精品解析：江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题

耐学科网 可组卷网 2023-2024学年第二学期高一期末模拟 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.某工厂生产A,B,C,3种不同型号的产品，产量之比为3：2：5现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样 本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量n=() A.40 B.60 C.80 D.100 【答案】B 【解析】 【分析】运用分层抽样知识可解 【详解】分层抽样抽样比为3：2：5，样本中A种型号的产品有18件， 则样本中B,C种型号的产品有12件，30件.则样本容量n=18+12+30=60. 故选：B. 2复数：=+0+，则：的成部为《） A. 2 B. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和乘方运算计算得解 i 【详解】 i1-i0-i+1-1+2i,0+iy=2i, 1+i(1-i(1+i)222 所以复数，1+0+i=+i+2i=+5 1.5 1+i 22 22 :=15 5 i,虚部为- 22 2 故选：C 3.设m,n是两条不同的直线，α，β，y是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为() ①若mco,n/1o,则m,n为异面直线②若a//y,B/1y,则a/1β ③若m⊥B,m⊥y,a⊥B,则a⊥Y④若m⊥a,n⊥B,m//n,则o⊥阝 第1页/共22页 可学科网可组卷网 ⑤若l⊥o,n/B,11B,则1⊥n A.②③⑤ B.①②⑤ C.④⑤ D.①③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确： 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得β∥y,再根据⊥B,可得⊥Y,故③正确： 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误 对⑤：若n//B,a//B,则存在mca且m∥n, 因为l⊥a,mca,所以1⊥m,又因为m∥n,所以l⊥n,故⑤正确， 故选：A 4.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车 时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙 两人分别来该租车点粗车骑游<各租一车一次，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为}，专：两小时 以上且不超过三小时还车的概率分别为；，子：两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两 人所付的租车费用相同的概率为() 1 3 B. C. 1 D. 5 16 4 16 【答案】D 【解析】 【分析】由独立乘法、互斥加法公式计算即可求解 【详解】租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况. 都付0元的概率为B=4×28 111 都付2元的概率为B=2×48 111 111 都付4元的概率为B=4×46 所以甲、乙两人所付车数用相的概率为P=P+P+R名 第2页/共22页 可学科网可组卷网 故选：D. 元 5已知2sin'a+sin2a-6,则tana+ =() cos2a 4 C.-5 D.5 5 【答案】B 【解析】 3 【分析】用二倍角公式、商数关系结合已知求得tano= ,再由两角和的正切公式即可求解 【详解】因为2sin2a+sin20_2sina+2 sinc_2tana+2tana-6, cos2a cos2a -sin2a 1-tan-a 所以2tan2a+2tana=-61-tan2a且1-tan2a≠0， 3 即2tan2a-tana-3=0,且1-tan2a≠0，解得tan=一或tano=-1(舍去)， 3π 3 tan a +tan -1 3π 2 1 所以tan a+ 4 3 1-tan a tan 4 2 故选：B 6.已知e是单位向量，且2e-d=V10,a+2e在e上的投影向量为5e,则a与e的夹角为() Cπ 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据2e-d=V10,推理得到a2-4a·e=6,再由投影向量求得ae=3,联立得到a=3V2 ，利用两向量的夹角公式计算即得 【详解】因为e是单位向量，且2e-d=V10, 两边平方得，4e2-4d.e+a2=10,即a2-4a.e=6(*), a+2e).e 由a+2e在e上的投影向量为5e,可得 e=5e, 所以(a+2)e=5,即ae=3,代入(*)可得，a2=18,即a=32, 第3页/共22页 学科网组卷网 a.e 3 所以cosa,)=间3万2' 因为(a,e）e[0,π，所以a,e= 4 故选：B 7.在正方体ABCD-ABCD中，O是BD的中点，M是棱AA上一点，且平面MBD⊥平面OC,D, AM=(） MA A日 c D.1 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设M(1,0,t),0≤t≤1，求出两平面的法向量，根据垂直关 系得到方程，求出t=二，得到答案 【详解】如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， D 3 to.D(o.0.ooioocom. 设M1,0,t),0≤t≤1，平面OC,D,的法向量为m=（x,y,z, cm-司小xx=*-0 则 丽m分小x%动=方+=0 解得y=0,令z=1得x=2, 则m=2,0,1, 第4项/共22页 学科网组卷网 设平面MBD的法向量为i=（a,b,c, DB.i=(1,l,0)a,b,c=a+b=0 则 DM.i=(1,0,t)(a,b,c)=a+ct=0 令c=1,则a=-t,b=t, 故i=（-t,t,l, 由题意得mi=（2,0,1-t,t,1=-2t+1=0, AM=1 解得1=2故M4 故选：D 8脱角4BC中，角4、B、C的对边分别为a、b、Q,满足2bcos号aco0sB,若 cosC-B)+入cosA存在最大值，则实数2的取值范围是() A.(0,V2 B.(1,5 C.(0,2 D.（2,4 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理以及二倍角公式可得A=2B,再由锐角三角形可得区<B<工，将 6 4 cosC-B)+入c0sA化简再利用二次函数取得最值条件可得当0< 21 <一时，可取得最大值，即可求得结 42 果 【详解】由2bcos A-B利用正弦定理可得2 sin Bco1=-sin deos 可得2sin8cos2sn子coscos-8又e,,可将smB=smo(-8月 又m=sm(任-告-aj刃sfom任-8 所以eos2sn(2-8=0:齿此sm经-8-0，博B=0,%A=28 第5页/共22页 可学科网可组卷网 0<A< 0<2B< 2 由于ABC为锐角三角形，则0<B<,即0<B<” ,解得工<B< 6 4 0<C< 2 0<π-3B<T cos(C-B)+4cos A=cos(n-4B)+cos 2B=4 cos 2B-cos4B =-2c0s22B+1c0s2B+1, 因为T<2B< 2,则0<cos2B< 1 3 由二次函数性质可得，若-2c0s22B+cos2B+1存在最大值， 入1 则0<二<三，解得0<2<2. 42 故选：C 【点睛】关键点点晴：本题关键在于利用正弦定理得出角的关系，由三角形形状以及诱导公式和二倍角公 式，并根据二次函数取得最值的条件解不等式可得结果 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为奇数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现 点数为3的倍数”，事件D“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是() A.B与D互斥 B.A与D互为对立事件 e pic- D.P(AC)=P(B 【答案】ABD 【解析】 【分析】写出A,B,C,D以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可 【详解】由题意A={1,3,5,B={3,C={3,6,D={2,4,6,样本空间为U={1,2,3,4,5,6, 对于A,B∩D=,这意味着B,D不可能同时发生，故A正确： 第6页/共22页 丽学科网可组卷网 对于B,A∩D=☑，AUD=U,这意味着A,D中有且仅有一个事情发生，故B正确； 21 对于C,P(C)=6了故C错误： 对于D,因为AnC=B=(3),所以P(AC)=P(B)=,故D正确 6 故选：ABD 10.在ABC中，内角A、B、C对边分别为a、b、C,AD为边BC的上的中线，AD=x, BC=入x2∈R),以下说法正确的是() A.若1=2，则ABC的面积的最大值为x B.若λ=√6，则AB.AC=-x2 2 C.若2=1，则2≤cosA<1 D若入>2，则m8的取值范周是（区-2+2 tanC 元+2元-2 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A:可证AB⊥AC,再根据数量积的运算律得到AB+AC=AB-AC,进一步可A,根 据D=)AB+AC)、平面向量数量积的运算律及余弦定理可待AB·AC,即可判断B,再由数量积的 算律得到B4C=上无进而得到B+4C°，再由基本不等式及数量积的定义剃断@ 4 tan B 由题可得tanB-a2+b2-c2 222x2 tanc2+c2-方，结合条件可得anC 12 -2x2+2c2 ,结合 2 〔-小<e合+小可判D 【详解】 B 对于A,AD为边BC上的中线，元=2，则BC=2AD,所以AB+AC=AB-AC,故ABC为 第7页/共22页 可学科网可组卷网 直角三角形，则ABC为等腰直角三角形时面积最大， 且ABC的面积的最大值为。·x·2x=x2,故A正确： 对于B,:AB+AC=2AD,AC-AB=BC,又AD=x,BC=V6x, 4AB.AC=(AB+AC2-(AC-AB2=(2A2-BC2=4x2-62=-2r2,B4C=-￥，故B 2 错误； 于e指i=1而c-西0os4=r-号-， 由AB+AC=2AD,可得AB+AC=4AD-2ABAC=4r2-3x2=x, 2 :B+4C-r,2卧4Csr当且很当4-AC 3x 3 ∴.c0sA= >4 -3 4 3 ≤cosA<1,故C正确； 对于D:在ABC中，设角A,B,C所对边为a,b,C,则BC=入AD,入>2)， 由上知BAC=2_(x=ccos∠BAC=be+c-d 4 2bc ave-ae.v-2e a2+b2-c2 .tan B_sin BcosC b 2ab =a2+b2-c2 tanC cos Bsin Cc a2+c2-b2 a2+c2-b2 2ac 2322 x2-2c2 2 22x2+2c2- 第8页/共22页 学科网丽组卷网 22x2 -2x2+2c2 2 22x2 2r+2x 又D-4Dc48csD+D,台-r<c<径1小. 仔-可rj军+<答a tan B 22x2 .'tan C —-1(-2，元+2 2+2’入-2，故D正确， 故选：ACD 11.棱长为2的正方体ABCD-ABCD,P,Q分别是棱C,D,棱DD,的中点，则() A.直线AP与直线B,Q是异面直线 B.过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面面积为 2 C.在棱CB上存在一点R,使二面角R-PQ-D,的大小为 6 D.点A到平面ABP的距离为一 【答案】BD 【解析】 【分析】根据四点共面、正方体的截面、二面角、点面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案 【详解】画出图象，作出连线如下图所示， 由于P,Q分别是棱CD,棱DD,的中点， 所以PQ/CD,根据正方体的性质可知C,D∥AB,所以PQ/AB, 所以A,B,P,Q四点共面，所以直线AP与直线BQ共面，A选项错误 A0=BP=5,PO=2,AB,=22, 所以过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形AB,PQ, 第9页/共22页 可学科网命组卷网 22-2 3Y5,面积为D+22×32_9,B达项正确 X 2 2 22 R在棱C,B,上，由图可知，二面角R-PQ-D,为钝角，所以C选项错误。 点A到平面ABP的距离为d, AP=V22+2+12=3,AB,=2V2,B,P=V5, 所以cos∠ABP=5+8-9.1 2xV5x2210 ,所以sin∠AB,P= 10 10 1 VVSAAB'd=A4P 44 号合525高4-任22小2，解隋d-子所uD选项魔 故选：BD D 【点晴】方法点睛：判断四点共面，可以利用平行直线、相交直线来证明共面 求点到面的距离，一种方法是作出高的方法，需要利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用等体积法 来进行求解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在2,3,5,7,11,13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是 1 【答案】 一##0.2 5 【解析】 【分析】由列举法解决古典概型概率问题即可 【详解】在2,3,5,7,11,13这6个数中，任取两个不同的数， 则这两数之和可能是：5,7,9,13,15,8,10,14,16,12,16,18,18,20,24，总共有15个数， 其中素数为：5,7,13，共有3个数， 第10页/共22页 2023-2024学年第二学期高一期末模拟 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某工厂生产A，B，C,3种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 2. 复数，则虚部为（    ） A. B. C. D. 3. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，，，则 A. ②③⑤ B. ①②⑤ C. ④⑤ D. ①③ 4. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（ ） A. B与D互斥 B. A与D互为对立事件 C. D 10. 在中，内角A、B、C的对边分别为、、， 为边的上的中线，，，以下说法正确的是 （    ） A. 若，则的面积的最大值为 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则的取值范围是 11. 棱长为2的正方体，，分别是棱，棱的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 在棱上存在一点，使二面角的大小为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是______. 13. 如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为____． 14. 在四面体中，，，，，，则四面体外接球的表面积为__________，四面体的体积为________________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 复数，且在复平面上对应的点在第一象限． （1）若，求复数的模； （2）若复数模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 16. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； （2）在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率． （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 17. 如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，， ，，，，是垂足，平面平面． （1）证明：； （2）若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值． 18. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角，，的对边分别为，，. （1）若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围； （2）若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由. 19. 在三棱柱中，，，，，分别为的中点. （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面⊥平面； （3）若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $