专题01 二次函数重难点题型汇编（十四大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题01 二次函数重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数的概念】..................................................1 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】.........................................2 【题型03：列出二次函数关系式】...............................................2 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】.........................................2 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】.....................................3 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】..................................5 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】........................6 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】......................6 【题型09：二次函数y=ax²+bx+c的图像与系数关系】..............................8 【题型10：二次函数的平移变换】...............................................9 【题型11：已知抛物线上对称的两点求对称轴】...................................10 【题型12：二次函数的交点个数问题】...........................................11 【题型13：抛物线与x轴的交点问题】...........................................13 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】............................14 【题型14：根据交点确定不等式的解集】........................................14 【题型01 ：二次函数的概念】 1．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 4．二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 1．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 2．若函数是关于的二次函数，则的值为 ． 3．若是关于的二次函数，则的值是 ． 【题型03：列出二次函数关系式】 1．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 4．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．下面关于抛物线的结论正确的是（   ） A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为） D．开口向下，顶点坐标为 5．二次函数的最小值是 ． 6．抛物线关于y轴对称的抛物线的函数解析式为 ． 7．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ． 8．若二次函数的图象过点，则 ． 9．已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，则的值为 ． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 1．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 3．如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为 ． 4．如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的最值范围是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 1．抛物线的对称轴为（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（    ） A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大 C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点 4．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 5．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 7．如果，那么二次函数的图象必过点（   ） A． B． C． D． 8．将抛物线向下平移个单位后，得到的图象经过原点，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 1．已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且当时，有最小值2，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 2．已知函数在上有最大值7，则常数的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 3．已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．0 D． 4．已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知点在抛物线上，当时，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【题型08：二次函数与一次函数图像的综合】 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（   ） A．B．C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是 (   ) A． B． C． D． 【题型08：二次函数y=ax²+bx+c的图像与系数关系】 1．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 5．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③；④若有两个实数根，则；⑤． A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤ 6．二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（m为常数）；④．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【题型09：二次函数的平移变换】 1．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为（  ） A． B． C． D． 2．抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 3．若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．将函数的图象向左平移5个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 5.将抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 6．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．如图，二次函数图象的对称轴是直线，与x轴一个交点，则与x轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线与x轴的交点分别为，，则该抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．若抛物线与x轴的两个交点为，，则该抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【题型11：二次函数的交点个数问题】 1．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A．B． C． D． 3．已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为(　　)    A． B． C．或 D．或 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 5．如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M． (1)若直线与图象M恰好有3个交点．求n的值． (2)若直线与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围． 【题型12：抛物线与x轴的交点问题】 1．抛物线与坐标轴交点个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 2．二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（   ） A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2 3．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 4．已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 5．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ． 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ． 2．抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为 ． 3．若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．    【题型14：根据交点确定不等式的解集】 1．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 2．抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 3．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 4．二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 5．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是 ． 6．如图，抛物线的部分图象交坐标轴于点，，对称轴为．则当时，的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数的概念】..................................................1 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】.........................................3 【题型03：列出二次函数关系式】...............................................4 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】.........................................4 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】.....................................9 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】..................................15 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】.......................19 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】......................22 【题型09：二次函数y=ax²+bx+c的图像与系数关系】.............................25 【题型10：二次函数的平移变换】...............................................33 【题型11：已知抛物线上对称的两点求对称轴】...................................35 【题型12：二次函数的交点个数问题】...........................................37 【题型13：抛物线与x轴的交点问题】...........................................44 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】............................47 【题型14：根据交点确定不等式的解集】........................................48 【题型01 ：二次函数的概念】 1．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义“形如的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是二次函数，故选项B符合题意； C、不是二次函数，故选项C不符合题意； D、，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．自变量的次数为1，不是二次函数，不符合题意； B．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意； C．符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意； D．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 3．二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的一般式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．二次函数的一般式为：（a、b、c是常数，）．其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，根据定义作答即可． 【详解】解：二次函数， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，． 故选：B． 4．二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 1．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：D． 2．若函数是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，列出关于m的方程和不等式是解题的关键． 根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，列出关于m的方程和不等式，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 3．若是关于的二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数定义，根据二次函数定义，得到，，即可得到答案，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 【详解】解： 是关于的二次函数， ，，即， ， 故答案为：． 【题型03：列出二次函数关系式】 1．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式是解题的关键． 根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可． 【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是， ∴增加后的边长是，面积是， ∴增加的面积， 故选：C． 2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 3．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【详解】解：， 故答案为：． 4．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式特征是关键．对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 2．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出，的值，比较大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 3．已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 4．下面关于抛物线的结论正确的是（   ） A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为） D．开口向下，顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的顶点式确定顶点坐标． 首先根据二次项系数确定开口方向，而抛物线的顶点坐标为，利用这个公式即可求解． 【详解】解：抛物线， 开口方向向上， 顶点坐标为：， 故答案为：C． 5．二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数顶点式解析式写出即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∴当时，二次函数的最小值为， 故答案为：． 6．抛物线关于y轴对称的抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，轴对称的性质，先求出抛物线的顶点坐标是，然后得出关于y轴对称的对称点为，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标是， 则关于y轴对称的对称点为， ∴抛物线关于y轴对称的抛物线的函数解析式为． 故答案为：． 7．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．根据二次函数的性质和分类讨论的方法，可以求得a的值． 【详解】解：二次函数， 当时，该函数取得最小值1， 当时，y的最小值为， 当时，时取得最小值，此时，该方程无解； 当时，时取得最小值，此时，得； 当时，当时取得最小值，此时，得； 故答案为：0或4． 8．若二次函数的图象过点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．将点代入二次函数的解析式即可得出的值． 【详解】解：将点代入二次函数得：， ． 故答案为：． 9．已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，分，和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴当时，的最小值为， 当时，在中，随的增大而增大， ∴当时，函数的值最小， 即， 解得或（不合，舍去）； 当时，的最小值为，不合，舍去； 当时，在中，随的增大而减小， ∴当时，函数的值最小， 即， 解得（不合，舍去）或； 综上，的值为或， 故答案为：或． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 1．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键．分别作出当经过、、、时的图象，再由图象判断出函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，即可解答此题． 【详解】解：当函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 如图， 可以看出经过的和经过的，与函数的图象在有两个交点， ， 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为 ． 【答案】 【分析】待定系数法求直线的解析式为；如图，记与轴的交点分别为，由，可得物线关于轴对称，则，，，轴，轴，证明，则，即，直线的解析式为，联立，可求，，同理，直线的解析式为，，，可推导一般性规律为，当为奇数时，，然后计算求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将代入得，， ∴直线的解析式为； 如图，记与轴的交点分别为， ∵， ∴抛物线关于轴对称， ∴，，，轴，轴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， 或 ， ∴，，， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得， 或 ， ∴，， ∴可推导一般性规律为，当为奇数时，， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究等知识．熟练掌握二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究是解题的关键． 4．如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的最值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征；先求得与轴的交点坐标，根据图象求得答案即可． 【详解】解：由题意，将二次函数位于轴的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数， 新函数的解析式为． 当时，， 解得或， 如图， 当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或． 故答案为：或． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为，，， ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知， 故答案为：． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 1．抛物线的对称轴为（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】此题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的一般式，利用对称轴公式直接求解． 【详解】解：抛物线的表达式为，其中，， 代入对称轴公式得：， 因此，抛物线的对称轴为直线， 故选A． 2．二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数图象与轴交点坐标，涉及解一元二次方程等知识，由题意，令，解一元二次方程即可得到答案．熟记二次函数图象与性质、解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数与轴交于两点， 令，则， ， ，即， 解得或， 点在点左侧， 点的坐标为， 故选：A． 3．已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（    ） A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大 C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键． 由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴，即对称轴在轴右侧，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴的右侧时，随的增大而增大；在对称轴的左侧时，随的增大而减小， 即当时，随的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交于点，位于y轴正半轴， ∴图象一定不经过第三象限，故C选项正确，符合题意； ∵， ∵， ∴无法确定的正负， 即无法确定图象与轴的交点的个数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 4．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据表格的数据，把代入，求出再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线，当时，函数取得最小值，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ， 故A不符合题意． 故选 D 5．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，都在抛物线上，且， ∴； 故选A． 6．对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；把二次函数化为顶点式，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误 当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 7．如果，那么二次函数的图象必过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先整理得，然后把每个选项的点的坐标代入，然后与比较，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵二次函数 ∴把代入，得， 把代入，得， 把代入，得， 把代入，得， 故二次函数的图象必过点， 故选：B 8．将抛物线向下平移个单位后，得到的图象经过原点，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握 “上加下减”是解题的关键． 先得到平移后的解析式为，再将原点坐标代入即可求解． 【详解】解：∵将抛物线向下平移个单位 ∴平移后的解析式为：， ∵得到的图象经过原点， ∴， 解得：， 故选：C． 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 1．已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且当时，有最小值2，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据题意得出，求出二次函数的图象的对称轴为直线，可知当时，有最小值，故，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题得二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∵时，有最小值，， ∴当时，有最小值， ∴， 解得或， ∴， 故选： D． 2．已知函数在上有最大值7，则常数的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，注意根据二次函数性质对待定参数分类讨论是解题的关键．由解析式可确定抛物线对称轴，对参数取值分类讨论，开口向上或开口向下，分别在自变量取值范围内确定极值列方程求解. 【详解】解：∵二次函数解析式， ∴二次函数对称轴为． ①当时，二次函数开口向下，时，函数有最大值7． ∴，解得． ②当时，二次函数开口向上，在上有最大值7，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数最大值为7，即，解得． 综上分析，a的值为或1． 故选：D． 3．已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到该抛物线的开口向下，对称轴为直线，得到对称轴只能在y轴右侧，则．由当时函数的最大值为2，当时，，求出b、c，即可得到答案． 【详解】解：由得该抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1， ∴根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，则， 由当时，，则， 由得，解得或（舍去）， ∴， 则， 故选：D 4．已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式求出抛物线开口向上，顶点坐标为，再根据当时，函数的最小值是可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴y的最小值即为， ∵当时，函数的最小值是， ∴， ∴， 故选：C． 5．已知点在抛物线上，当时，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的最值问题，把点代入得到，得到，根据二次函数的性质以及即可求出的取值范围． 【详解】解：把点代入得到， 则， ∴是二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ∴的取值范围是， 故选：A 【题型08：二次函数与一次函数图像的综合】 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键． 一次函数，可判断、的符号；根据二次函数的图象位置，可得，． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故A错误； B、函数中，，，中，，，故B正确； C、函数中，，，中，，，故C错误； D、函数中，，，中，，，故D错误． 故选：B． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合，解题关键是结合二次函数图像和一次函数图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的取值范围，再根据另一函数图像确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A．根据图像可知两个函数图像与y轴的交点坐标为，同时也可得，故选项正确，符合题意； B．根据一次函数图像可知，而根据二次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； C．根据二次函数的图像可知，根据一次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； D．二次函数图像与y轴的交点不是，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解∶A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意． 故选∶A． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是 (   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．分别根据一次函数的图象得出的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案． 【详解】解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项符合题意； B．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； D．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选不项符合题意； 故选：A． 【题型08：二次函数y=ax²+bx+c的图像与系数关系】 1．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出，结合对称轴位置判断出，再根据与y轴的交点位置，判断，进而得出结论①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出，进而得出，即可判断⑤错误；综上即可得答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ， 故①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ②正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ③正确； 点到直线的距离比点到直线的距离小，且抛物线开口向上， ， 故④错误； ， ， 故⑤错误． 综上所述，正确的有②③，一共2个． 故选：A． 2．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知，，， ∴， ∴，故①正确； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知对称轴为直线，则 ∴ ∴故③正确； ∵对称轴为直线 ∴当和时，函数值相等 根据函数图象可得当时，， ∴当时， ∴即，故④错误； ∴当时，故⑤不正确． 故选：B． 3．丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在x轴左侧，当a与b异号时，对称轴在x轴右侧，常数项决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知， ∴． ∴①正确． ∵函数图象开口向上， ∴， 由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x，， 又由①知，, ∴， ∴②正确． ∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， ∴③正确． ∵，， ∴． ∴． ∴④错误； ∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时， 即， ∴⑤正确． 其中正确的有①②③⑤． 故选：A． 4．二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：，，然后根据图象判断其值． 根据和时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断①和②，由抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点可以判断③、④、从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∴，故①正确； 当时，， 由图象可知，当时，，故②正确； ∵图象开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵图象与y轴的交点在y轴的上半轴， ∴， ∴，故③错误； ∵，，， 当， 则，产生矛盾，故④错误； ∴正确的有2个． 故选：C． 5．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③；④若有两个实数根，则；⑤． A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象可得，，，即得，即可判断①；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断②；由对称轴可判断③；由有两个实数根，可知抛物线与直线相交，结合图象可判断④；由顶点坐标可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴，故②正确； ∵对称轴， ∴，故③正确； 若有两个实数根，则抛物线与直线相交， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴，故④正确； ∵抛物线的顶点坐标为，开口向下， ∴当时，取最大值， ∴， 即，故⑤正确； 综上，说法正确的是②③④⑤， 故选：． 6．二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（m为常数）；④．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点，即可判断、、的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过，得到，，代入进行求解即可判断②④，根据当时二次函数取得最大值，即可判断③． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线交轴正半轴， ， ，故①正确， 抛物线的对称轴为直线， ， 图象过点， ， ， ， ，故②错误， 当时，函数由最大值， ， （为常数），故③正确， ， ，故④正确， 故选：C． 【题型09：二次函数的平移变换】 1．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则，计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为． 故选：B． 2．抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移， 根据平移的规律“左加右减，上加下减”，解答即可. 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位得抛物线. 故选：A. 3．若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为． 故选：A． 4．将函数的图象向左平移5个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的平移，二次函数的图象与性质是解题的关键．先把原二次函数解析式转化为顶点式，然后根据平移规律求出新二次函数解析式，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 5.将抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线为． 故选：A 6．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据上加下减，左加右减进行解答即可． 【详解】解：， ∴抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是， 故选：B 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．如图，二次函数图象的对称轴是直线，与x轴一个交点，则与x轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得点A的对称点的坐标是解题的关键．找出点A关于的对称点的坐标即可． 【详解】解：∵次函数图象的对称轴是直线，与x轴一个交点， ∴另一个交点为：，即， 故选：D． 2．已知抛物线与x轴的交点分别为，，则该抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线的对称性求解是解题的关键． 根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为和， ∴和关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的对称轴为直线． 故选：B． 3．抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称．利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解∶∵物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故选∶D． 4．若抛物线与x轴的两个交点为，，则该抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】直接根据两个交点坐标可得对称轴． 【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点为，， ∴该抛物线的对称轴为， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．对于求抛物线的对称轴的题目，可以用公式法，也可以将函数解析式化为顶点式求得，或直接利用公式求解． 【题型11：二次函数的交点个数问题】 1．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或，则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与相切时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 2．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的翻折、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，学会二次函数的翻折规律，善于转化二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意容易求解抛物线与轴的交点分别为，，再利用函数翻折性质求得翻折部分解析式为，再求出直线经过点时m的值，以及与抛物线有唯一公共点时m的值，最后根据图象即可求解m的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，，则，， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方， 翻折部分的解析式为， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数根，即方程有相等的实数根， ， 解得：； 结合图象可知，当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围为． 故选：D． 3．已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为(　　)    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】，令，则或，则点，二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：，联立，消去整理得：，令，求得，结合图象即可求解． 【详解】如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有个交点，   ，令，则或，则点， 将点的坐标代入并解得：， 二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：， 联立，消去整理得：， ， 解得： ， 当或时，直线与这个新图象有三个交点， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象判断根的情况，数形结合是解题的关键． 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得或， 则点，， 抛物线：，， 由于抛物线向左平移2个长度单位得抛物线， 则抛物线解析式为，， 令，即， 解得或， 则点， 如图， 当与抛物线：相切时， 令，即， 根据相切可知方程有两个相等的解，即， 解得， 当过点时，即：， 解得：， 结合图象可知：直线与，共有3个不同的交点时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 5．如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用． 依据题意，首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时k的值以及直线过点B时k的值，结合图形即可得到答案 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B， ∴，． 又抛物线为， ∴抛物线向左平移4个单位长度 ∴平移后解析式． 当直线过B点，有2个交点 ∴， ∴． 当直线与抛物线相切时，有2个交点 ∴， 即． ∵相切， ∴ ∴． 如图， ∵若直线与、共有3个不同的交点， ∴． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M． (1)若直线与图象M恰好有3个交点．求n的值． (2)若直线与图象M恰好有2个交点．求n的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数, 是常数,)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.也考查了二次函数图象与几何变换． （1）解方程: 得，，然后求出直线经过点 时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到直线与图象恰好有个交点时，的值. （2）求出直线经过点时的值，结合（1）的结果即可得到直线与图象恰好有个交点时的取值范围. 【详解】（1）如图，当时，， 解得 ， 则，， 当直线经过时, ， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， 解得 ， 所以当直线与图象恰好有个交点时，或 ． （2）当直线经过点时, 解得 观察图象，若直线 与图象恰好有个交点时，的取值范围为或 ． 【题型12：抛物线与x轴的交点问题】 1．抛物线与坐标轴交点个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先求出时，的值，再求出当时，判别式的值，由此即可得出交点个数． 【详解】解：∵， 当时，，即与轴的交点为，有1个， 当时，， 此时 即抛物线与轴无交点， 综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为1个， 故选：C． 2．二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（   ） A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与x轴，轴的交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．由二次函数的图象坐标轴有两个交点，则与x轴有一个交点，或两个交点中一个交点在原点，再进一步求解即可． 【详解】解：由题知，∵二次函数的图象与坐标轴有两个交点， 则二次函数的图象与轴只有一个交点，或有两个交点，两个交点中一个交点在原点， 则，或， 解得或． ∴C符合题意； 显然四个选项中只有C选项符合要求． 故选：C． 3．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象和一元二次方程的根的关系．观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，再求出抛物线与x轴的另一交点坐标为，即可得到答案． 【详解】解：观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴一元二次方程的解为． 故本题答案为： 4．已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，先求解抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可． 【详解】解：由题可知，的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性知，与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 5．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点的知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解题关键．将点代入抛物线，求解即可获得答案． 【详解】解：将点代入抛物线， 可得，解得． 故答案为：． 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 1．如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，解题关键是通过图象求解．将一元二次方程变形为，由交点坐标即可得出答案． 【详解】解：把一元二次方程变形为， 抛物线与直线交于，两点，点，横坐标分别为，3， 关于的一元二次方程的解是，． 故答案为：，． 2．抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解成为解题的关键． 先根据二次函数图象的性质确定抛物线与与x轴的交点横坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的关系即可解答． 【详解】解：由图象得：抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的根为：，． 故答案为：，． 3．若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．    【答案】， 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与方程的关系，根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象即可求得时x的取值范围． 【详解】解：由图象可知：抛物线与x轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为：， ∴的解为，， 故答案为：，． 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 1．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，对称性，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 由图象可知：不等式的解集为或； 故答案为：或． 2．抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 3．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系． 利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵， ∴化为抛物线在直线上方， 由图可知： 当或时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或； 故答案为：或． 4．二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方，进而得到的的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：， ， 由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 的的取值范围为， 故答案为：． 5．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可． 【详解】解∶由图形可得，当时，二次函数图象在一次函数图象下方，，所以， 使成立的的取值范围是． 故答案为∶． 6．如图，抛物线的部分图象交坐标轴于点，，对称轴为．则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，根据图象及对称轴求出的对称点，结合图象x轴上方即为的部分求解即可得到答案． 【详解】解：∵，对称轴为直线， ∴与x轴另一个交点为， ∴当时，， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$