2.4 圆周角（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.4　圆周角（2） 第2课时　圆周角与直径的关系 学习目标 1．进一步认识同弧（或等弧）所对的圆周角和圆心角之间的关系； 2．掌握直径与其所对圆周角之间的关系，并能运用其解决相关问题. 2 问题导学 我们学习了哪些与圆有关的角？ 它们之间有怎样的数量关系？ 问题导学 利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径吗？ A B C 4 思考与探索 1. 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任意一点，你能确定∠BAC的度数吗？ B A O C ∠BAC＝×∠BOC＝ ×180°＝90°. 5 思考与探索 连结OB、OC. 2. 如图，圆周角∠BAC＝90º，若连接BC，则BC过圆心O吗？为什么？ B A C O 由圆周角∠BAC=90°， 可得∠BOC＝180°， 即B、O、C在一条直线上. 所以若连接BC，则BC过圆心O. 6 新知归纳 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径． 用于判断某个 圆周角是否是直角 用于判断某条弦 是否是直径 圆周角定理的推论： 新知应用 1. 利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径吗？ A B C 解：由于“90°的圆周角所对的弦是直径”， 因此，由∠A=90°，可知弦BC是圆的直径. 你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？ O 利用上述方法，确定出圆的两条直径，这两条直径的交点就是圆形工件的圆心. 8 新知应用 2. 如图，AB是⊙O的直径，∠CAB =30°，求∠ABC的度数. O A B C 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°(直径所对的圆周角是直角). ∵∠CAB＝30° ， ∴ ∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB ＝180°－90°－30° ＝60°. 9 例题讲解 例1 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，经过点A、B、D三点作⊙O，点C在⊙O上吗？试说明理由． A B D C ┐ ┐ 解：连接BD. ∵∠A＝90°， ∴BD是⊙O的直径 (90°的圆周角所对的弦是直径). 连接OC. 在Rt△BCD中，OC＝BD＝OD， ∴点C在⊙O上. · O 10 例题讲解 例2　如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E. O A B C D E (1) 已知∠ADC＝50°，求∠CAB的度数. 解法1：连结BC. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°(直径所对的圆周角是直角). ∵＝， ∴ ∠ABC＝∠ADC＝50° (同弧所对的圆周角相等) ∴ ∠CAB＝180°－∠ACB－∠ ABC ＝180°－90°－50° ＝40°. 11 例题讲解 例2　如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E. O A B C D E (1) 已知∠ADC＝50°，求∠CAB的度数. 解法2：连结BD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°(直径所对的圆周角是直角). ∵∠ADC＝50°， ∴∠CDB＝∠ADB－∠ ADC＝90°－50°＝40°. ∵＝， ∴ ∠CAB＝∠CDB＝40° (同弧所对的圆周角相等). 12 例题讲解 例2　如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E. O A B C D E (2) 已知∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数. 解：连结BD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°(直径所对的圆周角是直角). ∵∠ADC＝50°， ∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝90°－50°＝40°. 又∵∠ ABD＝∠ACD＝60° (同弧所对的圆周角相等) ∴ ∠CEB＝∠ABD＋∠EDB＝60°＋40°＝100° 还有其他方法吗？ 13 例题讲解 例3 已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D， 解：(1)∠ACB＝∠BAD相等. 理由是： ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90 °(直径所对的圆周角是直角). ∴∠ACB＋∠ABC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＋∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝∠BAD (等角的余角相等). (1)∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？ A O D B C ┐ 14 (2)若＝，BE分别交AD、 AC于点F、G，判断△FAB的形状. 例题讲解 例3 已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D， A O D B C ┐ E F G 解：(2)△FAB是等腰三角形，理由是： ∵ ＝， ∴∠ABE＝∠ACB (等弧所对的圆周角相等). 由(1)得∠ACB＝∠BAD， ∴∠ABE＝∠BAD， ∴AF＝BF， ∴△FAB是等腰三角形. 15 (3)图中还有等腰三角形吗？ 例题讲解 例3 已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D， A O D B C ┐ E F G 解：(3)△FAG是等腰三角形，理由是： 由(2)得∠ABE＝∠BAD . ∵∠BAC＝90 °(已证)， ∴∠ABE＋∠AGF＝90°， ∠BAD＋∠FAG＝90°， ∴ ∠AGF＝∠FAG (等角的余角相等)， ∴△FAG是等腰三角形. = = 16 拓展与延伸 A O D B C ┐ E F G 解：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90 °(直径所对的圆周角是直角). ∴∠ABG＋∠G＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ACB＋∠CAF＝90°， ∵ ＝， ∴∠ABG＝∠ACB (等弧所对的圆周角相等). ∴∠G＝∠CAF(等角的余角相等). ∴△FAG是等腰三角形. 1. 在例2中，若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变. 图中有等腰三角形吗？说明理由. 17 1. 在例2中，若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变. 拓展与延伸 A O D B C ┐ E F G ∵∠BAC＝90 °(已证)， ∴∠ABG＋∠G＝90°， ∠BAF＋∠CAF＝90°， ∵∠G＝∠CAF (已证) ∴ ∠ABG＝∠BAF， ∴△FAB是等腰三角形. 你还能得到哪些结论？ 图中有等腰三角形吗？说明理由. 18 拓展与延伸 2. A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAD＝∠BAE，AE是⊙O的直径吗？为什么？ ┐ A O D B C E 解：连接BE. ∵ ＝， ∴∠E＝∠C (同弧所对的圆周角相等). ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90 °， ∴∠CAD＋∠C＝90°， ∵∠CAD＝∠BAE， ∴∠BAE＋∠E＝90°. ∴∠ABE＝90°. ∴AE是⊙O的直径 ( 90°的圆周角所对的弦是直径). 19 新知巩固 （1）90°的角所对的弦是直径. （ ） （2）直径所对的角是直角. （ ） （3）同弦所对的圆周角相等. （ ） × × O A B C O B A C E 1. 判断题： × 20 新知巩固 2．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为          ． 6.5 21 3 . 如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1，⊙O的弦AD交⊙O1于C，则 (1)OC与AD的位置关系是_______________； (2)OC与BD的位置关系是_________； (3)若OC=2cm,则BD=______cm. 新知巩固 OC垂直平分AD 平行 4 O1 C D A B O 22 新知巩固 4. 如图，AB、CD 是⊙O的直径，弦CE∥AB. 与相等吗？为什么？ A O D B C E F 解法1：连接DE，交AB于点F. ∵ CD 是⊙O的直径， ∴∠CED＝90 °. 又∵CE∥AB， ∴∠AFD＝∠E＝90°. ∴AB⊥DE. ∴. 23 新知巩固 4. 如图，AB、CD 是⊙O的直径，弦CE∥AB. 与相等吗？为什么？ A O D B C E 解法2：在⊙O中， ∠DCE的度数＝的度数， ∠DOB的度数＝的度数. ∵CE∥AB， ∴∠DCE＝∠DOB， ∴＝， 即. 24 新知巩固 5. 如图，⊙O是△ABC 的外接圆，直径AD＝4，∠ABC ＝∠DAC . 求 AC的长. A O D B C 解：连接CD. ∵ ＝， ∴∠ABC＝∠ADC . ∵∠ABC ＝∠DAC， ∴∠ADC＝∠DAC， ∴AC＝DC. ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°. 在Rt△ACD中，由勾股定理得，＝， 解得AC＝. 25 圆周角定理推论的应用技巧 归纳总结 1.当已知条件中有直径，要考虑直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形； 2.当已知条件中给出90°圆周角时，要想到该圆周角所对的弦是直径. 26 直径所对的圆周角是直角 已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想直角” 课堂总结 90°的圆周角所对的弦是直径 1.（2024·湖北·中考真题）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 当堂检测 基础过关 C 28 当堂检测 基础过关 2.（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，，则（     ） A． B． C． D． B 29 当堂检测 基础过关 3.（2024·安徽宿州·三模）如图，是的外接圆，． 若，，则的半径为（      ） A．4 B． C． D．8 A 30 当堂检测 基础过关 4.（2024·北京门头沟·一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是___________________________． 的圆周角所对的弦是直径 31 当堂检测 基础过关 5．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，使DC＝BD，判断△ABC的形状： _______________． 等腰三角形 32 当堂检测 基础过关 6.（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ． 70 33 当堂检测 基础过关 7. 如图，△ABC内接于一圆，∠CAB＝30°，∠B＝60°，O是AB的中点，CD⊥AB于点E，交圆于点D. (1)求证：点O是圆心； 解：(1)∵ ∠CAB＝30°，∠B＝60°， ∴ ∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝90°. 又∵ A、B两点都在圆上， ∴ AB是圆的直径. 又∵ O是AB的中点， ∴ 点O是圆心. A O D C B E ┐ 34 当堂检测 基础过关 7. 如图，△ABC内接于一圆，∠CAB＝30°，∠B＝60°，O是AB的中点，CD⊥AB于点E，交圆于点D. (2) 求∠DAE的度数. A O D C B E ┐ 解：(2) ∵ ＝， ∴ ∠D＝∠B＝60°. ∵ AB⊥CD， ∴ ∠DAE＝90°－∠D＝30° 35 8.（2022·广东·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； 当堂检测 基础过关 解:（1）证明：∵AC是圆的直径， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB， ∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； 36 8.（2022·广东·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，． (2)若，，求的长度． 当堂检测 基础过关 （2）解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1， ∴CD=， ∴CD=． 37 当堂检测 综合提升 1.（2024·湖南益阳·三模）如图，在中，是直径，弦于点E，连接，，．下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． C 38 当堂检测 综合提升 2.（2023·江苏徐州·三模）如图，矩形的宽为10，长为12，是矩形内的动点，，则最小值为（ 　） A．9 B．8 C．7 D．6 B 39 当堂检测 综合提升 3.（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为______． 5 40 当堂检测 综合提升 4.（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ． 65 41 当堂检测 综合提升 5.（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹） O O O 42 当堂检测 综合提升 6.（2023·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．   (1)求证：；（请用两种证法解答） 解:（1）证法一：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴. 43 当堂检测 综合提升 6.（2023·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．   (1)求证：；（请用两种证法解答） 解:证法二：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴. 44 当堂检测 综合提升 (2)若，的半径为3，，求的长． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴. 45 2021 Blues 4800.0 $$