精品解析：辽宁省盘锦市大洼区大洼区第二初级中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

班级 2023—2024学年度第二学期期末质量检测初二数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ） A. 人的身高与年龄 B. 汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C. 正方形的面积与它的边长 D. 圆的周长与它的半径 3. 在中，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，E是边长为6的正方形ABCD对角线上的一动点，若四边形EFCG为矩形，则矩形EFCG的周长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 无法确定 6. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制)选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（ ） A. 170分 B. 86分 C. 85分 D. 84分 9. 如图，正方形和正方形的点在同一条直线上，点为的中点，连接，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长（ ） A. B. C. D. 10. 如图，把正方形放在直角坐标系内，其中点的坐标分别为、，将直线沿轴向左平移个单位，则直线扫过正方形的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 使得式子有意义的的取值范围是________． 12. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙、丙、丁四个品种的大豆中各选20株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率(单位：)，结果统计如下： 品种 甲 乙 丙 丁 平均数 25 25 24 24 方差 29.6 4 4 20.8 根据这些数据，应选择的优良大豆品种是___________． 13. 如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=______． 14. 学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离y （米）与时间t （分钟）之间的函数关系如图所示，根据图象信息知，点A的坐标是__________； 15. 在正方形中，点在对角线上，点在正方形的边上，若，，则在中，的度数为____． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）求的度数； （2）求原来的路线的长． 18. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示． （1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 19. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级： 八年级： 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 八年级 84 87 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； 20. 请你解决下列问题： （1）如图，四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． （2）连接． ①作的垂直平分线，垂足为点，交于，交于；（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）． ②连接，，判定四边形的形状，并给出证明． 21. 抖音直播带货是目前非常盛行的销售方式，小徐为了推销家乡的水果“荔枝”和“龙眼”，在网上直播带货．小徐和她的团队，每天在家乡收购两种水果共600箱，且当天全部售出，进货成本、平台提成等成本，销售单价如表所示： 题号 进货成本（元/箱） 平台提成等成本（元/箱） 销售单价（元/箱） 荔枝 36 6 50 龙眼 28 7 41 设该团队每天进货“荔枝”x箱，每天获得的利润为y元． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该团队每天投入总成本不超过元，应怎样安排“荔枝”和“龙眼”的进货量，可使该团队一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种水果的进货量． 22. （1）问题提出：将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则B点坐标为_________． （2）问题探究：如图2，平面直角坐标系中，已知，若，点C在第一象限，且，试求出C点坐标． （3）问题解决：如图3，矩形，O为坐标原点，B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标． 23. 通过类比联想、引中拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． （1）思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ，点、、共线． 根据 ，易证 ，得． （2）类比引申 如图，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系，求证：． （3）联想拓展 如图，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 班级 2023—2024学年度第二学期期末质量检测初二数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求就出答案． 【详解】解：A、，故A不是最简二次根式； B、，故B不是最简二次根式 C、是最简二次根式；故C正确； D、，故D不是最简二次根式； 故选：C. 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ） A. 人的身高与年龄 B. 汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C. 正方形的面积与它的边长 D. 圆的周长与它的半径 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意； 、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意； 、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意； 、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握形如（ 为常数） 的函数叫正比例函数是解题的关键． 3. 在中，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据三角形内角和及勾股定理可进行求解． 【详解】解：A、∵，能判定是直角三角形，故不符合题意； B、∵，即，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意； C、由可设，则有，所以不能构成三角形，更不能判定是直角三角形，故符合题意； D、由可设，所以，解得，能判定是直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式的运算法则，对每个选项进行计算即可找出正确答案． 【详解】解：A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，掌握二次根式加减乘除的运算法则是本题的关键． 5. 如图，E是边长为6的正方形ABCD对角线上的一动点，若四边形EFCG为矩形，则矩形EFCG的周长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形EFCG得△BEF与△DEG是等腰直角三角形，从而得BF=EF，EG=DG，进而得到矩形EFCG的周长是：EF+FC+CG+EG=BF+FC+CG+DG=BC+CD，便可求得结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC=∠BDC=45°， ∵正方形ABCD的边长为6， ∴BC+CD=12， ∵四边形EFCG是矩形， ∴∠EFB=∠EGD=90°， ∴△BEF与△DEG是等腰直角三角形， ∴BF=EF，EG=DG， ∴矩形EFCG的周长是：EF+FC+CG+EG=BF+FC+CG+DG=BC+CD=12， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，证明△BEF与△DEG是等腰直角三角形是解题的关键． 6. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意直接根据等边三角形的性质首先证明△AOB是等边三角形进而分析即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OD=OB， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=2OA=8. 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质以及等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现△AOB是等边三角形. 7. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握交点坐标的计算是解题的关键．根据得，利用数形结合思想解答即可． 【详解】根据题意，得， 解得， ∴图象与x轴交点为 由图象可知时，图象在x轴上方， ∴． 故选D． 8. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制)选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（ ） A. 170分 B. 86分 C. 85分 D. 84分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，利用加权平均数的计算方法，进行求解即可． 【详解】解：（分）； 故选B． 9. 如图，正方形和正方形的点在同一条直线上，点为的中点，连接，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，在正方形中证明三角形全等，并运用全等的性质解题是解题的关键．连接并延长交于，根据“两直线平行，内错角相等”可得，然后利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后根据等腰直角三角形的性质解答． 【详解】解：连接并延长交于，如下图， ∵四边形和四边形是正方形，三点在同一直线上， ∴，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中点， ∴在中，可有， ∵，， ∴，即， 即为等腰直角三角形， 所以知道的长度，可求出，一定能求出线段的长． 故选：C． 10. 如图，把正方形放在直角坐标系内，其中点的坐标分别为、，将直线沿轴向左平移个单位，则直线扫过正方形的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、一次图像的平移等知识，结合题意确定平移后的新直线解析式是解题关键．设直线与轴交于点，与交于点，根据题意可得，，，并确定点的坐标，结合平移的性质可得新的直线解析式，并确定新的直线经过点，然后根据求解即可． 【详解】解：如下图，设直线与轴交于点，与交于点， ∵四边形为正方形，点的坐标分别为、 ∴，，， 对于直线， 令，可得，解得，即， 令，可得，即， ∴，， ∵将直线沿轴向左平移个单位， ∴新的直线解析式为， 令，可得， ∴新的直线经过点， ∴直线扫过正方形的面积． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 使得式子有意义的的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式、分式有意义的条件分析得出答案． 【详解】由题意知：4－x＞0， 解得：x＜4， 故填：x＜4． 【点睛】此题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 12. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙、丙、丁四个品种的大豆中各选20株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率(单位：)，结果统计如下： 品种 甲 乙 丙 丁 平均数 25 25 24 24 方差 29.6 4 4 20.8 根据这些数据，应选择的优良大豆品种是___________． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差的应用，熟练掌握相关定义和性质是解题关键．根据平均数和方差的定义，结合表中数据即可获得答案． 【详解】解：根据表中数据可知，甲、乙两品种大豆光合作用速率为25，大于丙和丁两品种大豆光合作用速率， 而乙品种大豆光合作用速率的方差为4，小于甲品种大豆光合作用速率的方差，即乙品种大豆光合作用速率的稳定性强， 所以，应选择的优良大豆品种是乙． 故答案为：乙． 13. 如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=______． 【答案】7 【解析】 【分析】在Rt△ABO 、Rt△OBC和Rt△OCD中，分别由勾股定理求得OB、OC、OD的长，即可得OD2的值． 【详解】在Rt△ABO中，由勾股定理可知OB=， 在Rt△OBC中，由勾股定理可知OC= ， 在Rt△OCD中，由勾股定理可知OD=， ∴OD2=7． 故答案为7. 【点睛】本题考查了勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 14. 学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离y （米）与时间t （分钟）之间的函数关系如图所示，根据图象信息知，点A的坐标是__________； 【答案】（40，1600） 【解析】 【分析】由图象可知，学校和图书馆之间的距离为2400米，甲走完全程由60分，因此甲的速度为2400÷60＝40米/分；甲、乙二人经过24分钟相遇，甲乙的速度和2400÷24＝100米/分，乙的速度为100−40＝60米/分，因此乙走完全程用时2400÷60＝40分，当乙到目的地时，两人距离40×40＝1600米，可以得出A的坐标． 【详解】2400÷60＝40米/分，2400÷24＝100米/分， 100−40＝60米/分， 2400÷60＝40分， 40×40＝1600米， 因此点A的坐标为（40，1600） 故答案为：（40，1600）． 【点睛】考查函数的图象和性质，明确函数图象上点的坐标表示的实际意义是解决问题的关键． 15. 在正方形中，点在对角线上，点在正方形的边上，若，，则在中，的度数为____． 【答案】或或 【解析】 【分析】首先根据题意作出正方形以及，再以为圆心，为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的点，再分类讨论进行求解即可． 【详解】解：如图所示，在正方形中，点在对角线上，， 点在正方形的边上，且， 可以以为圆心，为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的点， 当点在上时，如图，， 四边形为正方形，为对角线， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 当点在上时，如图，，， 四边形为正方形，为对角线， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ，， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质，根据题意画出图形是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键． （1）利用因式分解法解该方程即可； （2）将原方程整理为，然后利用因式分解法解该方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 整理可得， ∴， ∴，． 17. 在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）求的度数； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1） （2）8.45千米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理推导为直角三角形，即可获得答案； （2）设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，可知千米，千米，千米， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，； 【小问2详解】 由（1）可知，，即， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴千米， 即原来的路线的长为8.45千米． 18. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示． （1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【答案】（1）， t的取值范围是；（2）从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件；（3）甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【解析】 【分析】（1）直线经过两点，采用待定系数法确定解析式即可； （2）根据0时到3时是正比例函数，确定工作效率，用总时间减去修机器的时间1小时就是工作时间，可确定总量； （3）确定再次工作时甲的解析式，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）设与t之间的函数关系式为． 把，分别代入，得 解得 ∴与时间t之间的函数关系式为： ； t的取值范围是； （2）当时，由图象知，甲前3小时加工120个， 故甲的工作效率为每小时加工零件40个． 甲组共加工（时）， 得（个）． ∴a的实际意义是：从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件； （3）由题意可知，当时，由于工作效率没变， ∴． 当时， ， 解得． 答：甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，一次函数与一元一次方程，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 19. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级： 八年级： 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 八年级 84 87 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； 【答案】（1），，七年级 （2）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可． 本题考查中位数、众数和用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：把七年级名学生的测试成绩从小到大排序为： ，，，，，，，，，， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 八年级名学生的成绩中分的最多， 所以众数， 同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：，，七； 【小问2详解】 解：（人） 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为人． 20. 请你解决下列问题： （1）如图，四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． （2）连接． ①作的垂直平分线，垂足为点，交于，交于；（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）． ②连接，，判定四边形的形状，并给出证明． 【答案】（1） 证明：由四边形内角和定理可得， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） ①如图所示，的垂直平分线即为所求， ②四边形是菱形，证明如下： 如图， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定，线段垂直平分线的尺规作图： （1）根据四边形内角和定理和已知条件证明，进而证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；②由线段垂直平分线的性质得到，再证明，得到，进而证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②略 21. 抖音直播带货是目前非常盛行的销售方式，小徐为了推销家乡的水果“荔枝”和“龙眼”，在网上直播带货．小徐和她的团队，每天在家乡收购两种水果共600箱，且当天全部售出，进货成本、平台提成等成本，销售单价如表所示： 题号 进货成本（元/箱） 平台提成等成本（元/箱） 销售单价（元/箱） 荔枝 36 6 50 龙眼 28 7 41 设该团队每天进货“荔枝”x箱，每天获得的利润为y元． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该团队每天投入总成本不超过元，应怎样安排“荔枝”和“龙眼”的进货量，可使该团队一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种水果的进货量． 【答案】（1）； （2）“荔枝”每天进货箱，“龙眼”每天进货箱，可使该团队一天所获得的利润最大，最大利润元． 【解析】 【分析】（1）由题意得，−−−−−，整理求解即可； （2）由题意得，−，解得，，然后根据一次函数的性质求利润的最大值，以及两种水果的进货量即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵该团队每天投入总成本不超过元， ∴， 解得：， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 则， ∴“荔枝”每天进货箱，“龙眼”每天进货箱，可使该团队一天所获得的利润最大，最大利润元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式的应用等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式． 22. （1）问题提出：将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则B点坐标为_________． （2）问题探究：如图2，平面直角坐标系中，已知，若，点C在第一象限，且，试求出C点坐标． （3）问题解决：如图3，矩形，O为坐标原点，B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1）；（2）点C的坐标为；（3）或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质等，掌握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E，证明，即可求解； （2）过点B、点C分别作x轴的平行线、分别交过点A与x轴的垂线于点E、D，与（1）同理证明，求出相关线段长度，可得答案； （3）设D坐标为，分D在下方与上方两种情况，证明，可得答案． 【详解】解：（1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴B点坐标为， 故答案为：； （2）过点B、点C分别作x轴的平行线、分别交过点A与x轴的垂线于点E、D， 与（1）同理， ∴， ， ∴点C的横坐标为：， C点的纵坐标为：， 故点C的坐标为； （3）设D坐标为， 当D在下方时，如图3-1，过D作轴于E，交于F， 同（1），可证得， ∴， ∴， 解得， ∴； 当D在上方时，如图3-2，过D作轴于E，交延长线于F， 同（1），可证得， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述：或． 23. 通过类比联想、引中拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． （1）思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ，点、、共线． 根据 ，易证 ，得． （2）类比引申 如图，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系，求证：． （3）联想拓展 如图，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】（1）； （2） （3） 联想拓展 猜想：． 理由如下：把绕点逆时针旋转到的位置，连接，如图所示： 则，， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与AD重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【小问1详解】 解：思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图， ， ，点、、共线， 则，，，， 即， 在和中， ， ． ； 故答案为：；； 【小问2详解】 类比引申 时，；理由如下： ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， 如图所示： ，， ，， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $