专题训练：一元二次方程根的判别式及其应用相关问题-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

一元二次方程根的判别式及其应用相关问题 利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况 1．（2024·河南商丘·模拟预测）已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．必有实数根 D．没有实数根 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）方程的根的存在情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实根 C．没有实数根 D．无法确定 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)证明：不论a为何值时，方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正实数根，求a的取值范围． 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根． 利用根的判别式确定一元二次方程中字母的值 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A．0 B．2 C．4 D．0或4 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．0 B．8 C． D．0或8 4．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若方程的有两个相等的实数根，则 ． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 6．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个相同的实数解，则a的值为 ． 7．（2023·宁夏银川·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 8．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 根据根的判别式确定一元二次方程中字母的取值范围 1．（2024·云南大理·一模）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 4．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知，关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 7．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是 ． 8．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）已知一元二次方程有实数解，则k的取值范围是 ． 9．（九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个实数根，求k的取值范围． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程有实数根，求的取值范围． 11．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．求实数m的取值范围． 利用判别式求最值 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知关于y的多项式是四次三项式，关于x的一元二次方程有实数根为a，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·辽宁朝阳·三模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是（    ） A． B． C． D． 3．（九年级上·湖南衡阳·阶段练习）满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为（　　） A． B． C． D． 4．（九年级上·新疆·期中）满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为（        ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的最大整数值为 ． 6．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为 ． 7．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ． 8．（2024·山东聊城·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可以取到的最小整数值是 ． 9．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如果一个三位自然数的各数位上的数字均不为，且使得关于的方程有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数是方程的“等根数”．则关于的方程的最小“等根数”是 ；如果是关于的方程的“等根数”，记，，若是整数，则满足条件的最大值是 ． 10．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则 ． 11．（内蒙古呼和浩特·模拟预测）x，y为实数，且满足，则y的最大值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程根的判别式及其应用相关问题 利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况 1．（2024·河南商丘·模拟预测）已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 根据点的位置确定，然后判断的值的取值范围即可解题． 【详解】解：∵点在第二象限，点在轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．根据直线不经过第四象限，可得，分情况讨论：当时，方程变为一元一次方程，有1个实数根；当时，，方程有两个不相等的实数根，即可进行选择． 【详解】解：∵直线不经过第四象限， ∴， 解得， 当时， 关于x的方程化为， ∴方程有1个实数根； 当时， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程的实数根为1或2个， 故选：D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．必有实数根 D．没有实数根 【答案】C 【详解】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根据的判别式的运用是解题的关键． 先求出根的判别式的值，根据，方程有两个不相等的实数根，，方程有两个相等的实数根，，方程没有实数根，进而可得出结论． 【分析】解：关于的一元二次方程中， ∵ ， ∴方程必有实数根， 故选：C． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）方程的根的存在情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，计算出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实根， 故选：B． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根． （1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）先利用因式分解法求出方程的两根为，x2，再根据两个实数根均为负整数，得出必须为正整数，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵ ∴无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，或， 解得，． 要使两个实数根均为负整数，则必须为正整数， ∴整数． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)证明：不论a为何值时，方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正实数根，求a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)且 【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出原方程的解． （1）根据方程的系数，可得出根的判别式，由偶次方的非负性，可得出，即，进而可证出不论为何值时，方程总有实数根； （2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出原方程的解为，，结合方程有两个不相等的正实数根，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：证明：， ，即， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）解：， ， 解得：，， 方程有两个不相等的正实数根， 且． 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．求证：不论m为何值，方程总有实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了根的判别式，讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，因为，则方程有两个实数根． 【详解】证明：①当， 即时，方程为，解得， 所以此时方程有实数根； ②当时，， 所以此时方程有两个实数根． 综上，不论m为何值，方程总有实数根． 利用根的判别式确定一元二次方程中字母的值 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 2．（23-24九年级上·湖南·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A．0 B．2 C．4 D．0或4 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于m的不等式，解得即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即：， 解得：或， 故选：D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．0 B．8 C． D．0或8 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程有两个相等的实数根，则，据此得出关于m的方程，求解即可得出答案． 【详解】方程有两个相等的实数根， ， 解得，， 故选：D． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若方程的有两个相等的实数根，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了根的判别式，根据判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可． 【详解】解：， ，，， ， 整理得：，即 或， 故答案为：或． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先把方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解方程和不等式得到m的值． 【详解】解：方程化为一般式为， 根据题意得且， 解得m， 即m的值为． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个相同的实数解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；判别式小于0时，方程没有实数根．由已知方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：， ， ∵有两个相等的实数根， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 7．（2023·宁夏银川·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据根的判别式的意义得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根可得，据此即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 根据根的判别式确定一元二次方程中字母的取值范围 1．（2024·云南大理·一模）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【详解】题考查一元二次方程的解的情况，分为时，是一元一次方程有解，时，方程为一元二次方程，要求，根据两种情况解题即可． 【分析】本解：当时，即，这时方程为，解得； 当时，方程为一元二次方程，则， 解得且， 综上所述，m的取值范围是， 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，因为关于x的一元二次方程有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ，并且， ∴且． 故选：C． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，则，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【详解】解：由题意知： ∴，且． 故选：D． 4．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知，关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键． 由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴，即， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是：熟记一元二次方方程成立的条件．根据方程有两个不相等的实数根得到，且，求解即可， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故答案为：且． 7．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数，根据方程无实根可得，由一元二次方程的定义可得，再解不等式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴，且， 解得， 故答案为：． 8．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）已知一元二次方程有实数解，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据题意得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有实数解， 且，即， 解得， 的取值范围为且． 故答案为：且． 9．（九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式的定义得到，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，且， 解得：，且． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义，要注意二次项系数不为． 注意分类讨论，该方程可能为一元一次方程或者一元二次方程，计算出根的判别式，令其大于等于，解出的取值范围，再要注意二次项系数不能为． 【详解】解：当， ， 此时为一元一次方程，且有实数根， 当，即时， 关于的方程有实数根， ， 解得：， 且． 综上所述，当方程有实数根． 11．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．求实数m的取值范围． 【答案】且． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义． 【详解】解：关于x的方程有两个不相等的实数根， ， ． 又二次项系数不为0， ， 即实数m的取值范围是且． 利用判别式求最值 1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知关于y的多项式是四次三项式，关于x的一元二次方程有实数根为a，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，多项式的次数和项数，根据多项式的次数和项数，求出的值，根据方程的解，得到，根的判别式，求出的取值范围，进行求出的最小值即可． 【详解】解：∵是四次三项式， ∴，解得：， ∴方程，转化为：， ∵方程有实数根， ∴，， ∴，， ∴； 故选A． 2．（2024·辽宁朝阳·三模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根的存在性，熟练掌握利用判别式确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 是关于的一元二次方程， ， 的最小整数值为． 故选：D． 3．（九年级上·湖南衡阳·阶段练习）满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令 ，则 ，代入 进行变形整理得到 ，再求出 ，得出 ，求出 的解集即可解答； 【详解】解：先令 ，则 ， 代入 可变形为：， 整理得 ， 则 ， 即 ， 由 即：(i) ，或 (ii) ， 由(i) 解得：，由(ii) 解得：无解； ∴ 的解集为：， 故 取最大值，此最大值为 ； 故选：C． 4．（九年级上·新疆·期中）满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，代入进行变形整理得到，再求出，得出，求出t的解集即可解答． 【详解】解：先令，则， 代入可变形为：， 整理得， 则 即 由知： 或 由解得：，由解得：无解， ∴的解集为： 故取最大值，此最大值为； 故选：C． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的最大整数值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 令根的判别式大于0列不等式求解即可． 【详解】解： 由题意得， 解得， ∴实数m的最大整数值为2． 故答案为：2． 6．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根之间的关系，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根之间的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 的取值范围为且， 的最大整数值为， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可得出关于和的不等式，再对所得不等式进行分析即可解决问题，熟知一次二次方程根的判别式及对所得不等式进行正确的讨论是解题的关键． 【详解】∵方程和方程都有实数解， ∴，， ∴，， ∵，是正实数， ∴， ∴，即， ∴， 故的最小值为， 又∵， 则当时，， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（2024·山东聊城·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可以取到的最小整数值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据判别式为正，求得m的取值范围，根据范围即可求得最小整数值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 则m可以取到的整数值是不小于2的整数， 但，即． 故m可以取到的最小整数值是3． 故答案为：3． 9．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如果一个三位自然数的各数位上的数字均不为，且使得关于的方程有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数是方程的“等根数”．则关于的方程的最小“等根数”是 ；如果是关于的方程的“等根数”，记，，若是整数，则满足条件的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，根据“等根数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的“等根数”， ∴， ∴， 即， ∵为最小“等根数”， ∴，， ∴， ∴最小“等根数”为， 故答案为：； ∵， ∴， ∵是整数， ∴是整数， ∴当时，或，此时或， ∵， ∴不符，舍去； 当时，或，此时或， 由可得，不符，舍去， ∴， ∴， ∴，，， ∴的最大值是， 故答案为：． 10．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，进而根据关于的方程有实数解，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵已知，为实数，且满足， ∴关于的方程有实数解， ∴， ∴， 的最大值为， 的最大值为：，即 ， 当时，的最小值为：，即， ． 故答案为：． 11．（内蒙古呼和浩特·模拟预测）x，y为实数，且满足，则y的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题是以典型的“△”法求函数最值问题，通过观察，分母为二次函数，分子为一次函数，且验证分母△<0，分母不能为零，所以想到用“△”法，将函数转化成关于x的一元二次方程，利用该方程的△≥0，列出关于y的一元二次不等式，求解即可． 【详解】解：∵x2+3x+3＝0时，△＝32﹣12＜0， ∴x2+3x+3≠0； 当y＝0时，2x+2＝0，可得x＝﹣1， 当y≠0时，所以可将，变形为yx2+（3y﹣2）x+3y﹣2＝0，把它视为关于x的一元二次方程， ∵x为实数， ∴△≥0，即△＝（3y﹣2）2﹣4y（3y﹣2）＝﹣（3y2+4y﹣4）＝﹣（3y﹣2）（y+2）≥0， ∴（3y﹣2）（y+2）≤0， 解之得，﹣2≤y≤； 所以y的最大值为． 故答案为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$