第12讲 一元二次方程根的判别式(二类知识点+九大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第12讲 一元二次方程根的判别式（九大题型） 学习目标 1、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证. 2、根据根的情况，运用根的判别式求参数. 3、掌握根的判别式与其他模块知识结合及应用 一.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 二. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【即学即练1】（22-23八年级上·上海青浦·期中）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【即学即练2】（23-24八年级上·上海松江·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 【即学即练3】（20-21八年级上·上海青浦·期末）一元二次方程的根的判别式为 ． 【即学即练4】（21-22八年级上·上海静安·期末）一元二次方程有两个 实根（填“相等”或“不等”）． 【即学即练5】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【即学即练6】（23-24八年级上·上海浦东新·期中）关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 题型1：根据一元二次方程根的判别式符号判断根的情况 【典例1】．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】．关于x的方程（x+1）2﹣3（x+1）＝2的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【典例3】．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 【典例4】．方程的根的判别式Δ＝ ，其根的情况 ． 题型2：根据一元二次方程根的情况求参数范围 【典例5】．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（   ） A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 【典例6】．若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【典例7】．如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【典例8】．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【典例9】．已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【典例10】．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值为 ． 【典例11】．如果关于的方程有两个实数根，那么满足 【典例12】．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是 ． 【典例13】．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是 ． 【典例14】．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2-（k+2）x+k=0进行了讨论： 甲说：这一定是关于x的一元二次方程； 乙说：这有可能是关于x的一元一次方程； 丙说：当k≥-1时，该方程有实数根； 丁说：只有当k≥-1且k≠0时，该方程有实数根． A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丙说的对 D．乙和丁说的对 题型3：根据条件，判断结论对错 【典例15】．以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是（    ） A．若c＝0，则方程一定有一根为0； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程必有一根为－1； D．若，则方程必有两个不相等的实数根． 【典例16】．对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型4：复杂的知根求参，知参求根 【典例17】．已知a、b、c为常数，且a（a+b+c）＜0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 【典例18】．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（    ） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 题型5：解答综合题 【典例19】．已知关于的一元二次方程． (1)如果是该方程的一个根，求另一个根； (2)如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【典例20】．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 【典例21】．已知关于的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 题型6：代数应用（与分式、不等式组等） 【典例22】．如果对于分式，存在两个数使分式没有意义，则m的取值范围是 ． 【典例23】．如果关于x的方程有正数解，且关于x的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B．0 C．3 D． 【典例24】．若关于x的一元二次方程有实数根，且不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的个数是 ． 题型7：分类讨论思想 【典例25】．满足方程的整数对有（    ） A．0对 B．2对 C．4对 D．6对 【典例26】．关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型8：新定义题 【典例27】．新概念运算：运算符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请根据上述规定判断关于x的二阶行列式：根的情况 ． 【典例28】．新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是(    ) A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D． 【典例29】．对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”、例如，，因为，所以是“快乐数”．则最大的“快乐数”是 ：若一个“快乐数”（、b、，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，则k的值为 ． *题型9：根与系数的关系 【典例30】．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【典例31】．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 【典例32】．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2024 B．2027 C．2032 D．2035 【典例33】．已知一元二次方程 的两根为、 ，则 ． 【典例34】．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 【典例35】．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 【典例36】．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 一、单选题 1．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 2．下列方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 3．若方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（    ） A．4 B． C．16 D． 5．问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉的解是正确的 B．淇淇说得对，因为 C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D．由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 6．已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 7．已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个不相等的负实数根 C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根 8．若实数a在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 9．对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 10．关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个不相等的实数根； ②若，则方程没有实数根； ③若n是方程的一个根，则； ④若是方程的一个根，则是方程 的一个根． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②④ 二、填空题 11．已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ． 12．关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 13．关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是 ． 14．已知一元二次方程有实数解，则k的取值范围是 ． 15．若方程有实数解，则的取值范围为 16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的取值范围是 ． 17．定义，如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“龙泉师一”方程．已知方程是“龙泉师一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论：①②③④，正确的是 ．（填序号） 18．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 三、解答题 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有实数根； (2)设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值． 20．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 21．如果方程是关于x的一元一次方程，试判断关于y的方程的根的情况，并说明理由． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 24．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 25．定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ． (1)若 ，求x的值； (2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况． 26．请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） *27．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，0成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． *28．已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． *29．已知关于的一元次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)设的两个实数根为，，若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 一元二次方程根的判别式（九大题型） 学习目标 1、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证. 2、根据根的情况，运用根的判别式求参数. 3、掌握根的判别式与其他模块知识结合及应用 一.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 二. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【即学即练1】（22-23八年级上·上海青浦·期中）一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，此题得解． 【解析】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式并根据其符号确定一元二次方程的根的情况是解题的关键． 【即学即练2】（23-24八年级上·上海松江·期末）关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值是解题的关键． 【解析】解：， 解得：， 故答案为：． 【即学即练3】（20-21八年级上·上海青浦·期末）一元二次方程的根的判别式为 ． 【答案】 【分析】将方程的二次项系数，一次项系数，常数项代入进行计算即可． 【解析】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式． 【即学即练4】（21-22八年级上·上海静安·期末）一元二次方程有两个 实根（填“相等”或“不等”）． 【答案】不等 【分析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．利用根的判别式进得判断即可． 【解析】解：∵， ∴ 该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：不等 【即学即练5】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据求解即可． 【解析】解：∵没有实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 【即学即练6】（23-24八年级上·上海浦东新·期中）关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由题意知，，，计算求解，然后作答即可． 【解析】解：∵关于x的方程，即有两个不相等的实数根， ∴，， 解得，，且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的判别式，明确一元二次方程二次项的系数不为0． 题型1：根据一元二次方程根的判别式符号判断根的情况 【典例1】．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根的判别式的意义对A选项和C选项进行判断；通过解方程对B选项和D选项进行判断． 【解析】A．，方程没有实数解，所以A选项符合题意； B．或，解得，所以B选项不符合题意； C．方程化为一般式为，则，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意； D．，解得，所以D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【典例2】．关于x的方程（x+1）2﹣3（x+1）＝2的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△＝b2﹣4ac的关系求出△的值，再与0进行比较，即可得出答案． 【解析】解：方程（x+1）2﹣3（x+1）＝2化为一般形式为：x2﹣x﹣4＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根． 【典例3】．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 【答案】A 【分析】找出方程a，b，c的值，代入b2-4ac中计算即可． 【解析】解：一元二次方程x2-3x-2=0， ∵a=1，b=-3，c=-2， ∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17． 故选：A． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立． 【典例4】．方程的根的判别式Δ＝ ，其根的情况 ． 【答案】 12 有两个不相等的实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可求出，再利用“当时，方程有两个不相等的实数根”即可得出方程有两个不相等的实数根． 【解析】解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故答案为：12；有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式的相关性质，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 题型2：根据一元二次方程根的情况求参数范围 【典例5】．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（   ） A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 【答案】D 【分析】利用判别式的意义得到Δ=（-2）2-4m＜0，然后解不等式即可． 【解析】解：根据题意得Δ=（-2）2-4m＜0， 解得m＞1． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【典例6】．若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可． 【解析】由题意得： 解得：且 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根． 【典例7】．如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【解析】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【典例8】．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0，根的判别式大于等于0；即可进行解答． 【解析】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根． 【典例9】．已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】m<3 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2)2-4m>0，求解即可． 【解析】解：∵x-x+m=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=(-2)2-4m>0 解得：m<3， 故答案为: m<3． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键． 【典例10】．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值为 ． 【答案】2或/或2 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到Δ=0，求出m的值即可． 【解析】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． ∴． 解得． 故答案为：2或． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 【典例11】．如果关于的方程有两个实数根，那么满足 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可得． 【解析】解：由题意得：此方程根的判别式， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 【典例12】．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分，最后解得可取的最大整数． 【解析】解：已知关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∵，，， ∴， 即， 解得且， ∴其中可取的最大整数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．本题中二次项系数不为零是易错点． 【典例13】．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是 ． 【答案】m＜且m≠0/m≠0且m＜ 【分析】根据判别式△＞0时一元二次方程有两个不相等的实数根求解不等式即可． 【解析】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴△=（2m-3）2-4m（-2+m）=-4m+9＞0，且m≠0， 解得：m＜且m≠0， 故答案为：m＜且m≠0． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系是解答的关键，注意二次项系数不为0． 【典例14】．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2-（k+2）x+k=0进行了讨论： 甲说：这一定是关于x的一元二次方程； 乙说：这有可能是关于x的一元一次方程； 丙说：当k≥-1时，该方程有实数根； 丁说：只有当k≥-1且k≠0时，该方程有实数根． A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丙说的对 D．乙和丁说的对 【答案】C 【分析】当k=0时，方程为一元一次方程；当k≠0时，当Δ=（k+2）2-4k•k≥0时，方程有两个实数解，解得k≥-1且k≠0，于是可判断k≥-1时，方程有实数解，然后对各说法进行判断． 【解析】解：当k=0时，方程化为-2x=0，解得x=0； 当k≠0时，当Δ=（k+2）2-4k•k=4k+4≥0时，方程有两个实数解，此时k≥-1且k≠0， 所以当k≥-1时，方程有实数解， 所以乙和丙的说法正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 题型3：根据条件，判断结论对错 【典例15】．以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是（    ） A．若c＝0，则方程一定有一根为0； B．若，则方程一定有两个实数根； C．若，则方程必有一根为－1； D．若，则方程必有两个不相等的实数根． 【答案】B 【分析】根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可． 【解析】解：A、若c＝0，则方程为，即， ∴方程一定有一根为0，正确，不符合题意； B、若，则方程为， ∵， ∴只有当ac≤0时，即，方程有两个实数根，故原说法错误，符合题意； C、将x＝－1代入方程可得：， ∴若，则方程必有一根为－1，正确，不符合题意； D、∵ac＜0， ∴Δ＝b2−4ac＞0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根，正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根． 【典例16】．对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 【解析】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴方程一定有实数根，原说法正确； ③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ④∵， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，原说法错误； 故选：B． 题型4：复杂的知根求参，知参求根 【典例17】．已知a、b、c为常数，且a（a+b+c）＜0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 【答案】C 【分析】利用已知条件得到4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解析】解：∵Δ＝（﹣b）2﹣4ac＝b2﹣4ac， ∵a（a+b+c）＜0， ∴a2+ab+ac＜0， 即a2+ab＜﹣ac， ∴4a2+4ab＜﹣4ac， ∴4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac， ∴b2﹣4ac＞（2a+b）2， 即Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【典例18】．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（    ） A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1 C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k， ∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0， 又∵ab≠0， ∴a−b−1＝0， 即a＝b＋1， ∴ax2＋2ax＋a＝0， 解得：x1＝x2＝−1， ∴k＝−1， ∵＝， ∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0， 此时＞0，即； 当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0， 此时＜0，即； 故A、C错误； 当时，即＞0， ＞0， 解得：a＞1或a＜0， 故B错误； 当时，即＜0， ＜0， 解得：0＜a＜1， 故D正确 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 题型5：解答综合题 【典例19】．已知关于的一元二次方程． (1)如果是该方程的一个根，求另一个根； (2)如果方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)另一个根为； (2)k的取值范围是且． 【分析】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系、根的判别式． （1）将代入，然后解方程即可得到，再根据根与系数的关系求得另一个根； （2）根据一元二次方程的定义得，根的判别式，可求得k的取值范围． 【解析】（1）解：将代入得 ， 解方程得：， 故关于x的一元二次方程为：， 解得：， 故另一个根为； （2）解：∵， ∴， ∵有两个实数根， ∴， 解之得：， 故k的取值范围是且． 【典例20】．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)原方程没有实数解 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，然后取一值，从而得到对应的值； （2）利用和的范围可判断，从而根据根的判别式的意义可判断根的情况； 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【解析】（1）解：根据题意得， 即， 当时，（答案不唯一）； （2）∵ ∴， 即， ∴原方程没有实数解． 【典例21】．已知关于的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等， （1）运用根的判别式、平方数的非负性进行判断求证即可； （2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，①当时，即方程两根相等；②当或者时，即是原方程的一个根；分析计算求出的三边长，计算得出的周长即可； 熟练掌握解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 【解析】（1）解：在关于的一元二次方程中，，，， ∴ ， ∵ ∴无论取何值，这个方程总有两个实数根； （2）解：∵等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根， ①当时，即方程两根相等， ∴， 解得：， ∴方程可化为：， 解得：， ∴， ∴三边为长分别为，，， ∵， ∴不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去； ②当或者时，即是原方程的一个根， 把代入得：， 解得：， ∴原方程可化为：， 解得：或， 即的两腰长为，底边长为， ∴的周长． 题型6：代数应用（与分式、不等式组等） 【典例22】．如果对于分式，存在两个数使分式没有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，理解分式有意义的条件是解题的关键． 由存在两个数使分式没有意义，则对于的判别式，据此列不等式求解即可． 【解析】解：∵分式，存在两个数使分式没有意义， ∴有两个解， ∴，解得：， ∴当时，存在两个实数使原式没有意义． 故答案为． 【典例23】．如果关于x的方程有正数解，且关于x的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和是（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的解及解法，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意，建立方程或不等式解题是关键，根据根的判别式可得．且，再根据分式方程的正数解可得，且，再进一步可得答案． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴．且． 解得．且． 解关于x的方程， 去分母，得， 解得． ∵关于x的方程有正数解， ∴且． 解得，且， ∴a的取值范围为．且．， ∴符合条件的整数a的值是，， 即符合条件的所有整数a的和为． 故选D 【典例24】．若关于x的一元二次方程有实数根，且不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和根的判别式，能求出a的取值范围是解此题的关键，特别注意．先求出不等式组中不等式的解集，根据不等式组的解集求出a的范围，再根据根的判别式得出，求出a的范围，最后取符合条件的整数a即可． 【解析】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 不等式组的解集为 解得：， 关于的一元二次方程有实数根， 且 解得且， 综上所述，且， 所有满足条件的整数的值是、、2，共4个， 故答案为：4． 题型7：分类讨论思想 【典例25】．满足方程的整数对有（    ） A．0对 B．2对 C．4对 D．6对 【答案】C 【分析】利用一元二次方程有解判断出的范围，根据是整数求出的值，进而求出的值，利用也是整数判断即可得出结论． 【解析】解：原方程可化为， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，，0，1，2，3， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴（由于为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， ∴或， 当时，原方程可化为， ∴或， ∴原方程的整数解为：或或或， 即：方程的整数对为、、，共四对， 故选：C． 【点睛】此题是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解． 【典例26】．关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先将分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可． 【解析】解:时，或 方程化为：① 时， 方程化为：② 当，即时， 方程①的根为： 方程②的根为： 分析可得时，即：时，有5个不相等的实根 时， 则 中，不符合题意，故有2个实数根 中，，均不符合题意 故时，有2个实数根 共有8个不相等的实数根 当，即时， 方程①的根为：， 方程②的根为：， 故共有4个不相等的实数根 当，即时， 方程没有实数根 综上，方程可能有个、个、个、个实数根 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨论是本题的解题关键． 题型8：新定义题 【典例27】．新概念运算：运算符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请根据上述规定判断关于x的二阶行列式：根的情况 ． 【答案】无解 【分析】根据题意列出方程，然后根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【解析】解：由题意可得： 即， 整理得：， ． ∴方程无解， 故答案为：无解． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【典例28】．新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是(    ) A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式进行计算，即可求解． 【解析】解：A.当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； B.当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； C.当“共同体数”为《，，》时，一元二次方程为 ∵， ∴有两个不相等实数根，故该选项符合题意； D.当“共同体数”为时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：C． 【典例29】．对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”、例如，，因为，所以是“快乐数”．则最大的“快乐数”是 ：若一个“快乐数”（、b、，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据“快乐数”的定义，可求最大的“快乐数”， 由，可得，由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，可得，即，进而可求，由，、b、，a、b、c为自然数，可求，然后作答即可． 【解析】解：由题意知，， ∴是最大的“快乐数”， ∵， ∴， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∵、b、，a、b、c为自然数， ∴， ∴k的值为， 故答案为：；． *题型9：根与系数的关系 【典例30】．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程有两根为，． 先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出与的值，判定即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 【典例31】．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论． 【解析】解：∵和是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：D． 【典例32】．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2024 B．2027 C．2032 D．2035 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系和一元二次方程的解的定义得到，，进而得到，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案． 【解析】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 【典例33】．已知一元二次方程 的两根为、 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟知“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．先根据题意得出与的值，代入变形后的代数式进行计算即可． 【解析】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 故答案为：54． 【典例34】．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【解析】解：、是一元二次方程的两个根，且， ， 原方程为， 解得：，， ， 故答案为：． 【典例35】．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【解析】由根与系数的关系得，， 所以， 则， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值． 【典例36】．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为，由此求解即可． 【解析】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴①③正确，②不正确； ∵ ， ∴④不正确， 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的关键． 一、单选题 1．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据得判断即可．本题考查了方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【解析】∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 2．下列方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由根的判别式判断一元二次方程根的情况，掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【解析】解：A.，方程有两个不相等的实数根，故不合题意； B.，方程没有实数根，故符合题意； C.，方程有两个不相等的实数根，故不合题意； D.，方程有两个相等的实数根，故不合题意． 故选：B． 3．若方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．本题有两个相等的实数根，即，代入数值计算求解即可． 【解析】解：∵该方程有两个相等实根， ∴， 解得； 故答案为：C． 4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（    ） A．4 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况． 根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，从而列出关于 a 的方程，解方程即可． 【解析】解：关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ， ． 故选：A． 5．问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　） A．嘉嘉的解是正确的 B．淇淇说得对，因为 C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D．由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 根据根的判别式求得，于是得到结论． 【解析】解：原方程可化为， ， ∴原方程无实数根， 故嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解， 故选：C． 6．已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 根据点的位置确定，然后判断的值的取值范围即可解题． 【解析】解：∵点在第二象限，点在轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A 7．已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个不相等的负实数根 C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根． 根据三角形三边关系得到，然后利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式求解即可． 【解析】解：在方程中， 可得：， ∵a、b、c是的三条边的长， ∴．，即， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根的和是，两根的积是， ∴方程有两个不等的负实根． 故选：B． 8．若实数a在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是根据数轴上a的值，来确定判别式的大；根据一元二次方程的根的判别式，并且结合数轴上a的大小，确定出判别式的大小，即可判断出方程的根的情况 ． 【解析】解：∵一元二次方程， ， 由数轴可得， ， ， ， 方程没有实数根． 故选：． 9．对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 【答案】B 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根，方程没有实数根． 根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可． 【解析】解：、将代入方程可得：， ∴本选项说法正确，不符合题意； 、若，则方程为， ∴， ∴程必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意； 、∵方程中，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意； 故选：． 10．关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个不相等的实数根； ②若，则方程没有实数根； ③若n是方程的一个根，则； ④若是方程的一个根，则是方程 的一个根． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识，证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或，即可判断③；由题意可得，即可判断④． 【解析】解：①对于方程， ， 若，则， 则， 即， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故选项正确； ②由①可知，， 若，则，即，则， ∴， ∴方程没有实数根；故②正确； ③若n是方程的一个根，则，即， 则或，即或，故选项错误； ④若是方程的一个根， 则， ∵， ∴两边同除以得， ， 即， ∴是方程的一个根． 故④正确； 综上可知，①②④正确， 故选：D 二、填空题 11．已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式为，代入数据求解即可 【解析】解：， ， ， 解得， 故答案为：． 12．关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 / / 且 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．解答此题的关键是得出关于k的不等式； （1）方程有实数根，是关于x的一元一次方程和元二次方程两种情况，需分类讨论；当为一元二次方程时，根据判别式的意义得到，建立关于k的不等式，然后解不等式即可； （2）方程无实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，，，求得k的值； （3）方程有两个不相等实数根，则根的判别式，建立关于k的方程，，求得k的值； （4）方程有两个不相等实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围，且二次项系数不为零． 【解析】（1）当，即时，方程化为， 解得； 当时， ， 解得且， 综上所述，k的取值范围为． 故答案为： ； （2） 当时， ，解得 故答案为：； （3） 当时， ， 解得． 故答案为：； （4） 当时， ， 解得且． 故答案为：且 ； 13．关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数，根据方程无实根可得，由一元二次方程的定义可得，再解不等式即可求解． 【解析】解：∵一元二次方程无实数根， ∴，且， 解得， 故答案为：． 14．已知一元二次方程有实数解，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据题意得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解析】解：一元二次方程有实数解， 且，即， 解得， 的取值范围为且． 故答案为：且． 15．若方程有实数解，则的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查方程的解，一元二次方程根的判别式． 分两种情况讨论：①若，，方程的解为全体实数，则；②若，运用根的判别式即可求解． 【解析】解：若，，则方程的解为全体实数，符合题意， ∴， 若，方程可变形为， ∵方程有实数解， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围为． 故答案为： 16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件，由二次项系数非零、被开方数非负及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 故答案为：且． 17．定义，如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“龙泉师一”方程．已知方程是“龙泉师一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论：①②③④，正确的是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，由方程有两个相等的实数根得到，再由，把表示出代入根的判别式中，变形后即可得到． 【解析】解：方程有两个相等实数根，且， ，， 将代入得：， ， 故答案为：②． 18．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分别将，代入，求出a的值即可．求出方程的两个解是解题的关键． 【解析】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． 三、解答题 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有实数根； (2)设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】（）利用根的判别式求出即可； （）把原方程因式分解，求出方程的两个根，，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题； 本题考查了根的判别式，解一元二次方程和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：原方程可变为， 则方程的两根为，， ∴直角三角形三边为，，； 若为直角三角形的斜边时，则： ， ∴（负值已舍去）； 若为直角三角形的斜边时，则： ， ∴（负值已舍去）； 综上所述，的值为或． 20．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式列关于m的不等式，然后解不等式即可； （2）求得最小整数，进而得方程，然后解方程即可． 【解析】（1）解：∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：由得最小整数， ∴方程为， 解得，． 21．如果方程是关于x的一元一次方程，试判断关于y的方程的根的情况，并说明理由． 【答案】关于y的方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得到，即，再把原方程整理得到，进而求出，据此可得结论． 【解析】解：关于y的方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于y的方程有两个不相等的实数根． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的根的判别式． （1）由方程有实数根得，可得关于的不等式，解之可得的范围； （2）由，求出的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把代入方程可求得；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由可求出，两种情况都根据三角形的三边关系检验． 【解析】（1）解：， 方程有实数根， 且， 且， 解得且； （2）解：根据题意得且， 解得且， 当时，方程的一根是3，把代入方程得， 解得， 此时方程的另一根为， ， 三角形存在； ； 当， ， 方程为． 解得， 一腰长为3， 不合题意， 综上，． 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可． 【解析】（1）解：证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 24．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，试写出一组满足条件的a、b的值； (2)当时，试判断方程根的情况． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)原方程没有实数解 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，然后取一值，从而得到对应的值； （2）利用和的范围可判断，从而根据根的判别式的意义可判断根的情况； 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【解析】（1）解：根据题意得， 即， 当时，（答案不唯一）； （2）∵ ∴， 即， ∴原方程没有实数解． 25．定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ． (1)若 ，求x的值； (2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键． （1）根据新运算得出，解之可得到答案； （2）的值小于10知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【解析】（1）根据运算定义，可得， 化简得   ， 解得∶ ； （2）根据运算定义，可得， ∴， ∴， ∴在方程 中， ， ∴关于x的方程 有两个不相等的实数根． 26．请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2 (3)或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【解析】（1）解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； （2）解：∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； （3）解：， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 27．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，0成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再由，可得关于k的方程，即可求解． 【解析】（1）解：根据题意得且， 解得且； （2）不存在． 根据题意得，， ∵0， ∴0，解得， ∵且， ∴不存在实数k，使0成立． 28．已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可； 【解析】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根； ， 解得：． （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可知： ，． ． ． ， ， ， 解得：，（舍去）． ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系；熟练运用根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 29．已知关于的一元次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)设的两个实数根为，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点． （1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再由（1）中的取值范围即可确定的值． 【解析】（1）解：该方程有两个实数根， ， ， ； （2）解：，， ， ， 即， ， ，， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $$