3.1 等量关系和方程 课件 2024-2025学年湘教版七年级数学上册

湘教版·七年级上册 3.1 等量关系和方程 情境导入 《九章算术》是我国现存最古老的数学经典著作之一. “程，课程也，群物总杂，各列有数，总言其实. 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.” ——刘徽 请试着列式解决下列问题： (1) 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛.比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，赢了12场，问篮球队一共得了多少分？ 2×12+1×(14-2) =26 (分) (2) 如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，宽为1 m，高为1 m，这个长方体的表面积是多少？ 长方体的表面积=(长×宽+宽×高+长×高)×2 (1.2×1+1×1+1.2×1)×2 =6.8 (m²) 探索新知 (1) 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛. 比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分. 问：其中蕴含怎样的等量关系？ 思 考 胜的场数得分+输的场数得分=总得分 还有其他等量关系？ 胜的场数+输的场数=总场数 设该队胜了x 场，则该队输了(14－x )场. 2x + (14－x) = 26 ① 如何根据等量关系，列出相应等式？ 胜的场数得分+输的场数得分=总得分 胜的场数+输的场数=总场数 (2) 如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，高为1 m，表面积为6.8 m2. 其中蕴含怎样的等量关系？ (长×宽＋宽×高＋长×高)×2=表面积 如何根据等量关系，列出相应等式？ 设包装盒底面的宽是y m，则 (1.2×y+y×1+1.2×1) ×2= 6.8， 即 2.4y + 2y + 2.4= 6.8 ② 2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8 ② 2 x + (14－ x) = 26 ① 含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程. 未知数 1. 一种商品打八折后售价为208元，问该商品原价是多少？设原价为x元 ，可列出方程__________. 2.小青比她妈妈小27岁，今年她妈妈的年龄正好是小青的4倍，小青今年几岁？设小青今年x岁，可列出方程_________________. 0.8x=208 x＋27=4x 练一练 ① 2x+2=18 ⑦ 4x-3=7 3.判断下列各式是不是方程，如果不是，请说明理由. ② 3y-1 ③ 3x2-3x-1=0 ④ -2x＜0 ⑤ x-2y=6 ⑥ a ⑧ -3=4 ⑨ 一个未知数，次数是1. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程。 说一说 2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8 ② 2 x + (14－ x) = 26 ① 每个方程含有几个未知数？每个未知数的次数是多少？ 2 x + (14－ x) = 26 2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？ 做一做 (1)找出上述趣题中的等量关系； 兔的只数＋鸡的只数＝35 兔的脚数＋鸡的脚数＝94 做一做 兔的只数＋鸡的只数＝35 兔的脚数＋鸡的脚数＝94 (2)适当设未知数，列出一元一次方程. 设兔有x 只，则鸡有(35－ x)只. 4x + 2(35－x) = 94 ③ 从而方程③变成 2x + 70=94 ④ 将方程③左边的多项式整理得 4x + (70－2x)=2x+70 把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值. 如何找到一个数，使得方程 2x + 70=94 左、右两边的值相等？ 议一议 根据方程中x的实际意义可知，这个数一定是正整数. 为什么x是正整数？ 如何找到一个数，使得方程 2x + 70=94 左、右两边的值相等？ 议一议 估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94比较 第1次估算 第2次估算 10 90 小了 15 100 大了 第3次估算 13 96 大了 第4次估算 12 94 相等 第5次估算 11 92 小了 如何找到一个数，使得方程 2x + 70=94 左、右两边的值相等？ 议一议 经过估计并代入，只有一个数12符合条件. 对于含有一个未知数 x 的方程，若 x 用一个数 c 代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解. 记作 x=c . 如何找到一个数，使得方程 2x + 70=94 左、右两边的值相等？ 议一议 由上可知，12 是方程的唯一解，于是上述趣题中兔有12只，鸡有23只. 例 分别检验x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解. （1）x=300； （2）x=330. 解（1）把x用300代入原方程得， 左边=2.5×300+318=1 068， 左边=右边， 所以x=300是方程2.5x+318=1 068的解. 例 分别检验x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解. （1）x=300； （2）x=330. （2）把x用330代入原方程得， 左边=2.5×330+318=1 143， 左边≠右边， 所以x=330不是方程2.5x+318=1068的解. 对于方程 2x - 6 = 7x + 4，分别检验 x = 2 和 x = -2 是不是它的解. 练一练 【课本P98 练习 第3题】 解：(1) 把x用2代入原方程得， 左边= 2×2 - 6 = -2 ，右边=7×2+4=18， 左边 ≠ 右边， 所以x =2不是方程2x - 6 = 7x + 4的解。 解：（2）把x =-2代入原方程得， 左边=2×(-2)-6 = -10 ， 右边=7×(-2)+4 = -10 ， 左边=右边， 所以x = -2是方程2x - 6 = 7x + 4的解. 【课本P98 练习 第3题】 对于方程 2x - 6 = 7x + 4，分别检验 x = 2 和 x = -2 是不是它的解. 课堂练习 1.排球场的长比宽多9 m，周长是54 m，排球场的 宽为多少？列出方程. 【课本P98 练习 第1题】 解：设排球场的宽为 x m. (9+x +x)×2=54 2.估计方程4x+1=61的解. 【课本P98 练习 第2题】 估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值61比较 第1次估算 第2次估算 10 41 小了 20 81 大了 第3次估算 15 61 相等 解：经过估计和代入，x=15 是方程 4x+1=61的解. 3.判断下列方程是不是一元一次方程： （1）23 – x = –7 （2）2a – b =3 （3）y+3=6y – 9 （4）0.32m – （3+0.02m）=0.7 （5）x2 = 1 （6） √ × √ √ × √ 实际问题 一元一次方程 找等量关系 设未知数列方程 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程. 能使方程左、右两边相等的未知数的值，是这个方程的一个解. 课堂总结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $$