6.5 相似三角形的性质（1）导学案2024-2025学年苏科版数学九年级下册

九年级数学导学案 课题: 6.5 相似三角形的性质(1) 主备人: 审 核人: 姓名: 班级: _ 学号: _ 【学习目标】 1.掌握相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系; 2.运用类比的思想方法,得出相似多边形的周长及面积与相似比的关系; 3.会应用周长比面积比与相似比的关系解题. 4.经历“操作-观察-探索-猜想-推理”的活动过程,发展合理推理与演绎推理能力。 【学习重点】理解相似三角形的性质,能运用相似三角形的性质解决有关的问题. 【学习难点】能根据已知条件,构建数学模型,有条理的说理. 【情境创设】 前面学习了相似多边形的概念,知道如果两个三角形或两个多边形相似,那么它们的对应角相等、对应边成比例.除此之外,相似三角形、相似多边形是否还有其他的一些性质呢? ( A E F C D B )【探索活动】 活动一:探索相似三角形的周长比等于相似比 1.如图,当D、E、F分别是 ABC各边的中点时, DEF∽ ABC, 相似比为, 这两个三角形的周长之间、面积之间有什么关系? ( A B C A ′ B ′ C ′ )2.(1)小明猜想:“如果 ABC∽ ,那么 ABC与 的周长比等于相似比”, 请证明小明的猜想. 于是,得到定理: . 问:你能运用类似的方法说明“相似多边形周长的比与相似比的关系?” 类似地,还可以得到: . 活动二:探索相似三角形的面积比等于相似比的平方 ( A B C D A ′ B ′ D ′ C ′ )3.小丽猜想:如果 ABC∽ ,那么 ABC与 的面积比等于相似比的平方,已知相似比是k,AD和 分别是 ABC和 的高. 请证明小丽的猜想. 于是,得到定理: . 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形, 还可以得到: . 【例题分析】 例1.(1)两个相似三角形的相似比为2∶3,它们的对应边之比为 ,周长之比为 , 面积之比为 . (2)若两个三角形面积之比为16∶25,则它们的周长之比为 . (3)在比例尺为1∶500的地图上,测得一个三角形地块ABC的周长为12cm,面积为6cm2,求这个地块的实际周长为 m;实际面积为 m2. (4)已知 ABC∽ ,它们的周长分别是60cm和72cm,且AB=15cm, =24cm.则 长为 ,BC长为 . (5)若 ABC∽ DEF, ABC的面积为81, DEF的面积为36,AB=12,则DE= . (6)两个相似多边形面积之比1:4,周长之差为6,则这两个相似多边形的周长分别是 . 例2.如图,在 ABCD中,AE︰AB=1︰2. (1)求 AEF与 CDF的周长的比; (2)若=8 cm求. [来源:Zxxk.Com] 变式:四边形 ABCD是平行四边形,点E是BC的延长线上的一点,且CE:BC=1:3, 若 DGF的面积为9,试求:(1) ABG的面积(2) ADG与 BGE的周长比和面积比 例3.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.M为AD中点,连接CM交BD于点N,且ON=1. (1)求BD的长; (2)若 DCN的面积为2,求四边形ABCM的面积. 【拓展延伸】 ( C D E B M A )如图,在 ABCD中,点M是边AB的中点,CM、BD相交于点E.设 ABCD的面积为12,请分别求出 DME与 DEC的面积. 课后作业 1.已知 ABC∽ DEF,且AB:DE=1:2.则 ABC的面积与 DEF的面积之比为 ( ) A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:1 2.若 ABC∽ DEF,且 ABC与 DEF的相似比为1:2.则 ABC与 DEF的周长比为 ( ) A.1:4 B.1:2 C.2:1 D. 3. 两个相似多边形的面积之比为1:3,则它们的周长之比为 ( ) A.1:3 B.1:9 C. D.2:3 4.已知两个相似多边形面积的比9:16. (1)其中较小的多边形的周长为36cm ,则另一个多边形的周长 . (2)两个多边形的周长之和是42cm,则两个多边形的周长分别是 . (3)两个多边形的周长差是6cm,则两个多边形的周长分别是 . 5. 一个三角形的三边之比为2∶3∶4,和它相似的另一个三角形的最大边为16,则它的最小边的边长是 ,周长是 . 6.给形状相同且对应边的比为1:2的两块表牌的表面积涂油漆,如果小标牌用油漆半听,那么大标牌用油漆 . 7. 一个三角形改变成和它相似的三角形,若边长扩大为原来的3倍,则面积扩大为原来的 _倍. 8. 如图1,在 ABC中,D是AB上一点,DE∥BC,交AC于点E, ADE与四边形DBCE的面积比 为1︰3,则= . 9.如图2,在 ABC中,DE∥BC,若连接CD、BE相交于点O, ,则 DOE与 BOC的周长比为 ,面积比为 ; 10.如图3, ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3, 则S ADE∶S四边形DFGE∶S四边形FBCG= . 11.如图4,在 ABC中,DE∥BC,若点F在BC上,若 ADE与 ABC的面积比为1︰9,则 ADE与 ( B D G A C E F B D O A C E A D E C B A E D B F C 图1 图2 图3 图4 ) DEF的面积比为 . ( D A B C F E )12.如图,在 ABCD中,点E是BC上的三等分点,AE交BD于点F, 求(1)的值; (2) BEF与 DAF的周长的比、面积的比. 13.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,若 AOD与 COB的周长之比是2︰3. ( D A O C B ) (1)求AD∶CB的值;(2)若S AOD=2,你能求出四边形ABCD的面积吗? ( A E F C D B )14.如图,在 ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC=BD,∠ACB的平分线CF交AD与点F, E是AB的中点,连接EF; (1)求证:EF∥BC; (2)若 AEF的面积为2,求 ABC的面积. ( A B C D E O )15.如图, ABC中,DE//BC,CD、BE相交于O,直接写出下列两问的答案。 (1)若,则你能求出哪些图形的面积比? (2)若,则你能求哪些线段比? 1 学科网(北京)股份有限公司 $$