专题2.1 二次函数全章十类必考点（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版）

专题2.1 二次函数全章十类必考点 【浙教版】 【考点1 根据题目信息识别和判断函数图象】 1 【考点2 二次函数图象与系数的关系】 4 【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】 7 【考点4 二次函数图象的几何变换】 8 【考点5 由二次函数的最值求字母的值】 9 【考点6 由二次函数的性质求代数式最值】 9 【考点7 由二次函数的性质求几何最值】 10 【考点8 二次函数的实际应用】 12 【考点9 二次函数中的存在性问题】 15 【考点10 二次函数中的新定义问题】 19 【考点1 根据题目信息识别和判断函数图象】 1．（2024春•九龙坡区校级期末）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•胶州市校级二模）一次函数y＝bx﹣a和二次函数y＝ax2+x+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•无为市月考）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝﹣x﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•黔南州期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•镇平县模拟）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•安徽一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（2024•卧龙区校级二模）如图，一次函数y1＝x与二次函数图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点2 二次函数图象与系数的关系】 1．（2023秋•禹城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＞0，②2a+b＝0，③b2＞4ac，④4a+2b+c＞0，⑤3a+c＜0中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024春•天府新区校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论： ①abc＜0，②a2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．2 C．5 D．6 3．（2024•临邑县模拟）小红从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①b＞0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2024•十堰模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024•宝安区二模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论： ①b＝2a； ②c﹣a＝n； ③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间； ④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0； ⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关于x的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x1x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；⑤直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（2024春•五莲县期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2，下列说法；①c﹣3a＞0；②4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；③若图象上存在点A（x1，y1）和B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2；④若直线y＝px+q与抛物线两交点横坐标为分别为﹣1，﹣4．则不等式ax2+（b﹣p）x+c＜q的解集为4＜x＜﹣1．其中正确个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】 1．（2023秋•义乌市期末）已知二次函数y＝﹣mx2+2mx+4（m＞0）经过点A（﹣2，y1），点B（1，y2），点C（3，y3），那么y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 2．（2024春•鼓楼区校级期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．不能确定 3．（2024•三元区一模）若二次函数y＝﹣x2﹣bx﹣c的图象过不同的几个点A（﹣1，a）、B（3，a）、C（﹣2，y1）、D（，y2）、E（，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 4．（2024春•镇海区期末）已知二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2（a≠0）的图象上有两点A（x1，p），B（x2，q），其中x1＜x2，则（　　） A．若a＞0，当x1+x2＞﹣5，则p＞q B．若a＞0，当x1+x2＜﹣3，则p＞q C．若a＜0，当x1+x2＞﹣3，则p＞q D．若a＜0，当x1+x2＜﹣5，则p＞q 5．（2024春•浦江县期末）点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（4，y4）是二次函数y＝﹣2x2﹣4x+c+2图象上的四个点，下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y3y4＜0，则y1y2＜0 D．若y2y3＜0，则y1y4＞0 6．（2024•赣榆区三模）已知点A（x1，y1）在直线y＝﹣x﹣6上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣2上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　） A．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣4 B．﹣10＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣4＜x1+x2+x3＜0 D．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8 7．（2024春•海淀区校级期中）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上的两点，当t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4 时，下列说法正确的是（　　） A．若，则y1≤y2 B．若y1＜y2，则 C．若y1＞y2，则 D．若，则y1≥y2 【考点4 二次函数图象的几何变换】 1．（2024春•北碚区校级月考）将抛物线C1：y＝3x2+ax+b向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到新抛物线C2：y＝3x2+3x﹣17，则a﹣b的值为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 2．（2024•阎良区三模）将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点（1，5），则m的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣3 3．（2024•广西模拟）将抛物线y1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C． D． 4．（2024•岳麓区校级模拟）二次函数y＝m（x+3）2﹣3（m为常数且m≠0）的图象与y轴交于点A．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，旋转后的图象与y轴交于点B，若AB＝12，则m的值为（　　） A．1或 B．1或﹣3 C．3 D． 5．（2024•鼓楼区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣4的图象沿直线x＝2翻折，它能够与另一个二次函数的图象重合，另一个二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2+4 B．y＝x2﹣6x+8 C．y＝x2﹣8x+12 D．y＝﹣x2﹣4 6．（2024春•肇东市校级月考）将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 　 　． 7．（2023秋•太仓市期中）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1沿y轴翻折所得新抛物线的解析式为 　 　． 【考点5 由二次函数的最值求字母的值】 1．（2023秋•榆林期末）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 2．（2024春•鄞州区校级期末）若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 3．（2024春•榆阳区校级月考）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+5有最大值4，则实数m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1或2 C．2或﹣3 D．2或﹣3或﹣1 4．（2023•绵竹市模拟）当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或 5．（2024•子洲县三模）已知抛物线y＝2x2﹣4x+3在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为（　　） A．﹣1或5 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1或4 6．（2024•邢台三模）点A（a，b1），B（a+2，b2）在函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，当a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b1，则a的取值范围是（　　） A．0≤a≤2 B．﹣1≤a≤2 C．﹣1≤a≤1 D．﹣1≤a≤0 7．（2023•江阳区校级模拟）当2b﹣2≤x≤2b+1时，抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b﹣1有最大值2，则b的值为（　　） A．1或 B．7或1 C．7或 D．1或 【考点6 由二次函数的性质求代数式最值】 1．（2023•江都区一模）已知y2﹣2x+4＝0，则x2+y2+2x的最小值是（　　） A．8 B．﹣8 C．﹣9 D．9 2．（2023秋•如皋市校级月考）已知实数a、b满足a﹣b2＝2，则代数式a2﹣3b2+a﹣9的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣9 3．（2024•浙江模拟）已知：，，m+n＝2，则下列说法中正确的是（　　） A．n有最大值4，最小值1 B．n有最大值3，最小值 C．n有最大值3，最小值1 D．n有最大值3，最小值 4．（2023秋•潜山市期末）已知s，t是实数，点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，设w＝t2+s2+2s，则w的最大值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 5．（2022秋•泗洪县期末）已知非负数x，y，z满足x+y＝3，z﹣3x＝4，设s＝﹣x2+y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D． 6．（2024•邗江区校级一模）若实数x，y满足关系式3x2+y2＝6x，则2x2+y2的最大值为 　 　． 7．（2024•高港区三模）已知p2﹣2ap+1＝0，q2﹣2（a﹣1）q﹣2a+2＝0，且a≥2，设t＝a（p+q），则t的最小值为 　 　． 【考点7 由二次函数的性质求几何最值】 1．（2024•雁塔区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，M是抛物线y＝x2+x﹣2在第三象限上的一点，过点M作x轴和y轴的垂线，垂足分别为P，Q，则四边形OPMQ的周长的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（2023秋•贵池区期末）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（2023秋•宣化区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为（　　） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 4．（2024•石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t s，那么△PBQ的面积S的最大值为 　 　mm2． 5．（2024•宜兴市一模）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、EH，当DE＝EH时，DH长是 　 ；运动过程中，△DEH的面积的最小值是 　 ． 6．（2024•祁阳市二模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 　 　． 7．（2024•大武口区校级模拟）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长； （3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【考点8 二次函数的实际应用】 1．（2024•广水市模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元． （1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 　 　m2，花卉B的种植面积是 　 　m2，花卉C的种植面积是 　 　m2． （2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ （3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． 2．（2024•江岸区校级模拟）小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、II、III三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合，矩形MFNC（区域II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示． （1）若花卉均价为450元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为300元/米2，且花卉和草坪裁种总价不超过65400元，求S的最大值； （2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：3． ①求MF，FN的长； ②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为150元/米2，80元/米2，150元/米2，且边BN的长不小于边ME长的倍．求图中I、II、II三个区域栽种花卉总价W元的最大值． 3．（2024•襄城区模拟）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．两种产品成本价、售价及每日需支付的专利费如下表所示： 类别产品 成本价（元/件） 售价（元/件） 每日需支付的专利费（元） A m（m为常数，且4≤m≤6） 8 30 B 12 20 y 其中A产品每日最多产销500件，B产品每日最多产销300件，B产品每日需支付专利费y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2． （1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润；（A产品的最大日利润用含m的代数式表示） （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由． 【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】 4．（2024•天山区校级一模）某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间．两周内将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示： 时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量（斤） 80﹣3x 120﹣x 储存和损耗费用（元） 40+3x 3x2﹣64x+400 已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大． ②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果． 5．（2024•大冶市一模）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28且x为整数）成一次函数关系且满足z＝﹣2x+100．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； （3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值． 6．（2024•江岸区模拟）某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小明在教官的指导下用手榴弹（模拟手榴弹）进行一次试投：如图所示，把小明投出的手榴弹的运动路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡OA的坡度为1：10，山坡上A处的水平距离OB为30米． （1）求这条抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）A处有一棵树AC，AC＝4.4米，则小明投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由； （3）求手榴弹在飞行的过程中离坡面OA的最大高度是多少米． 7．（2024•梁园区校级四模）嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此次情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长，嘉嘉在点A（6，1）处发球，羽毛球（看成点）的运动路线为抛物线C1的一部分．当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为3m，其高度为2m，淇淇恰在点B（0，c）处将球击回．在与点O水平距离3m处设有一个高为1.5m的球网MN、P，Q为两侧边界．与球网的距离均为7m（注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规）． （1）求抛物线C1的解析式和c的值（不必写x的取值范围）； （2）当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线C2：yc的一部分． ①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？ ②嘉嘉在球场上C（d，0）处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度m，若嘉嘉因接球高度不够而失球，直接写出d的取值范围． 【考点9 二次函数中的存在性问题】 1．（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2024•龙江县模拟）如图，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作PM⊥x轴，与线段BC交于点M，垂足为点H，若PM＝MH时，求△PBC的面积； （3）若以P，M，C为顶点的三角形是以∠PMC为底角的等腰三角形时，求线段MP的长； （4）已知点Q是直线PC上一点，在（3）的条件下，直线PM上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024春•南川区期中）已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积； （3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 4．（2023秋•陵城区期末）如图，抛物线与直线AB交于点．点D是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），经过点D且与y轴平行的直线交直线AB于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点．是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024•武威二模）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E，点D是BE的中点． （1）求m的值； （2）求该抛物线对应的函数关系式； （3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024春•青山区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）、C（0，﹣2）． （1）求抛物线表达式； （2）点Q是位于第四象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求点Q的坐标； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2024•连州市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BC，CP，BP． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）△BCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线AQ与直线BC交于点Q，若存在∠AQB与∠ACB中一个是另一个的2倍，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点10 二次函数中的新定义问题】 1．（2024•南通一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”． （1）在函数①y＝﹣x+3，②y，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 　 　；（填序号） （2）设函数y（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 2．（2024•长沙模拟）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y． （1）已知点A（﹣5，10）在一次函数y＝ax﹣5的相关函数的图象上，求a的值； （2）已知二次函数y＝﹣x2+4x． ①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值； ②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x的相关函数的最大值和最小值． （3）在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（，1）、（，1），连接MN．直接写出线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围． 3．（2024•兴隆台区校级三模）我们定义【a，b，c】为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝2x2﹣3x+5的“特征数”是【2，﹣3，5】，函数y＝x+2的“特征数”是【0，1，2】，函数y＝﹣2x的“特征数”是【0，﹣2，0】． （1）若一个函数的特征数是【1，﹣4，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 　 ． （2）将“特征数”是【0，，﹣1】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 　 　． （3）当“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数在直线x＝m﹣2和直线x＝1之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求m的值． （4）点A（﹣2，1）关于y轴的对称点为点D，点B（﹣2，﹣3m﹣1）关于y轴的对称点为点C．当若（3）中的抛物线与四边形ABCD的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出m的值．（m为常数） 4．（2024•龙岗区校级模拟）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”． 函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”． 【举例】已知点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上． 点A（1，3）的“纵横值”为y﹣x＝3﹣1＝2； 函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 　 　； ②求出函数yx（2≤x≤4）的“最优纵横值”； （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线x上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数y＝﹣x2+（2b+1）x﹣b2+3，当﹣1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 5．（2024春•海州区校级月考）我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”． （1）判断一次函数y＝x+1和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理； （2）若一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； （3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件： ①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围． 6．（2024•无锡模拟）定义：把函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象绕点P（O，n）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，C2的图象顶点纵坐标为m． （1）当n＝0时，求新函数C2的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）若a＝1，当x≤m时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1+y2＝7，求C2的解析式； （3）当n＝1时，C2的图象与直线y＝2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围　 　． 7．（2024春•雨花区期末）定义：若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：y＝x+2图象与y＝﹣x的交点是（﹣1，1），则y＝x+2是“零和函数”，交点（﹣1，1）是“零和点”． （1）以下两个函数：①y＝2x﹣1，②y＝x2+x+4，是“零和函数”的是 　 　（填写序号）； （2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式； （3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A（x1，y1）和B（x2，y2），且，该二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，若已知，求M的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 二次函数全章十类必考点 【浙教版】 【考点1 根据题目信息识别和判断函数图象】 1 【考点2 二次函数图象与系数的关系】 7 【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】 16 【考点4 二次函数图象的几何变换】 21 【考点5 由二次函数的最值求字母的值】 24 【考点6 由二次函数的性质求代数式最值】 27 【考点7 由二次函数的性质求几何最值】 31 【考点8 二次函数的实际应用】 38 【考点9 二次函数中的存在性问题】 49 【考点10 二次函数中的新定义问题】 66 【考点1 根据题目信息识别和判断函数图象】 1．（2024春•九龙坡区校级期末）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的性质判定m、n的符号，进一步判定二次函数的开口方向和对称轴的位置进行判断． 【解答】解：∵函数y＝mx2+nx与x轴的交点坐标为（0，0）和（，0），函数y＝mx+n与x轴的交点坐标为（，0）， ∴抛物线和直线的有一个交点在x轴上，故选项A、C、D不合题意； 若函数y＝mx+n经过一三四象限，m＞0，n＜0， ∴二次函数y＝mx2+nx的图象开口向上， ∵对称轴x0， ∴在y轴的右侧，故选项B符合题意； 故选：B． 2．（2024•胶州市校级二模）一次函数y＝bx﹣a和二次函数y＝ax2+x+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【解答】解：A．∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数y＝bx﹣a过二，三，四象限，故本选项符合题意； B．∵二次函数图象开口向下，与y轴交点在正半轴， ∴a＜0，b＞0， ∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过第一、二、三象限，抛物线的对称轴为，故本选项不符合题意； C．∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过第二、三、四象限，故本选项不符合题意； D．∵二次函数图象开口向下，与在y轴交点在正半轴， ∴a＜0，b＞0， ∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过一、二，三象限，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（2024春•无为市月考）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝﹣x﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＜0，c＞0，从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于正半轴，且二次函数y＝ax2+（b+1）x+c对称轴在y轴的左侧，得b＜﹣1，即可得出答案． 【解答】解：根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＜0，c＞0， 抛物线y＝ax2+（b+1）x+c对称轴为， ∴b＜﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴为； 一次函数y＝﹣x﹣b的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 4．（2023秋•黔南州期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x0，故选项错误； B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x0，故选项正确； C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 5．（2024•镇平县模拟）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，即可得出答案． 【解答】解：由二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可知，a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，故B正确． 故选：B． 6．（2024•安徽一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据抛物线对称轴为直线x＝1推出，再根据当x＝﹣1时，y＞0，得到3a+c＞0，由此即可得到答案． 【解答】解：∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴ ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，即a+2a+c＞0， ∴3a+c＞0， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于（0，2）， 故选：B． 7．（2024•卧龙区校级二模）如图，一次函数y1＝x与二次函数图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于第一象限的P、Q两点，得出函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，即可进行判断． 【解答】解：由图象可知一次函数y＝x与二次函数y＝ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点， ∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴， ∴A符合条件， 故选：A． 【考点2 二次函数图象与系数的关系】 1．（2023秋•禹城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＞0，②2a+b＝0，③b2＞4ac，④4a+2b+c＞0，⑤3a+c＜0中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据图象的对称轴、与x轴交点个数、与y轴交点位置进行判断即可． 【解答】解：如图： ∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵图象交y轴于正半轴， ∴c＞0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错； ∵b＝﹣2a， ∴b+2a＝0，故②对； ∵图象与x轴两个交点， ∴Δb2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故③对； 根据图象可知（﹣1，0）关于x＝1对称的点为（3，0）， 故图象与x轴交点在﹣1和3之间，且开口向下， ∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故④对； 由图象知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故⑤对；共四个对， 故选：D． 2．（2024春•天府新区校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论： ①abc＜0，②a2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．2 C．5 D．6 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，结合对称轴判断①；根据a＞0，c＜0可判断②；根据对称性求得x＝2时的函数值小于0，判断③；根据二次函数的性质即可判断④；根据二次函数的最值即可判断⑤． 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵对称轴为直线：x1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①错误； ②∵a＞0，c＜0， ∴ac＜0， ∴a2＞4ac，故②正确； ③∵对称轴为直线x＝1，则x＝0与x＝2的函数值相等， ∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误； ④当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故④错误； ⑤当x＝1时，y取到最小值，此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c≤am2+bm+c， 故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确， 故选：B． 3．（2024•临邑县模拟）小红从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①b＞0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】观察图象易得a＞0，又，从而b＜0，2a﹣3b＞0，因此abc＞0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；由图象，当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣b+c＞0，③是正确的；由图象，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，由点（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0，⑤是正确的． 【解答】解：∵抛物线开口方向向上， ∴a＞0． 又对称轴是直线x， ∴ba＜0，故①错误． ∵与y轴交点在x轴的下方， ∴c＜0． ∴abc＞0，故②是正确． 由图象，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴③是正确． 由对称轴是直线x， ∴3b＝﹣2a． ∴2a﹣3b＝4a＞0，故④是错误． 又由图象，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0， ∴⑤正确． 故选：B． 4．（2024•十堰模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0． 抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0． 抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0， 所以abc＜0． 故①错误； ②∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0， 故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴函数的最小值为：a+b+c， ∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c， 故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧， ∴当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 故④正确； ⑤∵bx1bx2， ∴bx1bx2＝0， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， 而x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2， ∵b＝﹣2a， ∴x1+x2＝2， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②③④⑤． 故选：D． 5．（2024•宝安区二模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论： ①b＝2a； ②c﹣a＝n； ③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间； ④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0； ⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解； ②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解； ③根据抛物线的对称性即可求解； ④根据抛物线的平移即可求解； ⑤根据一元二次方程的判别式即可求解． 【解答】解：①因为抛物线的对称轴为x＝1， 即1，所以b＝﹣2a， 所以①错误； ②当x＝1时，y＝n， 所以a+b+c＝n，因为b＝﹣2a， 所以﹣a+c＝n， 所以②正确； ③因为抛物线的顶点坐标为（1，n）， 即对称轴为x＝1， 且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间， 所以抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间； 所以③正确； ④因为ax2+（b+2）x＜0，即ax2+bx＜﹣2x， 根据图象可知： 把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象向下平移c个单位后图象过原点， 即可得抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的图象， 所以当x＜0时，ax2+bx＜﹣2x， 即ax2+（b+2）x＜0． 所以④正确； ⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0， Δ＝（b）2﹣4ac， 因为根据图象可知：a＜0，c＞0， 所以﹣4ac＞0， 所以Δ＝（b）2﹣4ac＞0， 所以一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根． 所以⑤正确． 故选：D． 6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关于x的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x1x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；⑤直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据抛物线与方程、不等式的关系及二次函数的性质求解． 【解答】解：由图象得：a＜0，c＞0，b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①是正确的； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴0＝ax2+bx+c有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，故②是错误的； 根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点的横坐标分别为：﹣2，4， ∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝8a+c＝0，故③是正确的； 由图象得：抛物线与y＝﹣1的交点的横坐标分别位于﹣2的左边，4的右边， ∴x1＜﹣2，x2＞4；故④是正确的； ∵直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c）和（4，0）， ∴于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0即：ax2+bx+c＞kx﹣4k的解集是0＜x＜4，故⑤是正确的； 故选：B． 7．（2024春•五莲县期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2，下列说法；①c﹣3a＞0；②4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；③若图象上存在点A（x1，y1）和B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2；④若直线y＝px+q与抛物线两交点横坐标为分别为﹣1，﹣4．则不等式ax2+（b﹣p）x+c＜q的解集为4＜x＜﹣1．其中正确个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的对称轴得出b＝4a，由图象可得，当x＝﹣1时，y＞0，即可判断①；用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，即可判断②；利用二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系即可判断③；利用二次函数与一次函数的交点问题即可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x＝﹣2， ∴2， ∴b＝4a，代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c， 由图象可得：当x＝﹣1时，y＞0， 即：a×（﹣1）2+4a×（﹣1）+c＞0， ∴c﹣3a＞0，故①正确； 设4a2﹣2ab≥at（at+b），则4a﹣2b≤at•t﹣bt， ∴4a﹣2b+c≤at•t﹣bt+c， ∵左侧为x＝﹣2时的函数值，右侧为x＝t时的函数值，显然不成立，故②错误； 由题意得：x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的两个根， 从图象上看，由于二次函数具有对称性，x1、x2关于直线x＝﹣2对称， ∴当且仅当m＜﹣2＜m+3时，存在点A（x1，y1）和B（x2，y2）， 当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2， 即m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，故③正确； 直线y＝px+q与抛物线两交点横坐标为分别为﹣1和﹣4，则不等式ax2+（b﹣p）x+c＜q， 即：ax2+bx+c＜px+q的解集为：x＜﹣4或x＞﹣1，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：B． 【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】 1．（2023秋•义乌市期末）已知二次函数y＝﹣mx2+2mx+4（m＞0）经过点A（﹣2，y1），点B（1，y2），点C（3，y3），那么y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 【分析】根据函数解析式求出抛物线对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质求判断即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣mx2+2mx+4的对称轴为直线x1， ∵m＞0， ∴抛物线开口向下， ∴x＝1时，y2最大， ∵1﹣（﹣2）＝3＞3﹣1＝2， ∴y3＞y1， ∴y1，y2，y3的大小关y1＜y3＜y2． 故选：B． 2．（2024春•鼓楼区校级期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．不能确定 【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题． 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2， ∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，2）， ∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时， 观察图象可知：y2＜y1＜y3， 故选：B． 3．（2024•三元区一模）若二次函数y＝﹣x2﹣bx﹣c的图象过不同的几个点A（﹣1，a）、B（3，a）、C（﹣2，y1）、D（，y2）、E（，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【分析】由A（﹣1，a）B（3，a）的对称性，可求函数的对称轴为直线x＝1，再根据二次函数的性质，即可判断y1＜y2＜y3． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣bx﹣c的图象过点A（﹣1，a）、B（3，a）， ∴开口向下，对称轴为直线x1， ∴当x≤1时，y随x的增大而增大， ∵E（，y3）关于对称轴的对称点为（2），且﹣221， ∴y1＜y2＜y3； 故选：A． 4．（2024春•镇海区期末）已知二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2（a≠0）的图象上有两点A（x1，p），B（x2，q），其中x1＜x2，则（　　） A．若a＞0，当x1+x2＞﹣5，则p＞q B．若a＞0，当x1+x2＜﹣3，则p＞q C．若a＜0，当x1+x2＞﹣3，则p＞q D．若a＜0，当x1+x2＜﹣5，则p＞q 【分析】由二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2得，当y＝2时，a（x﹣m+4）（x+m）＝0，解得x1＝m﹣4，x2＝﹣m，则二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2经过点 （m﹣4，2），（﹣m，2），则对称轴为直线 ，再逐项推理即可． 【解答】解：由二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2得，当y＝2时，a（x﹣m+4）（x+m）＝0，解得x1＝m﹣4，x2＝﹣m， ∴二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2经过点 （m﹣4，2），（﹣m，2）， ∴对称轴为直线 ， A、若a＞0，当 x1+x2＞﹣5 时， ∵ 则p＜q，故不符合题意； B、若a＞0，当 x1+x2＜﹣3 时， ∵ 则p＜q，故不符合题意； C、若a＜0，当 x1+x2＞﹣3时， 则p＞q，故符合题意； D、若a＜0，当 x1+x2＜﹣5， ∴，则p＜q，故不符合题意； 故选：C． 5．（2024春•浦江县期末）点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（4，y4）是二次函数y＝﹣2x2﹣4x+c+2图象上的四个点，下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y3y4＜0，则y1y2＜0 D．若y2y3＜0，则y1y4＞0 【分析】根据函数的表达式可得抛物线开口向下，对称轴为直线x1，再根据函数的单调性得知，y2＞y3＞y1＞y4，接着判断每个选项即可得出答案． 【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+c+2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x1， ∴A（﹣4，y1）关于对称轴的对称点为（2，y1），B（﹣2，y2）关于对称轴的对称点为B（0，y2）， ∵0＜1＜2＜4，且当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴y2＞y3＞y1＞y4， A．若y1y2＞0， 则y1，y2，y3同号， 则y4可能与它们同号，也可能异号 则y3y4＞0或y3y4＜0，故本选项不符合题意； B．若y1y4＞0， 则y2y3同号或者y2y3异号， 故本选项不符合题意； C．若y3y4＜0， 则y4＜0，y3＞0， 则y2＞0，y1＞0或y1＜0， 故本选项不符合题意； D．若y2y3＜0， 则y2＞0，y3＜0， 则y1＜0，y4＜0， 则y1y4＞0． 故本选项符合题意． 故选：D． 6．（2024•赣榆区三模）已知点A（x1，y1）在直线y＝﹣x﹣6上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣2上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　） A．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣4 B．﹣10＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣4＜x1+x2+x3＜0 D．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8 【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x的值，即可求得x1取值范围，根据抛物线的对称性求得x2+x3＝﹣2，从而求得x1+x2+x3的取值范围． 【解答】解：令﹣x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣2，整理得x2+3x﹣4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣4， ∴直线y＝﹣x﹣6与抛物线的交点的横坐标为1，﹣4， ∵y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣（x+2）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，2）， 把y＝2代入y＝﹣x﹣6，解得x＝﹣8， 若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则﹣8＜x1＜﹣4，x2+x3＝﹣4， ∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8， 故选：D． 7．（2024春•海淀区校级期中）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上的两点，当t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4 时，下列说法正确的是（　　） A．若，则y1≤y2 B．若y1＜y2，则 C．若y1＞y2，则 D．若，则y1≥y2 【分析】根据二次函数性质逐项分析判断即可． 【解答】解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1， 当x＝0时，y＝1，且x1＜x2， A．当t时，x1，x2， 则点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，故y1＞y2， 故时，y1＞y2， 故A错误，不符合题意； B．若y1＜y2，则A、B在对称轴的异侧或右侧， 当A、B在对称轴的右侧时， 则t≥2， 当A、B在对称轴的异侧时， 则t+2﹣1≥1﹣（t﹣1）， 解得：t； 综上，t； 故B错误，不符合题意； 若y1＞y2，则点A、B在对称轴异侧或左侧， 当A、B在对称轴异侧时，则1﹣t﹣1≥t+4﹣1， 解得：t； 当A、B在对称轴左侧时， 则t+4≤1， 解得：t≤﹣3， 则t≤﹣3， 故C错误，不符合题意； 当t时， 则x1，x2， 则点A到对称轴的距离大于或等于点B到对称轴的距离，故y1＞y2， ∴，则y1≥y2， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【考点4 二次函数图象的几何变换】 1．（2024春•北碚区校级月考）将抛物线C1：y＝3x2+ax+b向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到新抛物线C2：y＝3x2+3x﹣17，则a﹣b的值为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【解答】解：依题意，y＝3x2+ax+b向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到：y＝3（x+1）2+a（x+1）+b+1 ＝3x2+6x+3+ax+a+b+1 ＝3x2+（6+a）x+a+b+4， ∴6+a＝3，a+b+4＝﹣17， 解得：a＝﹣3，b＝﹣18， ∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣18）＝15， 故选：B． 2．（2024•阎良区三模）将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点（1，5），则m的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣3 【分析】先求出平移后的解析式，再把（1，5）代入解析式求值即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣6x+m2+6＝（x﹣3）2+m2﹣3， ∴将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到y＝（x﹣3+1）2+m2﹣3﹣2，即y＝（x﹣2）2+m2﹣5， ∵经过点（1，5）， ∴5＝1+m2﹣5， 解得m＝±3， 故选：D． 3．（2024•广西模拟）将抛物线y1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C． D． 【分析】先确定抛物线y1的顶点坐标为（0，1），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点（0，1）变换后所得对应点的坐标为（0，﹣1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线． 【解答】解：抛物线y1的顶点坐标为（0，1），点关于原点O的对称点的坐标为（0，﹣1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为yx2﹣1． 故选：D． 4．（2024•岳麓区校级模拟）二次函数y＝m（x+3）2﹣3（m为常数且m≠0）的图象与y轴交于点A．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，旋转后的图象与y轴交于点B，若AB＝12，则m的值为（　　） A．1或 B．1或﹣3 C．3 D． 【分析】先求解A的坐标，再求解旋转后的解析式及B的坐标，再利用AB＝12，再建立方程求解即可． 【解答】解：∵二次函数y＝m（x+3）2﹣3（m为常数且m≠0）的图象与y轴交于点A． ∴当x＝0时，y＝9m﹣3， ∴A（0，9m﹣3）， ∵二次函数y＝m（x+3）2﹣3的图象以原点为旋转中心旋转180°， ∴旋转后的解析式为：﹣y＝m（﹣x+3）2﹣3即y＝﹣m（x﹣3）2+3， 当x＝0时，y＝﹣9m+3， ∴B（0，﹣9m+3）， ∵AB＝12， ∴|9m﹣3﹣（﹣9m+3）|＝12，即|18m﹣6|＝12， 解得：m＝1或， 故选：A． 5．（2024•鼓楼区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣4的图象沿直线x＝2翻折，它能够与另一个二次函数的图象重合，另一个二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2+4 B．y＝x2﹣6x+8 C．y＝x2﹣8x+12 D．y＝﹣x2﹣4 【分析】直接根据平面直角坐标系中，点关于直线对称的特点得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4的图象的顶点为（0，﹣4）， ∴沿直线x＝2翻折后的二次函数y＝x2﹣4的图象的顶点为（4，﹣4）， ∴另一个二次函数的表达式为y＝（x﹣4）2﹣4，即y＝x2﹣8x+12． 故选：C． 6．（2024春•肇东市校级月考）将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 　 　． 【分析】由抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），可得沿x轴翻折后的顶点坐标是（﹣1，﹣3），即可求解． 【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），则沿x轴翻折后顶点坐标是（﹣1，﹣3），开口向下， ∴新抛物线解析式是：y＝﹣2（x+1）2﹣3， 故答案是：y＝﹣2（x+1）2﹣3． 7．（2023秋•太仓市期中）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1沿y轴翻折所得新抛物线的解析式为 　 　． 【分析】根据点关于y轴对称的特点即可求得． 【解答】解：∵点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”， ∴把抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1沿y轴翻折所得新抛物线的解析式为y＝﹣3（﹣x+2）2﹣1，即y＝﹣3（x﹣2）2﹣1． 故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2﹣1． 【考点5 由二次函数的最值求字母的值】 1．（2023秋•榆林期末）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得在﹣3≤x≤2的范围内函数取最小值时x的值，进而求解． 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3）， ∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值， ∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5， 解得c＝3或c＝﹣1， 故选：A． 2．（2024春•鄞州区校级期末）若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 【分析】分两组情况讨论，当m≤2时，则当x＝m时，有最小值求得m；当m＞2时，则x＝2时，y有最小解得m2，即可求得m． 【解答】解：∵yx2﹣mx+1（x﹣m）2+（m2+1）， ∴图象f的对称轴为直线x＝m， 当m≤2时，抛物线开口向上， ∴当x＝m时，y有最小值，y最小m2+1＝0， 解得m， 当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴x＝2时，y有最小值，y最小（2﹣m）2+（m2+1）＝0， 解得m（不合题意，舍去）， 综上，m． 故选：B． 3．（2024春•榆阳区校级月考）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+5有最大值4，则实数m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1或2 C．2或﹣3 D．2或﹣3或﹣1 【分析】求出二次函数对称轴为直线x＝m，再分m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【解答】解：二次函数对称轴为直线x＝m， ①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+5＝4 解得m＝﹣3； ②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值为5，不合题意； ③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+5＝4， 解得m＝2． 故选：C． 4．（2023•绵竹市模拟）当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或 【分析】分类讨论：m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1，根据函数的增减性，可得答案． 【解答】解：当m＜﹣2，x＝﹣2时，y最大＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m（舍）， 当﹣2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m2+1＝4，解得m； 当m＞1，x＝1时，y最大＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4， 解得m＝2， 综上所述：m的值为或2， 故选：B． 5．（2024•子洲县三模）已知抛物线y＝2x2﹣4x+3在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为（　　） A．﹣1或5 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1或4 【分析】依据题意，由抛物线为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，从而抛物线开口向上，当x＝1时，y取最小值为1；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，再根据m+2≤1、m≥1和m＜1＜m+2分别进行分类讨论，结合对应的函数值y的最大值为9，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，当x＝1时，y取最小值为1；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大． ①当m+2≤1时，即m≤﹣1， ∴当x＝m时，y取最大值为2m2﹣4m+3＝9． ∴m＝﹣1或m＝3（舍去）． ②当m≥1时， ∴当x＝m+2时，y取最大值为2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9． ∴m＝﹣3（舍去）或m＝1． ③当m＜1＜m+2时，即﹣1＜m＜1， ∴当x＝m或x＝m+2时，y取最大值为2m2﹣4m+3＝9或2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9． ∴m＝﹣1或m＝3，或m＝﹣3或m＝1，均不符合题意． 综上，m＝﹣1或m＝1． 故选：C． 6．（2024•邢台三模）点A（a，b1），B（a+2，b2）在函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，当a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b1，则a的取值范围是（　　） A．0≤a≤2 B．﹣1≤a≤2 C．﹣1≤a≤1 D．﹣1≤a≤0 【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点（1，4）重合时；②当点A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围． 【解答】解：由y＝﹣x2+2 x+3＝﹣（x﹣1）2+4，得抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）． 由题意得A点在B点的左边． 如图3，当点B与顶点（1，4）重合时，a+2＝1，解得a＝﹣1； 当点A，B对称时，a＝0．此时若函数的最大值为4，最小值为b1； 当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近， ∴1﹣a＞（a+2）﹣1， 解得a＜0， ∴a的取值范围是﹣1≤a≤0． 故选：D． 7．（2023•江阳区校级模拟）当2b﹣2≤x≤2b+1时，抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b﹣1有最大值2，则b的值为（　　） A．1或 B．7或1 C．7或 D．1或 【分析】求得抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b﹣1的顶点坐标为（b，4b﹣1），分2b﹣2＞b，2b+1＜b和2b﹣2≤b≤2b+1，三种情况讨论，即可求解． 【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b﹣1的顶点坐标为（b，4b﹣1），且开口向下， 当2b﹣2＞b，即b＞2时，有﹣（2b﹣2﹣b）2+4b﹣1＝2， 解得b＝1（舍去）或b＝7； 当2b+1＜b，即b＜﹣1时，有﹣（2b+1﹣b）2+4b﹣1＝2， 整理得b2﹣2b+4＝0，Δ＝4﹣16＜0，方程无实数解； 当2b﹣2≤b≤2b+1，即﹣1≤b≤2时，有4b﹣1＝2， 解得； 综上，b的值为7或， 故选：C． 【考点6 由二次函数的性质求代数式最值】 1．（2023•江都区一模）已知y2﹣2x+4＝0，则x2+y2+2x的最小值是（　　） A．8 B．﹣8 C．﹣9 D．9 【分析】由已知得y2＝2x﹣4≥0，代入x2+y2+2x再配方，利用非负数的性质即可求解． 【解答】解：∵y2﹣2x+4＝0， ∴y2＝2x﹣4≥0， ∴2x﹣4≥0， ∴x≥2， ∴x2+y2+2x＝x2+2x﹣4+2x＝x2+4x+4﹣8＝（x+2）2﹣8， ∵（x+2）2≥0，x≥2， ∴x＝2时最小值是8． 故选：A． 2．（2023秋•如皋市校级月考）已知实数a、b满足a﹣b2＝2，则代数式a2﹣3b2+a﹣9的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣9 【分析】由a﹣b2＝2可得a与b2的数量关系，将代数式a2﹣3b2+a﹣9化为只含a的代数式并配方求解． 【解答】解：∵a﹣b2＝2， ∴b2＝a﹣2， ∴a2﹣3b2+a﹣9＝a2﹣3（a﹣2）+a﹣9＝a2﹣2a﹣3＝（a﹣1）2﹣4，， ∵b2＝a﹣2≥0， ∴a≥2， ∴a＝2时，代数式（a﹣1）2﹣4的最小值为﹣3， 故选：B． 3．（2024•浙江模拟）已知：，，m+n＝2，则下列说法中正确的是（　　） A．n有最大值4，最小值1 B．n有最大值3，最小值 C．n有最大值3，最小值1 D．n有最大值3，最小值 【分析】依据题意，由m+n＝2，从而n＝2﹣m（a﹣1）2+3，进而根据二次函数的性质可得，n≤3，再结合1≤b≤4，可得1≤n≤4，最后可得n的范围，故可判断得解． 【解答】解：由题意，∵m+n＝2， ∴n＝2﹣m＝2﹣（a2﹣a）a2+a（a﹣1）2+3． 又当a＝0时，n；a＝4时，n；a＝1时，n取最大值为3． ∴当0≤a≤4时，n≤3． ∵1≤b≤4， ∴1． ∴14． ∴1≤n≤4． 又n≤3， ∴1≤n≤3． ∴n有最大值3，最小值1． 故选：C． 4．（2023秋•潜山市期末）已知s，t是实数，点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，设w＝t2+s2+2s，则w的最大值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【分析】根据题意t2＝﹣2s2+6s，代入w＝t2+s2+2s即可得到w＝﹣（s﹣4）2+16，利用二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上， ∴t2＝﹣2s2+6s， ∵t2≥0， ∴﹣2s2+6s≥0， ∴0≤s≤3， ∴w＝t2+s2+2s ＝﹣2s2+6s+s2+2s ＝﹣s2+8s ＝﹣（s﹣4）2+16， ∴s＝3时，w有最大值， ∴w的最大值为15． 故选：A． 5．（2022秋•泗洪县期末）已知非负数x，y，z满足x+y＝3，z﹣3x＝4，设s＝﹣x2+y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D． 【分析】用x表示出y、z并求出x的取值范围，再代入S整理成关于x的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出a、b的值，再相减即可得解． 【解答】解：∵x+y＝3，z﹣3x＝4， ∴y＝3﹣x，z＝4+3x， ∵y，z都是非负数， ∴， 解不等式①得，x≤3， 解不等式②得，， ∴， 又∵x是非负数， ∴0≤x≤3， s＝﹣x2+y+z＝﹣x2+3﹣x+4+3x＝﹣（x﹣1）2+8， ∴对称轴为直线x＝1， ∴x＝3时，最小值b＝﹣（3﹣1）2+8＝4， x＝1时，最大值a＝8， ∴a﹣b＝8﹣4＝4． 故选：C． 6．（2024•邗江区校级一模）若实数x，y满足关系式3x2+y2＝6x，则2x2+y2的最大值为 　 　． 【分析】将已知等式适当变形得到用含有x的代数式表示2x2+y2的形式，利用配方法变形后，依据x的取值范围即可求得结论． 【解答】解：∵3x2+y2＝6x， ∴2x2+y2＝﹣x2+6x． ∵2x2+y2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9． ∵3x2+y2＝6x， ∴y2＝﹣3x2+6x． ∵y2≥0， ∴﹣3x2+6x≥0． 解得：0≤x≤2． ∴当x＝2时， 2x2+y2的最大值为：﹣（2﹣3）2+9＝8． 故答案为：8． 7．（2024•高港区三模）已知p2﹣2ap+1＝0，q2﹣2（a﹣1）q﹣2a+2＝0，且a≥2，设t＝a（p+q），则t的最小值为 　 　． 【分析】依据题意，由q2﹣2（a﹣1）q﹣2a+2＝0，可得q2﹣2aq+2q﹣2a+2＝0，故（q+1）2﹣2a（q+1）+1＝0，又p2﹣2ap+1＝0，从而p和（q+1）是方程x2﹣2ax+1＝0的两个根，则p+q+12a，进而p+q＝2a﹣1，求得t＝a（p+q）＝a（2a﹣1）＝2a2﹣a＝2（a）2，再结合a≥2，可由二次函数的性质判断得解． 【解答】解：由题意，∵q2﹣2（a﹣1）q﹣2a+2＝0， ∴q2﹣2aq+2q﹣2a+2＝0． ∴q2+2q+1﹣2aq﹣2a+1＝0． ∴（q+1）2﹣2a（q+1）+1＝0． 又p2﹣2ap+1＝0， ∴p和（q+1）是方程x2﹣2ax+1＝0的两个根， ∴p+q+12a． ∴p+q＝2a﹣1． ∴t＝a（p+q）＝a（2a﹣1）＝2a2﹣a＝2（a）2． ∵当a时，t随a的增大而增大， ∴当a≥2时，有当a＝2时，t取最小值为2（2）26． 故答案为：6． 【考点7 由二次函数的性质求几何最值】 1．（2024•雁塔区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，M是抛物线y＝x2+x﹣2在第三象限上的一点，过点M作x轴和y轴的垂线，垂足分别为P，Q，则四边形OPMQ的周长的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】设M（m，m2+m﹣2）（﹣2＜m＜0），则MQ＝﹣m，MP＝﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2，于是四边形OPMQ的周长L＝2（﹣m2﹣m+2﹣m）＝﹣2（m2+2m﹣2）＝﹣2（m+1）2+6，根据二次函数性质求解． 【解答】解：令y＝0，则x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），（1，0）， 设M（m，m2+m﹣2）（﹣2＜m＜0），则MQ＝﹣m，MP＝﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2， ∴令四边形OPMQ的周长为L，L＝2（﹣m2﹣m+2﹣m）＝﹣2（m2+2m﹣2）＝﹣2（m+1）2+6， ∵﹣2＜0， ∴m＝﹣1时，L取最大值，为6． 故选：D． 2．（2023秋•贵池区期末）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果． 【解答】解：作PM⊥AD于M， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM＝DM， 设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x， ∵AP＝PF， ∴AM＝FM＝4﹣x， ∴AF＝2（4﹣x）， ∵S△APFAF•PM， ∴S△APF2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴当x＝2时，S△APF有最大值4， 故选：C． 3．（2023秋•宣化区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为（　　） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【分析】由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，根据三角形面积公式可得△PCD的面积y与t的关系式，由图得：S△DEF+S△PDCS正方形EFPC，代入可得结论． 【解答】解：设△PCD的面积为y cm2， 由题意得：AP＝t cm，PD＝（5﹣t）cm， ∴yCD•PD， ∵四边形EFPC是正方形， ∴S△DEF+S△PDCS正方形EFPC， ∵PC2＝PD2+CD2， ∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29， ∴S△DEF（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）t2﹣4t（t﹣4）2， 当t为4s时，△DEF的面积最小，且最小值为cm2． 故选：A． 4．（2024•石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t s，那么△PBQ的面积S的最大值为 　 　mm2． 【分析】根据题意得到AP＝2t mm，BQ＝4t mm，则BP＝（12﹣2t）mm，有三角形的面积公式可得SBP×BQ（12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2（0＜t＜6），利用二次函数的性质即可求得△PBQ的面积S的最大值． 【解答】解：根据题意有：AP＝2t mm，BQ＝4t mm， ∵AB＝12mm，BC＝24mm， ∴BP＝（12﹣2t）mm， ∴SBP×BQ（12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2， ∵BQ＝4t＞0，BP＝12﹣2t， ∴0＜t＜6， 故S关于t的函数解析式为S＝24t﹣4t2（0＜t＜6）； ∵S＝24t﹣4t＝﹣4（t﹣3）2+36， ∵﹣4＜0， ∴当t＝3时，△PBQ的面积S有最大值36mm2． 故答案为：36． 5．（2024•宜兴市一模）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、EH，当DE＝EH时，DH长是 　 ；运动过程中，△DEH的面积的最小值是 　 ． 【分析】结合图形，由已知先证明CGHF为正方形，设BE＝x，则CF＝FH＝HG＝x，求出x的长，进而求出DH；由S△DEH＝S△DEC+S梯形DCGH得到S△DEH（x）2，利用二次函数的性质即可求得△DEH的面积的最小值． 【解答】解：连接FH， ∵△EGH≌△BCF， ∴∠DCB＝∠G＝90°，FC＝GH，BC＝EG＝3， ∴FC∥GH，BE＝CG， ∴四边形FCGH是平行四边形， ∴四边形FCGH是矩形， ∵BE＝CF， ∴CG＝CF， ∴四边形CGHF为正方形， ∴EH＝CF， 设BE＝x，则CF＝FH＝HG＝x， ∴EC＝3﹣x， ∵DE＝EH， ∴（3﹣x）2+22＝32+x2， 解得x， ∴CF＝FH， ∴DF＝2﹣x＝2， ∴DH； ∵S△DEH＝S△DEC+S梯形DCGH﹣S△EHG（3﹣x）×2（2+x）•xx+3（x）2， ∵0， ∴△DEH的面积的最小值是． 故答案为：，． 6．（2024•祁阳市二模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 　 　． 【分析】先求得直线AD的解析式，进而得到设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），由此得出BF＝AE，即可得出EF＝6﹣b，利用S△FGH＝S△EFG+S△EFHEF•OG得出S△FGH（6﹣b）•b（b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH的最大面积． 【解答】解：由题意可知A（0，2）， ∴设直线AD为y＝kx+2， 把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2， ∴直线AD为y＝﹣2x+2， ∵EG∥AD， ∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b）， 当y＝2时，x， ∴E（，2）， ∴AE， ∴BF＝AE， ∴EF＝4﹣26﹣b， ∴S△FGH＝S△EFG+S△EFHEF•OG（6﹣b）•b（b﹣3）2+4.5， ∵0， ∴△FGH的最大面积为4.5， 故答案为：4.5． 7．（2024•大武口区校级模拟）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长； （3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC＝S△MNC+S△MNBMN（OD+DB）MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）＝3，a＝﹣1； ∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有： ， 解得 ； 故直线BC的解析式：y＝﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC＝S△MNC+S△MNBMN（OD+DB）MN•OB， ∴S△BNC（﹣m2+3m）•3（m）2（0＜m＜3）； ∴当m时，△BNC的面积最大，最大值为 ． 【考点8 二次函数的实际应用】 1．（2024•广水市模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元． （1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 　 　m2，花卉B的种植面积是 　 　m2，花卉C的种植面积是 　 　m2． （2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ （3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． 【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案； （2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过560m2建立不等式，得到x≥8，再设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案． 【解答】解：（1）∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m， ∴花卉A的面积为：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2， 花卉B的面积为：x（40﹣x﹣10）＝（﹣x2+30x）m2， 花卉C的面积为：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2， 故答案为：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）； （2）∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元， ∴A，B两种花卉的总产值分别为2×（x2﹣60x+800）百元和3×（﹣x2+30x）百元， ∵A，B两种花卉的总产值相等， ∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x）， ∴x2﹣42x+320＝0， 解方程得x＝32（舍去）或x＝10， ∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等； （3）∵花卉A与B的种植面积之和为：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2， ∴﹣30x+800≤560， ∴x≥8， ∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元， ∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x）， ∴y＝﹣5x2+50x+1600， ∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725， ∴当x≥8时，y随x的增加而减小， ∴当x＝8时，y最大，且y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元）， 故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元． 2．（2024•江岸区校级模拟）小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、II、III三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合，矩形MFNC（区域II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示． （1）若花卉均价为450元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为300元/米2，且花卉和草坪裁种总价不超过65400元，求S的最大值； （2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：3． ①求MF，FN的长； ②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为150元/米2，80元/米2，150元/米2，且边BN的长不小于边ME长的倍．求图中I、II、II三个区域栽种花卉总价W元的最大值． 【分析】（1）先求出长方形空地的面积，从而可得栽种花卉和草坪的面积，再根据“总价不超过65400元”建立一元一次不等式，然后求解即可得； （2）①设AB＝a米，EF＝b米，根据正方形的性质、线段的和差可得MF、FN的长，再根据MF：FN＝1：2可得a、b的关系等式，由此即可得出答案；②先在①的基础上，求出W关于a的函数表达式，再根据题意求出a的取值范围，然后利用二次函数的性质即可得． 【解答】解：（1）长方形空地的面积为16×12＝192（米2）， 由题意得：450S+300（192﹣S）≤65400， 解得：S≤52， 故S的最大值为52米2． （2）①设AB＝a米，EF＝b米， ∵四边形ABCD和EFGH均为正方形， ∴AD＝AB＝a米，FG＝EF＝b米， ∴MF＝AD+EF﹣16＝（a+b﹣16）米， FN＝AB+FG﹣12＝（a+b﹣12）米， 又∵， ∴． ∴a+b＝18． ∴MF＝18﹣16＝2（米），FN＝18﹣12＝6（米）， 答：MF的长为2米，FN的长为6米． ②由①可知，a+b＝20，即b＝20﹣a， ∴ME＝16﹣AD＝16﹣a， DM＝12﹣FG＝12﹣b＝12﹣（20﹣a）＝a﹣8， BN＝16﹣EF＝16﹣b＝16﹣（20﹣a）＝a﹣4，NG＝12﹣AB＝12﹣a， 则由题意得： w＝150（16﹣a）（a﹣8）+80×4×8+150（12﹣a）（a﹣4）＝﹣300（a﹣10）2+6160， 又∵BNME且AB＜12， ∴a﹣4（16﹣a）且a＜12， 解得：a＜12， 由二次函数的性质可知，当a＜12时，W随a的增大而减小， 则当a时，w取得最大值，最大值为﹣300×（10）2+6160＝6026（元）． 答：图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价w的最大值为6026元． 3．（2024•襄城区模拟）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．两种产品成本价、售价及每日需支付的专利费如下表所示： 类别产品 成本价（元/件） 售价（元/件） 每日需支付的专利费（元） A m （m为常数，且4≤m≤6） 8 30 B 12 20 y 其中A产品每日最多产销500件，B产品每日最多产销300件，B产品每日需支付专利费y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2． （1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润；（A产品的最大日利润用含m的代数式表示） （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由． 【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】 【分析】（1）根据利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费即可列出解析式，注意取值范围． （2）根据解析式系数a确定增减性，再结合x得取值范围选择合适的值得出最大值． （3）分类讨论当什么情况下A、B利润一样，什么情况下A利润大于B以及什么情况下A利润小于B 即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）． w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2） ＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）． （2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500， ∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）． ∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520． 又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400． ∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大， ∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）． （3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1， ②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1， ③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1． 又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润： 当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可； 当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销； 当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销． 答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大． 4．（2024•天山区校级一模）某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间．两周内将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示： 时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量（斤） 80﹣3x 120﹣x 储存和损耗费用（元） 40+3x 3x2﹣64x+400 已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大． ②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果． 【分析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据题意作出取舍即可； （2）①写出当1≤x＜9时的一次函数关系式，根据一次函数的性质得出此时y的最大值；写出当9≤x＜15时的二次函数关系式，根据二次函数的性质得出此时y的最大值，两者比较即可得出答案；②当1≤x＜9时，由﹣17.7x+352≥330，解得此时符合题意的天数；当9≤x＜15时，令y＝330得一元二次方程，解方程，根据二次函数与一元二次方程的关系可得此时符合题意的天数，两种情况的天数之和即为所求． 【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得： 10（1﹣x）2＝8.1， 解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）， ∴x＝0.1＝10%， ∴该种水果每次降价的百分率为10%； （2）①当1≤x＜9时，第一次降价后的价格是：10×（1﹣10%）＝9（元）， ∴y＝（9﹣4.1）×（80﹣3x）﹣（40+3x） ＝﹣17.7x+352， ∵﹣17.7＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝1时，y最大，最大值为： y＝﹣17.7×1+352＝334.3； 当9≤x＜15时， y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400） ＝﹣3x2+60x+80 ＝﹣3（x﹣10）2+380， ∵﹣3＜0， ∴当x＝10时，y有最大值，最大值为380． 综上所述， y，第10天时的销售利润最大； ②当1≤x＜9时，由﹣17.7x+352≥330， 解得：x， 有1天的销售利润不低于330元； 当9≤x＜15时，令y＝330得： ﹣3x2+60x+80＝330， 解得：x1＝10，x2＝10， ∴当10x＜10时，﹣3x2+60x+80≥330， 又∵9≤x＜15， ∴9≤x＜10， ∴有6天的销售利润不低于330元． 综上所述，共有7天的销售利润不低于330元． 5．（2024•大冶市一模）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28且x为整数）成一次函数关系且满足z＝﹣2x+100．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； （3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值． 【分析】（1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式； （2）设总利润为w元，根据总利润＝每个纪念品的利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）设第20天总利润为w1元，根据总利润＝每个纪念品的利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求出函数取得最大值时x的值，再根据最大利润是20250，解出a的值． 【解答】解：（1）由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为y＝kx+b， 把（1，220）和（2，240）代入可得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为y＝20x+200（1≤x≤28）； （2）设总利润为w元， 则w＝y（z﹣20）＝（20x+200）（﹣2x+80）＝﹣40x2+1200x+16000＝﹣40（x﹣15）2+25000， ∵﹣40＜0，1≤x≤28， ∴当x＝15时，w最大，最大值25000， 答：第15天利润最大，最大值为25000元； （3）由题意可得： 第20天开始每件商品的单价为（﹣2x+100﹣a）元， 每件商品的利润为：﹣2x+100﹣a﹣20＝（﹣2x+80﹣a）元， 设此时利润为w1元， 则w1＝（20x+200）（﹣2x+80﹣a）＝﹣40x2+（1200﹣20a）x+200（80﹣a）， 对称轴， 又∵a＝﹣40＜0且20≤x≤28， ∴w1随x的增大而减小， 当x＝20时，w1有最大值为20250， ∴（20×20+200）（﹣2×20+80﹣a）＝20250， 解得：a＝6.25． 综上：第20天时，利润最大为20250元时，此时a＝6.25． 6．（2024•江岸区模拟）某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小明在教官的指导下用手榴弹（模拟手榴弹）进行一次试投：如图所示，把小明投出的手榴弹的运动路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡OA的坡度为1：10，山坡上A处的水平距离OB为30米． （1）求这条抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）A处有一棵树AC，AC＝4.4米，则小明投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由； （3）求手榴弹在飞行的过程中离坡面OA的最大高度是多少米． 【分析】（1）根据顶点坐标和过原点求出抛物线的解析式； （2）利用坡度求出AB，再根据二次函数关系式求出当x＝30时，y的值，再进行比较即可； （3）求出OA的关系式，设M（m，m2+m），N（m，m），利用MN（m﹣18）2，由函数的性质求出最大值即可． 【解答】解：（1）由题意得：顶点（20，10），且抛物线过原点， 所以设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣20）2+10， 把（0，0）代入得：0＝a（0﹣20）2+10， 解得a， ∴抛物线的解析式为：y（x﹣20）2+10x2+x； （2）∵山坡OA的坡度为1：10，OB＝30米， ∴AB＝3米， ∵AC＝4.4米， ∴BC＝3+4.4＝7.4（米）， 当x＝30时，y900+30＝7.5， ∵7.5＞7.4， ∴小明投出的手榴弹能越过这棵树； （3）设直线OA的关系式为y＝kx，把A（30，3）代入可得k， ∴直线OA的关系式为yx， 如图： 设M（m，m2+m），N（m，m）， ∴MN＝（m2+m）mm2m（m﹣18）2， ∵0， ∴当m＝18时，MN最大为8.1， 答：飞行的过程中手榴弹离坡面的最大高度是8.1米． 7．（2024•梁园区校级四模）嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此次情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长，嘉嘉在点A（6，1）处发球，羽毛球（看成点）的运动路线为抛物线C1的一部分．当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为3m，其高度为2m，淇淇恰在点B（0，c）处将球击回．在与点O水平距离3m处设有一个高为1.5m的球网MN、P，Q为两侧边界．与球网的距离均为7m（注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规）． （1）求抛物线C1的解析式和c的值（不必写x的取值范围）； （2）当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线C2：yc的一部分． ①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？ ②嘉嘉在球场上C（d，0）处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度m，若嘉嘉因接球高度不够而失球，直接写出d的取值范围． 【分析】（1）设抛物线 C1的解析式为 y＝a（x﹣3）2+2，由C1经过点A（6，1），求出a的值即可； （2）①令x＝3求出y的值与1.5比较即可，令y＝0，解方程求出x的值与10比较即可； ②根据x＝d时，y以及d＞3求出d的取值范围． 【解答】解：（1）依题意，嘉嘉发球时，球在（3，2）处达到最高点， 设抛物线 C1 的解析式为 y＝a（x﹣3）2+2， ∵C1经过点A（6，1）， ∴1＝a（6﹣3）2+2， 解得， ∴抛物线 C1 的解析式为； 当x＝0 时，y＝1， ∴c＝1； （2）①由（1）得c＝1，故抛物线 C2 的解析式为， 当x＝3时， ∴球可以过网； 当y＝0时，x2x+1＝0， 整理得x2﹣8x﹣5＝0， 解得（舍去），， 由题意可得，OQ＝3+7＝10（m）， ∵， ∴球没有出界， 综上，球可以过网，球没有出界； ②由题意得：d2d+1， 解得1＜d＜7． ∵嘉嘉在球网的右侧， ∴d＞3， ∴d的取值范围为3＜d＜7． 【考点9 二次函数中的存在性问题】 1．（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将B（4，0）代入，待定系数法求解析式，进而分别令x，y＝0，解方程即可求解； （2）根据题意，对称轴为直线x＝1，设P（1，n），根据勾股定理BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2，分①当∠BCP＝90°时，②当∠CBP＝90°时，③当∠BPC＝90°时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解； （3）存在点M使AM+OM最小，作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，求得直线AQ的解析式，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，联立方程即可求解． 【解答】解：（1）将B（4，0）代入， 即， 解得：， ∴， 令x＝0，则， 令y＝0，则， 解得：x1＝4，x2＝﹣2，A（﹣2，0），C（0，4）； （2）存在点P，使△BCP是直角三角形， ∵，对称轴为直线x＝1， 设P（1，n）， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2， ①当∠BCP＝90°时，BP2＝BC2+PC2， ∴（4﹣1）2+n2＝32+12+（4﹣n）2， 解得：n＝5； ②当∠CBP＝90°时，PC2＝BC2+BP2， ∴12+（4﹣n）2＝（4﹣1）2+n2+32 解得：n＝﹣3； ③当∠BPC＝90°时，BC2＝BP2+PC2，32＝（4﹣1）2+n2+12+（4﹣n）2 解得：或， 综上所述：P（1，5），（1，﹣3），（1，2），（1，2）； （3）存在点M使AM+OM最小，理由如下： 作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ， 由对称性可知，OM＝QM， ∴AM+OM＝AM+QM≥AQ， 当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， 由对称性可知∠QBM＝45°， ∴BQ⊥BO， ∴Q（4，4）， 设直线AQ的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AQ的解析式， 设直线BC的解析式为y＝mx+4， ∴4m+4＝0， ∴m＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 联立方程组， 解得：， ∴M（，）． 2．（2024•龙江县模拟）如图，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作PM⊥x轴，与线段BC交于点M，垂足为点H，若PM＝MH时，求△PBC的面积； （3）若以P，M，C为顶点的三角形是以∠PMC为底角的等腰三角形时，求线段MP的长； （4）已知点Q是直线PC上一点，在（3）的条件下，直线PM上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）先求出C点坐标，进而求出直线BC的解析式，设P（m，﹣2m2+2m+4）（0＜m＜2），则：M（m，﹣2m+4），根据PM＝MH列出方程，求出m的值，进而求出P点坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）分PM＝PC和CP＝CM两种情况，进行讨论求解； （4）求出直线PC的解析式，设，利用平移思想求出Q点坐标，进而求出K点坐标，再验证CK⊥KM即可． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，过点B（2，0）， ∴， 解得：， ∴y＝﹣2x2+2x+4； （2）∵y＝﹣2x2+2x+4， ∴当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， ∵图象过点B（2，0），对称轴为直线， ∴A（﹣1，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+4，把B（2，0）代入，得：k＝﹣2， ∴y＝﹣2x+4， 设P（m，﹣2m2+2m+4）（0＜m＜2），则：M（m，﹣2m+4）， ∵PM＝MH， ∴PH＝2MH，即：﹣2m2+2m+4＝2（﹣2m+4）， 解得：m＝1或m＝2（舍去）； ∴P（1，4），M（1，2）， ∴PM＝2， ∴； （3）设P（m，﹣2m2+2m+4）（0＜m＜2），则：M（m，﹣2m+4）， ∴PM＝﹣2m2+2m+4+2m﹣4＝﹣2m2+4m， ①当PM＝PC＝﹣2m2+4m时，过点C作CE⊥PH，如图1，则CE＝m， ∴PE＝EH﹣PH＝4+2m2﹣2m﹣4＝2m2﹣2m， 在Rt△CEP中，由勾股定理，得：（﹣2m2+4m）2＝m2+（2m2﹣2m）2， 解得：m＝0（舍去）或； ∴； ②当CP＝CM时，过点C作CE⊥PM，如图2，则：PM＝2ME， ∵ME＝HE﹣MH＝4+2m﹣4＝2m， ∴﹣2m2+4m＝4m， 解得：m＝0（不合题意，舍去）； 故； （4）直线PM上存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形；理由如下： 由（3）可知：，， 设直线PC的解析式为y＝k1x+4，把代入得：， ∴， 设， 若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形CMQK为矩形， ∴CM∥KQ，CM＝KQ，KC⊥CM， ∵点C先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点M， ∴将点K先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴CM2+CK2＝KM2， 则四边形CMQK为矩形，满足题意； 故． 3．（2024春•南川区期中）已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积； （3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）先求出AC的直线解析式，然后假设P点坐标，即可得到H和Q点的坐标，然后四边形OAPC分成△OAC和△APC求出面积和P点坐标得关系，根据二次函数最值问题的即可求出S的最大值，从而求得P点坐标和Q点坐标，从而得到△QHC的面积； （3）根据菱形的性质，得出△PMC为等腰三角形，再根据腰的不同分类讨论，即可求解． 【解答】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵yx2x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）， 与y轴交于点A， ∴当x＝0时，y＝2， 当y＝0时，x2x+2＝0， 解得：x＝﹣1或x＝4， ∴A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0）， ∴OA＝2，OB＝1，OC＝4， ∴AB，BC＝5，AC＝2， ∵，即AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∵A（0，2），C（4，0）， ∴， 解得： ∴直线AC的解析式为：yx+2， ∵点P（m，n）是抛物线yx+2在第一象限部分上的点，PH⊥x轴， ∴P（m，m2m+2），H（m，0），Q（m，m+2）， ∴PQm2m+2﹣（m+2）m2+2m， ∵S△OAC•OA•OC2×4＝4， S△APCPQ（xC﹣xA）（m2+2m）（4﹣0）＝﹣m2+4m， ∴S四边形OAPC＝S△OAC+S△APC＝﹣m2+4m+4＝﹣（m﹣2）2+8， ∴S＝﹣m2+4m+4， ∴当m＝2时，S四边形OAPC的最大值为8，此时P（2，3）， ∴Q（2，1），H（2，0）， ∴S△QHC•CH•QH2×1＝1； （3）存在， 理由如下：∵yx2x+2， ∴抛物线的对称轴为直线x， 设M（，t）， 由（1）（2）可知，P（2，3），C（4，0）， ∴PM2＝（2）2+（3﹣t）2＝t2﹣6t，PC2＝（2﹣4）2+（0﹣3）2＝13，MC2＝（4）2+（t﹣0）2＝t2， 由菱形的对称性可知，若P，C，M，N为顶点的四边形是菱形， ∴△PCM为等腰三角形， ①当PM＝PC时， t2﹣6t13， 解得：t， ∴M（（，）或（，）； ②当CM＝PC时， t213， 解得：t＝±， ∴M（，）或（，）； ③当MC＝MP时， t2﹣6tt2， 解得：t， ∴M（，）； 综上所述，点M坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）． 4．（2023秋•陵城区期末）如图，抛物线与直线AB交于点．点D是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），经过点D且与y轴平行的直线交直线AB于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点．是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求得点C、D坐标以及直线AB的解析式，根据平行四边形的性质得到PQ∥y轴，且PQ＝CD＝3，设，则，由解一元二次方程即可求解． 【解答】解：（1）由题意，将点代入中，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形． 由得顶点D坐标为， 设直线AB的解析式为y＝kx+t， 将点代入，得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为， 当x＝2时，，∴， ∴， ∵以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形，CD在抛物线对称轴上， ∴PQ∥y轴，且PQ＝CD＝3， 由题意，设，则， ∴， ∴①或②， 解①得m＝1或m＝2（舍去），则Q（1，1）； 解②得m＝﹣2或m＝5，则或Q（5，3）， 综上，符合条件的Q坐标为（1，1）或或（5，3）． 5．（2024•武威二模）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E，点D是BE的中点． （1）求m的值； （2）求该抛物线对应的函数关系式； （3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出点D 和点E 坐标，再根据中点坐标公式，即可求出m； （2）易得B（﹣2，3），根据二次函数的对称性得出A（4，0），设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+bx+c，把B（﹣2，3），O（0，0），A（4，0）代入，求出a、b、c的值，即可得出抛物线对应的函数关系式为． （3）连接CD，易得C（2，0），则BC＝CE，进而得出CD是BE的垂直平分线，用待定系数法求出CD所在直线的函数表达式为，与二次函数表达式联立求解即可． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2x﹣1＝﹣1， ∴D（0，﹣1）， 当x＝2时，y＝﹣2x﹣1＝﹣2×2﹣1＝﹣5， ∴E（2，﹣5）， ∵B（﹣2，m），点D是BE的中点， ∴m﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣（﹣5）， 解得：m＝3． （2）∵m＝3， ∴B（﹣2，3）， ∵该抛物线经过原点O，对称轴x＝2， ∴A（4，0）， 设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+bx+c， 把B（﹣2，3），O（0，0），A（4，0）代入得： ， 解得：， ∴抛物线对应的函数关系式为． （3）连接CD， ∵对称轴x＝2与x轴交于点C， ∴C（2，0）， ∵B（﹣2，3），E（2，﹣5）， ∴， ∴BC＝CE， ∴点C在BE的垂直平分线上， ∵点D是BE的中点， ∴CD是BE的垂直平分线， 设CD所在直线的函数表达式为y＝kx+t， 把D（0，﹣1），C（2，0）代入得： ， 解得：， ∴CD所在直线的函数表达式为， 联立得：， 解得：，， ∴或． 6．（2024春•青山区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）、C（0，﹣2）． （1）求抛物线表达式； （2）点Q是位于第四象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求点Q的坐标； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，求出a，b，c的值，即可得到抛物线表达式； （2）过点Q作MQ∥y轴交BC于点M，求出BC解析式，设，则，得出，得到t2+3t，当t时，S△BCQ取最大值，最大值为，当时，，△BCQ的面积最大时，点Q坐标为； （3）分三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）过点Q作MQ∥y轴交BC于点M， 设BC：y＝mx+n， 将B（3，0），C（0，﹣2）代入， 得：， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴t2+3t， ∴当t时，S△BCQ取最大值，最大值为， 当时，， ∴△BCQ的面积最大时，点Q坐标为； （3）∵， ∴对称轴为x， 设点P（1，a）， ∵B（3，0）、C（0，﹣2）， ∴BP2＝4+a2，CP2＝1+（a+2）2，BC， ①BP＝CP， ∴4+a2＝1+（a+2）2， ∴， ∴； ②BP＝BC， ∴4+a2＝13， ∴a＝±3， ∴P（1，3）或P（1，﹣3）； ③CP＝BC， ∴1+（a+2）2＝13， ∴a， ∴或； 综上所述，或P（1，3）或P（1，﹣3）或或． 7．（2024•连州市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BC，CP，BP． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）△BCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线AQ与直线BC交于点Q，若存在∠AQB与∠ACB中一个是另一个的2倍，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点B和点C的坐标代入抛物线，即可得抛物线表达式，抛物线的表达式化为顶点式即可得其顶点坐标； （2）由三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答； （3）需要分两种情况，当∠AQB＝2∠ACB及∠ACB＝2∠AQB，再根据题目中条件求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点B（﹣3，0）、C（0，﹣3）， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3． ∵y＝x2+2x﹣3＝﹣（x+1）2﹣4， 即顶点坐标为：（﹣1，﹣4）； （2）如图1，过点P作PD∥y轴，交BC于点D， ∵B（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3， 设点P的坐标为（p，p2+2p﹣3），则D的坐标为（p，﹣p﹣3）， ∴PD＝﹣p﹣3﹣p2﹣2p+3＝﹣p2﹣3p， ∴S△BCP3（﹣p2﹣3p）（p）2， ∴当p时，△BCP面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）； （3）设Q（m，﹣m﹣3）， Ⅰ，当∠AQB＝2∠ACB，如图2， ∵∠AQB＝∠ACB+∠QAC， ∴∠EQAC＝∠ACQ， ∴AQ＝CQ，即点Q在线段AC的垂直平分线上， ∵抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．令y＝0，则x2+2x﹣3＝0． 解得x＝﹣3或1， ∴A（1，0），C（0，﹣3）， ∴（1﹣m）2+（﹣m﹣3）2＝m2+（﹣m﹣3+3）2，解得m， ∴点Q的坐标为（，）； Ⅱ，当∠ACB＝2∠AQB时，如图3， ∵∠ACB＝∠AQB+∠CAQ， ∴∠AQB＝∠CAQ， ∴AC＝CQm2+（﹣m﹣3+3）2， ∴m2+（﹣m﹣3+3）2＝（）2， ∴m或（舍去）， ∴点Q的坐标为（，3）； 当∠AC′C＝∠ACB＝2∠AQ′B时，AC′＝AC，C′Q′＝AC′， 设C′（n，﹣n﹣3）， ∴（1﹣n）2+（﹣n﹣3）2＝（）2，解得n＝﹣2或0（舍去）， ∴C′（﹣2，﹣1）， ∴（﹣2﹣m）2+（﹣m﹣3+1）2＝（）2， ∴m＝﹣2或﹣2（舍去）， ∴点Q的坐标为（﹣2，1）； 综上，点Q的坐标为（，）或（，3）或（﹣2，1）． 【考点10 二次函数中的新定义问题】 1．（2024•南通一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”． （1）在函数①y＝﹣x+3，②y，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 　 　；（填序号） （2）设函数y（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 【分析】（1）在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，可知y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”； （2）在y中，令y＝﹣x得A（2，﹣2）或（﹣2，2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x得B（，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），可得AB2＝2（2）2，BC2（2）2，AC2＝4，分三种情况列方程可得答案； （3）设M（0，m），m＜﹣1，求出抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），而点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），可得旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，令y＝﹣x得x2﹣3x﹣2m＝0，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，故9+8m＝0，m，从而得M的坐标为（0，）． 【解答】解：（1）根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解， ∴y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”； 同理可得y，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”； 故答案为：③； （2）在y中，令y＝﹣x得﹣x， 解得x＝2或x＝﹣2， ∵x＞0， ∴A（2，﹣2）； 在y＝2x+b中，令y＝﹣x得﹣x＝2x+b， 解得x， ∴B（，）， 当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2）， ∴AB2＝2（2）2，BC2（2）2，AC2＝4， 若AB＝BC，则2（2）2（2）2， 解得b＝﹣3； 若AB＝AC，则2（2）2＝4， 解得b＝﹣36或b＝36； 若BC＝AC，则（2）2＝4， 解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）； ∴b的值为﹣3或﹣36或36或0； （3）设M（0，m），m＜﹣1， ∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1）， 点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1）， ∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m， 在y＝﹣x2+2x+2m中，令y＝﹣x得： ﹣x＝﹣x2+2x+2m， ∴x2﹣3x﹣2m＝0， ∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ∴x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝0，即9+8m＝0， ∴m， ∴M的坐标为（0，）． 2．（2024•长沙模拟）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y． （1）已知点A（﹣5，10）在一次函数y＝ax﹣5的相关函数的图象上，求a的值； （2）已知二次函数y＝﹣x2+4x． ①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值； ②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x的相关函数的最大值和最小值． （3）在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（，1）、（，1），连接MN．直接写出线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围． 【分析】（1）先求出y＝ax﹣5的相关函数，然后代入求解，即可得到答案； （2）先求出二次函数的相关函数，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x，然后可求得此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y＝x2+4x，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意， 一次函数y＝ax﹣5的相关函数为， ∴把点A（﹣5，10）代入y＝﹣ax+5，则﹣a×（﹣5）+5＝10， ∴a＝1； （2）根据题意，二次函数y＝﹣x2+4x的相关函数为y， ①当m＜0时，将B（m，）代入y＝x2﹣4x得m2﹣4m， 解得：m＝2（舍去）或m＝2， 当m≥0时，将B（m，）代入y＝﹣x2+4x得：﹣m2+4m， 解得：m＝2或m＝2， 综上所述：m＝2或m＝2或m＝2． ②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x，抛物线的对称轴为x＝2，此时y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣3时，有最大值，即 y＝（﹣3）2﹣4×（﹣3）， ∴此时y的最大值为． 当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x，抛物线的对称轴为x＝2， 当x＝0有最小值，最小值为， 当x＝2时，有最大值，最大值为y， 综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x的相关函数的最大值为，最小值为； （3）如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点， ∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3， 如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n＝1， 解得：n＝﹣1； ∴当﹣3＜n＜﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点， 如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1， 如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（，1）， ∴2﹣n＝1，解得：n， ∴1＜n时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n＜﹣1或1＜n， 3．（2024•兴隆台区校级三模）我们定义【a，b，c】为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝2x2﹣3x+5的“特征数”是【2，﹣3，5】，函数y＝x+2的“特征数”是【0，1，2】，函数y＝﹣2x的“特征数”是【0，﹣2，0】． （1）若一个函数的特征数是【1，﹣4，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 　 ． （2）将“特征数”是【0，，﹣1】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 　 　． （3）当“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数在直线x＝m﹣2和直线x＝1之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求m的值． （4）点A（﹣2，1）关于y轴的对称点为点D，点B（﹣2，﹣3m﹣1）关于y轴的对称点为点C．当若（3）中的抛物线与四边形ABCD的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出m的值．（m为常数） 【分析】（1）由函数的特征数是【1，﹣4，1】，知函数为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y＝x2﹣2，即可得到答案； （2）由函数的“特征数”是【0，，﹣1】，得函数解析式为yx﹣1，将图象向上平移2个单位得新函数解析式为yx+1； （3）“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数解析式为y＝x2﹣2mx+m2﹣3m＝（x﹣m）2﹣3m，抛物线的顶点为（m，﹣3m），对称轴是直线x＝m，分四种情况：①当m﹣2＜1＜m，即1＜m＜3时，抛物线的最高点在x＝m﹣2处取得，有（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5，②当1＜m﹣2＜m，即m＞3时，抛物线的最高点在x＝1处取得，有（1﹣m）2﹣3m＝5，③当m﹣2＜m＜m+2＜1，即m＜﹣1时，抛物线的最高点在x＝1取得，有5＝（1﹣m）2﹣3m，④当m﹣2＜m＜1＜m+2，即﹣1＜m＜1时，抛物线的最高点在x＝m﹣2处取得，有（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5，分别解方程可得答案； （4）由抛物线的顶点坐标为（m，﹣3m），且﹣3m＞﹣3m﹣1，分四种情况：①当﹣3m﹣1＜1＜﹣3m，即m时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；②当1＜﹣3m﹣1＜﹣3m，即m时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；③﹣3m﹣1＜﹣3m＜1，即m时，有两种情况：抛物线与直线y＝1有两个交点，可得M（m，1），N（m，1），故（mm）2﹣3m＝1，抛物线与矩形相邻两边有交点，可得M（﹣1，1），故（﹣1﹣m）2﹣3m＝1，④当m＞2时，可得xM＝2m﹣5，故（2m﹣5﹣m）2﹣3m＝1，解方程可得答案． 【解答】解：（1）∵函数的特征数是【1，﹣4，1】， ∴函数为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， 将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y＝x2﹣2， ∴函数y＝x2﹣2的“特征数”是【1，0，﹣2】， 故答案为：【1，0，﹣2】； （2）∵函数的“特征数”是【0，，﹣1】， ∴函数解析式为yx﹣1， 将函数yx﹣1的图象向上平移2个单位得新函数解析式为yx+1， 故答案为：yx+1； （3）“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数解析式为y＝x2﹣2mx+m2﹣3m＝（x﹣m）2﹣3m， 抛物线的顶点为（m，﹣3m），对称轴是直线x＝m， 由抛物线的性质可知，当x＝m+2与x＝m﹣2时，y相等且m﹣2＜m， ①当m﹣2＜1＜m，即1＜m＜3时，抛物线的最高点在x＝m﹣2处取得， ∴y＝（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5， 解得m，不符合题意，舍去； ②当1＜m﹣2＜m，即m＞3时，抛物线的最高点在x＝1处取得， ∴（1﹣m）2﹣3m＝5， 解得m或m（舍去）， ③当m﹣2＜m＜m+2＜1，即m＜﹣1时，抛物线的最高点在x＝1取得， ∴5＝（1﹣m）2﹣3m， 解得m1（舍去）或m（舍去）， ④当m﹣2＜m＜1＜m+2，即﹣1＜m＜1时，抛物线的最高点在x＝m﹣2处取得， ∴（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5， 解得m， 综上所述，m的值为或； （4）由（3）知抛物线的顶点坐标为（m，﹣3m），且﹣3m＞﹣3m﹣1， ①当﹣3m﹣1＜1＜﹣3m，即m时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ②当1＜﹣3m﹣1＜﹣3m，即m时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ③﹣3m﹣1＜﹣3m＜1，即m时， 需要分以下两种情况： 抛物线与直线y＝1有两个交点，如图， ∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ∴MN＝3， ∴M（m，1），N（m，1）； ∴（mm）2﹣3m＝1， 解得m， 抛物线与矩形相邻两边有交点，如图， ∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，P到y轴距离与B到y轴距离都为2， ∴M到y轴距离为1，即xM＝﹣1， ∴M（﹣1，1）， ∴（﹣1﹣m）2﹣3m＝1， 解得m＝0（舍去）或m＝1； ④当m＞2时，如图： ∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ∴m﹣xP+m﹣xM＝3， 又xP＝2， ∴xM＝2m﹣5（﹣2＜xM＜2）， ∴M（2m﹣5，1）， ∴（2m﹣5﹣m）2﹣3m＝1， 解得m或m（舍去）， 综上所述，m的取值为或1或m． 4．（2024•龙岗区校级模拟）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”． 函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”． 【举例】已知点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上． 点A（1，3）的“纵横值”为y﹣x＝3﹣1＝2； 函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 　 　； ②求出函数yx（2≤x≤4）的“最优纵横值”； （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线x上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数y＝﹣x2+（2b+1）x﹣b2+3，当﹣1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 【分析】（1）①根据定义直接求解即可； ②根据定义先求出1≤y≤2，再求“最优纵横值”为2； （2）先确定函数的解析式为y＝﹣x2+3x+c，再由y﹣x＝﹣（x﹣1）2+c+1的最优纵横值为5，得到c+1＝5，解得c＝4； （3）先求y﹣x＝﹣（x﹣b）2+3，再分类讨论：当b＞4时，﹣16+8b﹣b2+3＝2，解得b＝5或b＝3（舍）；当b＜﹣1时，﹣1﹣2b﹣b2+3＝2，解得b＝0（舍）或b＝﹣2． 【解答】解：（1）①∵B（﹣6，2）， ∴2﹣（﹣6）＝8， ∴点B（﹣6，2）的“纵横值”为8， 故答案为：8； ②y﹣xx﹣x， ∵2≤x≤4， ∴1≤y≤2， ∴函数yx（2≤x≤4）的“最优纵横值”为2； （2）∵抛物线的顶点在直线x上， ∴b＝3， ∴y＝﹣x2+3x+c， ∴y﹣x＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1， ∵最优纵横值为5， ∴c+1＝5， 解得c＝4； （3）∵y﹣x＝﹣x2+2bx﹣b2+3＝﹣（x﹣b）2+3， ∴当x＝b时，y﹣x有最大值3， 当b＞4时，﹣16+8b﹣b2+3＝2，解得b＝5或b＝3（舍）； 当b＜﹣1时，﹣1﹣2b﹣b2+3＝2，解得b＝0（舍）或b＝﹣2； 综上所述：b的值为5或﹣2． 5．（2024春•海州区校级月考）我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”． （1）判断一次函数y＝x+1和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理； （2）若一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； （3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件： ①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围． 【分析】（1）假设存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为P（m，n），则Q（﹣m，n），分别代入一次函数y＝x+1和反比例函数，得到关于x的一元二次方程，解方程可得m1＝1，m2＝﹣3，根据向光函数的定义，即可得到“幸福点”坐标； （2）因为一次函数y＝x﹣k和反比例函数只有一个“幸福点”，则一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个交点，联立一次函数y＝﹣x﹣k与反比例函数得到关于x的一元二次方程，得到关于x的一元二次方程，令Δ＝0，求出k的值，即可求出“向光函数”的解析式； （3）一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），则A、B关于y轴对称的点A′、B′一定在y＝﹣ax+b，上，根据“向光函数”y＝ax2+bx+c满足的条件可以得出b＝2a﹣1，c＝1﹣3a，进而表示边形ACBD的面积为S，即可求的取值范围． 【解答】解：（1）一次函数y＝x+1和反比例函数存在“向光函数”，理由如下： 点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．设“幸福点”坐标为P（m，n），则Q（﹣m，n）， ∴， 解并检验得：，， ∴一次函数y＝x+2和反比例函数是存在“向光函数”，“幸福点”坐标为（1，2），（﹣2，﹣1）； （2）∵一次函数y＝x﹣k关于y轴对称的直线函数解析式为y＝﹣x﹣k，而且一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”， 所以y＝﹣x﹣k与反比例函数只有一个交点， ∴y＝﹣x﹣k③，， 整理得：x2+kx+（k+3）＝0， Δ＝k2﹣4（k+3）＝0， 解得：k1＝﹣2，k2＝6， 当k＝﹣2时，则一次函数y＝x+2与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1， 当k＝6时，则一次函数y＝x﹣6与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝x2﹣6x+9， ∴“向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1或y＝x2﹣6x+9． （3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧）， ∴A、B关于y轴对称的点A′、B′一定在y＝﹣ax+b上，且是y＝﹣ax+b与的交点坐标， ∴， 整理得：ax2﹣bx+c＝0， 又∵“向光函数”为y＝ax2+bx+c， ∴y＝ax2﹣bx+c与“向光函数”为y＝ax2+bx+c关于y轴对称， ∴xB﹣xA＝xA′﹣xB′， ∵“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0， ∴D（1，0），c＜0， ∴， ∴， 即“向光函数”为y＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a）， 又∵a＞b＞0， ∴， ∴， 又∵“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），y＝ax2﹣bx+c与“向光函数”为y＝ax2+bx+c关于y轴对称， ∴ax2﹣（2a﹣1）x+（1﹣3a）＝0， ∴x1＝﹣1，， ∴xB′＝﹣1，， ∴xB＝1，， ∴B（1，3a﹣1），， 令“向光函数”y＝ax2+bx+c中，y＝0得0＝ax2+bx+c即0＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a）， 解得x1＝1，， ∴xD＝1，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是：． 6．（2024•无锡模拟）定义：把函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象绕点P（O，n）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，C2的图象顶点纵坐标为m． （1）当n＝0时，求新函数C2的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）若a＝1，当x≤m时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1+y2＝7，求C2的解析式； （3）当n＝1时，C2的图象与直线y＝2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围　 　． 【分析】（1）先将函数C1写成顶点式，从而得出其顶点坐标，再得出n＝0时，点P的坐标，然后根据对称性得出新函数C2的顶点坐标； （2）先由a＝1得出函数C1的解析式，再分段讨论：①当x时，②当m时，从而可解得m的值，则可求得C2的解析式； （3）先得出n＝1时点A，B，D的坐标，再分①当a＞0时，②当a＜0时，两大类情况，分别画图分析解得相应的a的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵y1＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a， ∴函数C1的顶点坐标为（2，﹣9a）． ∵当n＝0时，点P的坐标为（0，0）， ∴新函数C2的顶点坐标为（﹣2，9a）； （2）∵a＝1， ∴函数C1：y1＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴函数C1的顶点坐标为（2，﹣9）． 把x代入函数C1，得： y1＝（）2﹣4×（）﹣5， 根据抛物线的对称性可知，当x时y2． ①当x时，y1+y2＜7，不符合题意，舍去）． ②当m时，y2＝﹣9，y1＝m2﹣4m﹣5， ∴y1+y2＝m2﹣4m﹣5﹣9＝7， 解得m1＝7，m2＝﹣3（不合题意，舍去）． ∴y2＝﹣（x+2）2+7＝﹣x2﹣4x+3， ∴C2的解析式为y2＝﹣x2﹣4x+3； （3）∵n＝1，函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a， ∴函数C2：y2＝﹣a（x+2）2+2+9a， ∵当y2＝2时，x＝1或﹣5；当x＝0时，y2＝5a+2， ∴点A，B，D的坐标分别为（1，2），（﹣5，2），（0，5a+2）． ∵线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′， ∴点A'的坐标为（0，3），点D'的坐标为（﹣5a，2）． ①当a＞0时， 当点D'在点B的左侧（含点B）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图1： ∴﹣5a≤﹣5， ∴a≥1； 当点D'在点B的右侧，且点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图2： ∴5a+2≤3， 解得a， ∴0＜a． ②当a＜0时，点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图3： ∴﹣5a≥1， ∴a． 综上所述，a或0＜a或a≥1． 7．（2024春•雨花区期末）定义：若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：y＝x+2图象与y＝﹣x的交点是（﹣1，1），则y＝x+2是“零和函数”，交点（﹣1，1）是“零和点”． （1）以下两个函数：①y＝2x﹣1，②y＝x2+x+4，是“零和函数”的是 　 　（填写序号）； （2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式； （3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A（x1，y1）和B（x2，y2），且，该二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，若已知，求M的取值范围． 【分析】（1）由“零和函数”定义，列方程组求解即可得到答案； （2）由y＝x2+mx+n的顶点恰好是“零和点”，求出的顶点，再由y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），得到4+2m+n＝0，联立方程组求解即可得到答案； （3）由“零和函数”定义，联立，得到ax2+（b+1）x+c＝0，由根与系数关系及得到（b+1）2＝5a2﹣15a，从而将化为M＝﹣（a﹣2）2+9结合Δ＞0，利用二次函数图象与性质即可得到答案． 【解答】解：（1）若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，据此联立得： ， 解得，即函数y＝2x﹣1的图象与直线y＝﹣x有交点，为，由“零和函数”定义可得①是“零和函数”； 联立， 则x2+2x+4＝0，由Δ＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，得方程组无解，即函数y＝x2+x+4的图象与直线y＝﹣x无交点，由“零和函数”定义可得②不是“零和函数”； 故答案为：①； （2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和点”， ∴的顶点为， ∴， ∵y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0）， ∴4+2m+n＝0， 联立， 则m2+10m+16＝0，即（m+2）（m+8）＝0，解得m＝﹣2或m＝﹣8，∵y＝x2+mx+n是“零和函数”， ∴或， ∴该二次函数的解析式y＝x2﹣2x或y＝x2﹣8x+12； （3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A（x1，y1）和B（x2，y2）， ∴联立， 则﹣x＝ax2+bx+c，即ax2+（b+1）x+c＝0， ∴，， ∵， ∴， ∵二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是， ∴，则（b+1）2＝5a2﹣15a， ∴ ＝a﹣a2+3a+5 ＝﹣a2+4a+5 ＝﹣（a﹣2）2+9， ∵有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（b+1）2+30a＞0， ∴b2+2b+1+30a＞0， ∴（ 5a2﹣15a﹣1）+1+30a＞0， ∴a2+3a＞0， ∴a（a+3）＞0， ∵题中已知条件a＜0， ∴a＜﹣3， ∴M的取值范围是M＜﹣16， ∴当a＜0时，M随着a的增大而增大，即M的取值范围是M＜﹣16． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$