计算即可得到答案． 【详解】移项得，x2-2x＝0， 提公因式得，x（x-2）＝0， 解得，x1＝0，x2＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形、菱形、相似三角形的判定定理，根据菱形的判定定理、相似三角形的判定定理、矩形的判定定理依次对选项进行判断即可．掌握各判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； C、两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不符合题意； D、对角线相等且平分的四边形是矩形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图． 【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意； B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意； C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意； D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 4. 在一个不透明的袋子里装有白球、红球共40个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. 16 B. 24 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.4左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案． 【详解】解：设袋子中红球有x个， 根据题意得：， 解得：， ∴袋子中红球的个数最有可能是16个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5. 若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得y＝x，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴y＝x， ∴＝＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、比例的性质等知识点，将y用x表示成为解答本题的关键． 6. 已知函数的图象经过点（2, 3 )，下列说法正确的是( ) A. y随x的增大而增大 B. 函数的图象只在第一象限 C. 当x<0时，必y<0 D. 点(-2, -3)不在此函数的图象上 【答案】C 【解析】 【详解】∵图象经过点（2，3）， ∴k=2×3=6＞0， ∴图象在第一、三象限． ∴只有C正确． 故选C． 7. 已知，将△ABC沿AD折叠，点B的对应点B'落在边AC上（如图a），再将∠CAD对折，点A的对应点为A'，折痕为EF（如图b），再沿A'E所在直线剪下，则阴影部分展开后的形状为（　　） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】首先把阴影部分展开，然后根据已知条件和折叠的性质进行判断 ． 【详解】解：阴影部分展开后如图所示， 由折叠可得，∠AFE＝∠A'FE＝90°，AF＝A'F，EF＝E'F， ∴AA'与EE'互相平分，AA'⊥EE'， ∴四边形AEA'E'是菱形， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的应用，熟练掌握折叠的性质是解题关键 ． 8. 设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，再将变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：由题意得，，， 所以 ， 故选：D． 9. 如图，在矩形中，，，点M为的中点，点N为上一点，连接，，将沿直线折叠后，点A恰好落在上的点P处，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理．连接，由题意易证，即得到．设，则，，．在中利用勾股定理即可求出x，即可得到的长．作出常用的辅助线是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，，， 由折叠可知，，， ∵点M为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 设，则，，． 在中，，即， 解得：， ∴． 故选：A． 10. 如图，平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上取点A，连接，与的图象交于点B，过点B作轴交函数的图象于点C，过点C作轴交函数的图象于点E，连接，，，与交于点F，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点的坐标为则求出，，的坐标，从而得出，的长度，得出直线，直线的解析式，进而求出直线的解析式，然后求出点的坐标，将直线的解析式与反比例函数联立方程组，求出点的坐标，从而计算，，即可计算出比值． 【详解】解：设的坐标为， 由轴，可知点，点的横坐标相等， 则点的坐标为，的坐标为 ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 所以直线的解析式为①， 设直线的解析式为，将点代入得， 所以直线的解析式为③， 设直线的坐标为，将，的坐标代入得， ，解得 , ∴， 联立①②，得，解得：， ， 将③与联立得，， 解得：，，则， 所以 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，以及求三角形的面积，解题的关键是通过假设未知数表示点的坐标，再将点的坐标代入解析式当中，联立方程组，求出其它一些相关点的坐标，再求出一些相关的线段的长度，根据三角形的面积公式求面积，再计算比值． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘a转出红色，转盘b转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为__． 【答案】． 【解析】 【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，其中配成紫色的结果有1个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，其中配成紫色的结果有1个， ∴配成紫色的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键． 12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，，DE=6，则BC的长___． 【答案】10． 【解析】 【分析】先证明，根据已知条件计算即可； 【详解】∵DE∥BC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，DE=6， ∴， ∴． 故答案是10． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，准确计算是解题的关键． 13. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2021 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后根据根与系数的关系得到，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：a是方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 故答案为：2021． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 14. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，可得EA=EC，再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=90°， 根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线， ∴EA=EC， ∴EA=CE=BC-BE=2-BE， 在Rt△ABE中，根据勾股定理，得， ∴， 解得BE=， 故答案为． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 15. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足分别为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别交于点，．连接并延长交轴于点，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出k=3，再由S△BDF=S△OBD= S△BOA- S△OAD，即可求解． 【详解】解：设点B(s,t)，则st=12， ∵M是OB的中点， ∴点M(s,t)， 则k=st=st=3， 连结OD，如图所示： ∵BA⊥y轴， ∴BA∥OF， ∴S△BDF=S△OBD= S△BOA- S△OAD=×12-×3=． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质等知识．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法：配方法，公式法，因式分解法，直接开方法，是解答本题的关键． （1）利用因式分解法求解方程即可； （2）利用公式法求解方程即可． 【小问1详解】 解：，即， ， ，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ，． 17. 已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，满足x1x2+x1+x2＝0，求k的值． 【答案】-4 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系把x1+x2﹣x1x2＝0转化成关于k的方程，再利用一元二次方程根与系数的关系求出k所满足的范围即可得到结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根， ∴△＝4﹣4（k+2）≥0． 解得k≤﹣1． 由一元二次方程根与系数的关系可得： x1+x2＝2，x1x2＝k+2， ∵x1+x2+x1x2＝0， ∴2+k+2＝0， 解得k＝﹣4． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 18. 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 19. 2021年世界大运会将在成都举办，现有三种大运会纪念卡片（如图所示），分别是印有会徽图案的A种纪念卡片和印有吉祥物“蓉宝”图案的B种、C种纪念卡片．小王将圆形转盘三等分并标上字母A，B，C，分别代表三种纪念卡片，随机转动转盘后，指针落在某个字母所在扇形部分就表示获得一张该种纪念卡片（当指针指在分界线上时重转）． （1）填空：小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是　 　； （2）小王任意转动转盘两次，请用列表或画树状图的方法求他两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有9种等可能的结果，小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的结果有4种， ∴小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率为． 【点睛】本题考查了概率的计算及列表法与树状图法求概率，解题的关键是掌握概率的计算方法并明确题意，正确画出树状图． 20. 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； （2）如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 【答案】（1） 如图所示，点P为灯泡位置，线段为小玉在灯下的影长． （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，掌握中心投影的性质是解题的关键． （）连接并延长交于点，点即为所求，连接并延长交于，线段即为所求； （）由中心投影的性质可得，从而，再将数据代入即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，得，， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过A（，），B（4，）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）过O，A两点的直线与反比例函数图象交于点C，连接BC，求△ABC的面积． 【答案】（1）； ；（2）12 【解析】 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出a值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）利用分解图形求面积法， 利用，求面积即可． 【详解】解：（1）将A(-2，-4)代入得到，即：m = 8． 反比例函数的表达式为：． 将B(4，a)代入，得：，即：a =2． 将A(-2，-4)，B(4，2)代入，得： ，解得： 一次函数的表达式为：． （2）设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F． 令，则， ∴点D的坐标为(2，0)， A(-2，-4)关于原点的对称性点C坐标：(2，4)， ∴点C、点D横坐标相同， ∴CD∥y轴， =12． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 22. 广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率． （2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%； （2）选择方案①更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得平均每次下调的百分率； （2）根据题意可以分别计算出两种方案下的优惠额度，从而可以解答本题． 【详解】解：（1）解：设平均每次下调的百分率为x，则 6000（1-x）2=4860 解得：x1=0.1， x2=1.9（不合题意，舍去） ∴平均每次下调的百分率10% ； （2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720(元) ， 方案②可优惠：100×80=8000(元) ， ∴方案①更优惠． 23. 如图，点在菱形的边上滑动（不与，重合），点在边.上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若点为边的黄金分割点（），求证． 【答案】 （1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵点为边的黄金分割点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到DA=DC，∠A=∠C，利用SAS定理证，根据全等三角形的性质证明结论； （2）证明，根据相似三角形的性质、菱形的性质，即可求解； （3）根据黄金分割的概念得到，结合（2）的结论计算，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、黄金分割的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、黄金分割的概念是解题的关键． 24. 如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知． （1）求证：； （2）求的度数及的长； （3）若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【答案】（1） 证明：∵和都为等边三角形， ∴ ∴， 即， ∴ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证即可求证； （2）利用全等三角形的性质可得的度数；在上取点F，使，根据（1）中证明过程可证，即可求解； （3）过点Q作于G，设，根据重心的性质可得，进一步可证，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵； ∴， 设交于O， ∵， ∴； 如图①在上取点F，使， 同（1）可得 ∴为等边三角形， ∴； 【小问3详解】 解： 如图②，过点Q作于G，设， ∵点Q、R分别是等边和等边的重心， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题以“手拉手”全等三角形模型为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推理是解题关键． 25. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，连接AC，点O为AC的中点，点E为线段BC上的动点，连接OE，过点O作OF⊥OE，交AB于点F，连接EF． （1）如图1，当CE＝3时，求OF的长； （2）如图2，当点E在线段BC上运动过程中，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值； （3）连接BO，当BO将△OEF分成两部分面积之比为1：2时，求BE的长． 【答案】（1）3；（2）不变，；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据有三个角是90°的四边形是矩形证明即可； （2）的值不变．如图2中，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，则四边形OMBN是矩形，只要证明△ONE∽△OMF，可得 ； （3）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可求解． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，BC＝6＝AD， ∵CE＝3， ∴BE＝CE， ∵点O为AC的中点， ∴OE∥AB， ∴∠OEB+∠FBE＝180°， ∴∠OEB＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴四边形OEBF是矩形， ∴OF＝BE＝3； （2）的值不变， 理由如下：如图2，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M， ∴∠ONB＝∠OMB＝90°， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形OMBN是矩形， ∴∠MON＝90°，OM∥BC，ON∥AB， ∴ ， ， ∵点O是AC的中点， ∴OA＝OC＝ AC， ∴ON＝AB＝4，OM＝BC＝3， ∵∠EOF＝∠MON＝90°， ∴∠FOM＝∠EON， 又∵∠ONE＝∠OMF＝90°， ∴△ONE∽△OMF， ∴； （3）由（2）知 ， ， 如图3，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，当点E在点N的下方时，S△OGE：S△OGF＝1：2，设点EF与OB的交点为G， ∵S△OGE：S△OGF＝1：2， ∴FG＝2GE， ∴S△BGE：S△BGF＝1：2， ∴S△OBE：S△OBF＝1：2， ∴（×BE×ON）：（×BF×OM）＝1：2，即（×BE×4）：（×BF×3）＝1：2， ∴BE：BF＝3：8， ∵△ONE∽△OMF， ∴＝ ， ∴设FM＝3x，NE＝4x， ∴ ， ∴ ； ∴ ； 当点E在点N上方时， 如图4，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AB于M，当点E在点N上方时， S△OGF： S△OGE＝1：2，设点EF与OB的交点为G， 同理可得BE：BF＝3：2， ∵△ONE∽△OMF， ∴＝ ，， ∴设FM＝3x，NE＝4x， ∴， ∴ ， ∴ ， 综上所述：BE的值为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，准学会正确寻找相似三角形是解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $