第09讲 综合分析法解相似三角形（三类知识点+六大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第09讲 综合分析法解相似三角形（六大题型） 学习目标 1、会证明相似三角形的对应线段成比例问题； 2、知道中间比代换的重要性； 3、综合分析法解相似三角形。 一． 分析法 解数学问题，若从命题的结论出发，根据已知的定义、公理和定理逐步寻找这个结论 成立的条件，直至这个结论成立的条件就是已知条件，这种方法叫作分析法。它的思维 形式是逆向推理。 对问题的分析过程不能代替解答过程的书写，通常是“倒退着分析”，书写解题过程时则 需反过来“顺着书写”。 二． 综合法 解数学问题，若从已知条件出发，运用已学过的公理、定义和定理逐步推理，直到推 出结论为止，这种方法叫作综合法。 用综合法进行推理时，语气是肯定的，且每一步推理都必须是正确的。书写时应先写 原因后写结论， 一般都用“因为……，所以……”来表述推理。在叙述过程中，当前面一 步陈述的结论，同时是后面一步陈述的条件时，常把后一步推理的条件省略不写。 三． 综合分析法 对于比较复杂的数学问题，利用分析法和综合法很难解决问题，常常将分析法和综合法结合起来使用。一方面从已知条件入手，看能推出什么结论；另一方面从结论着眼， 想需要找到什么条件，从而找到解题途径。这种方法称为分析综合法（或综合分析法）。 【即学即练1】 已知：如图，在中，点、分别在边、上，、相交于点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【即学即练2】 如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【即学即练3】 如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【即学即练4】 在中，点，分别在边，上，与交于，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【即学即练5】 已知：如图，在四边形中，为上一点，，． (1)求证：； (2)如果、、分别是、、的中点，连接、、、．求证：． 题型1：含平行线问题 【典例1】．如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，．    (1)求证：； (2)当时，求证：． 【典例2】．如图，在中，点、在边上，，，过点作交边于点． (1)求证：； (2)求证：． 题型2：在三角形中解相似三角形对应线段成比例问题 【典例3】．如图，中，，点D在边上，延长线于E，且．    (1)求证：； (2)求证：． 【典例4】．已知：如图，在和中，是的角平分线，，边与相交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【典例5】．如图，已知在中，是的中线，，点在边上，． (1)求证：； (2)求证：． 【典例6】．已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 【典例7】．如图，已知的顶点E在的边上，与相交于点F，，．    (1)求证：； (2)求证：． 题型3：在特殊平行四边形中解相似三角形对应线段成比例问题 【典例8】．如图，正方形中，对角线相交于点O，点P在上，连接，延长交于点Q，过点P作分别交于点E、F． (1)求证：； (2)求证：． 【典例9】．已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点G，如果，求证：． 【典例10】．已知：如图，菱形，点E是的中点，点F，连接、、，交于点G，且． (1)求证： (2)求证：． 题型4：在梯形中解相似三角形 【典例11】．如图，等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，且．    (1)求证： ； (2)求证： ． 【典例12】．已知：如图，，，，，点、分别为垂足． （1）求证：； （2）连结，如果，求证：． 【典例13】．如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求证；． 【典例14】．如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接交边于点． (1)如果，求证： (2)如果，的面积为1，求四边形的面积． 【典例15】．如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证：； (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 【典例16】．已知：如图，在等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 题型5：含双平方关系的对应线段成比例问题 【典例17】．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【典例18】．如图，在中，，，垂足为点是的中点，的延长线与的延长线交于点．    (1)求证：； (2)求证：． 题型6：数字与对应线段复合式成比例问题 【典例19】．已知：如图，在梯形中，，对角线与交于点，点是边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证： 【典例20】．已知：如图，在中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点．    (1)求证：． (2)当点为的中点时，求证：． 【典例21】．如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 一、解答题 1．如图，、分别是的边、上的点，且．求证：．    2．如图，在中，，，垂足为点，是上一点，联结交于点，且．    (1)求证：； (2)作，垂足为点，延长交于点，求证：． 3．如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 4．如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 5．已知：如图，在菱形中，点E是边上的任意一点（不与点D、C重合），交对角线于F，过点E作交于点G． (1)求证：； (2)当时，求证：． 6．已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点E和点F，且，连接． (1)求证：； (2)连接和，求证：． 7．已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 8．如图，已知在中，，点D在边上，，，E，F分别是垂足． (1)求证：； (2)连接，求证：． 9．如图，已知在中，点E、F在边上． (1)如果是等边三角形，且，求证：； (2)如果，，求证：． 10．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 11．已知：如图，在菱形中，点分别在边上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．    (1)求证：． (2)如果，求证：． 12．已知：如图，在中，平分，点D、E分别在边上，线段与相交于点F，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 13．已知，如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，且．    (1)求证：； (2)点是边上一点，连接，与相交于点，如果，求证：． 14．如图，已知四边形是菱形，两对角线和相交于点O，过点D作，垂足为点H，和交于点E，联结并延长交边于点G．求证：    (1)； (2)． 15．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 16．已知，在中，、是的两条高，、交于点．求证：    (1)； (2)． 17．如图，在中，，，点D是斜边的中点，点E是边上的一点，，交射线于点F．    (1)求证：； (2)求证：． 18．如图，在中，点、分别在边、上，点是上一点且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 19．已知等腰中，，点D、E是边、上的点，且，联结、，交点为F．    (1)若，求的值． (2)若，求证：． 20．如图，已知菱形中，点E在边延长线上，联结交边于点F，联结，过点F作交于点G． (1)求证：； (2)联结交于点O，联结，当时，求证：． 21．如图，在等腰中，，分别是上的点，满足 (1)若，求证； (2)若，，求的长； (3)过作平行线交延长线于，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 综合分析法解相似三角形（六大题型） 学习目标 1、会证明相似三角形的对应线段成比例问题； 2、知道中间比代换的重要性； 3、综合分析法解相似三角形。 一． 分析法 解数学问题，若从命题的结论出发，根据已知的定义、公理和定理逐步寻找这个结论 成立的条件，直至这个结论成立的条件就是已知条件，这种方法叫作分析法。它的思维 形式是逆向推理。 对问题的分析过程不能代替解答过程的书写，通常是“倒退着分析”，书写解题过程时则 需反过来“顺着书写”。 二． 综合法 解数学问题，若从已知条件出发，运用已学过的公理、定义和定理逐步推理，直到推 出结论为止，这种方法叫作综合法。 用综合法进行推理时，语气是肯定的，且每一步推理都必须是正确的。书写时应先写 原因后写结论， 一般都用“因为……，所以……”来表述推理。在叙述过程中，当前面一 步陈述的结论，同时是后面一步陈述的条件时，常把后一步推理的条件省略不写。 三． 综合分析法 对于比较复杂的数学问题，利用分析法和综合法很难解决问题，常常将分析法和综合法结合起来使用。一方面从已知条件入手，看能推出什么结论；另一方面从结论着眼， 想需要找到什么条件，从而找到解题途径。这种方法称为分析综合法（或综合分析法）。 【即学即练1】 已知：如图，在中，点、分别在边、上，、相交于点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）根据可得，，则，，根据相似三角形的性质结合题意可推出，由等角的补角相等得，以此即可证明； （2）由（1）可知，由相似三角形的性质得，，易证明，由相似三角形的性质得，以此即可求解． 【解析】（1）， ， ， ， ，， ， ， ，即， ； （2）， ，， ， ， ， ， ． 【即学即练2】如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线性质，得，结合，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到证明即可． （2）根据，结合得，只需证明即，故证明即可． 本题考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【即学即练3】如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键． （1）首先证明出，得到，然后结合，即可证明出； （2）由，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【即学即练4】在中，点，分别在边，上，与交于，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)26 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练运用相似三角形的性质是解题关键． （1）证明，由相似三角形的性质即可获得答案； （2）过点作于点，交于点，结合，可设，，证明，由相似三角的性质可得，再证明，结合相似三角的性质即可获得答案． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图，过点作于点，交于点， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【即学即练5】已知：如图，在四边形中，为上一点，，． (1)求证：； (2)如果、、分别是、、的中点，连接、、、．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将变形为，由，根据三角形的内角和定理推导出，即可证明； （2）根据三角形的中位线定理得，，，，，可证明四边形是平行四形，则，再证明，得，所以． 【解析】（1）证明：如图1， ， ， ， ， ，， ， ． （2）如图2，、、分别是、、的中点， ，，，，， ，， 四边形是平行四形， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线边形的判定等知识，证明四边形是平行四形及是解题的关键． 题型1：含平行线问题 【典例1】．如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，．    (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等边对等角，得，由平行，得，进而，于是； （2）由，得，可证得，进而证得，于是，可证，从而，得． 【解析】（1）（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，平行线分线段成比例定理，平行线的性质；运用相似三角形得到比例线段是解题的关键． 【典例2】．如图，在中，点、在边上，，，过点作交边于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理求出，再由比例性质及等量代换求解即可． 【解析】（1）证明： ， ， 又， ∴； （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ， ． 题型2：在三角形中解相似三角形对应线段成比例问题 【典例3】．如图，中，，点D在边上，延长线于E，且．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点A作于点F，如图所示．由等腰三角形三线合一，得．可证，进一步证得． （2）由，得，进一步证得，于是，可得，等量代换即可得证结论． 【解析】（1）过点A作于点F，如图所示．    ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴ ∴． （2）∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质；由三角形全等、相似得出线段之间的数量关系是解题的关键． 【典例4】．已知：如图，在和中，是的角平分线，，边与相交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，所以； （2）先由，得，则，而，则，得，由变形得，则，所以． 【解析】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明及是解题的关键． 【典例5】．如图，已知在中，是的中线，，点在边上，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质， （1）根据，得到，进而得到，再结合，从而可得结论； （2）先证明，可得，可得，再证明，可得，可得，从而可得答案． 熟练的证明三角形相似是解本题的关键． 【解析】（1）证明：， ， ， 又， ， ； （2）， ． ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ， ， 由①②可得，． 【典例6】．已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明详见解析； (2)证明详见解析． 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据，则，根据，，则，再根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的性质，则，根据D是中点，则，再根据，相似三角形的判定即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵点D是的中点， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【典例7】．如图，已知的顶点E在的边上，与相交于点F，，．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质： （1）利用两个角相等证明，得，即可证明结论； （2）首先证明，得，，再证明，得，等量代换即可． 熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵，（公共角）， ， ∴， （2），， ， ， ， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 题型3：在特殊平行四边形中解相似三角形对应线段成比例问题 【典例8】．如图，正方形中，对角线相交于点O，点P在上，连接，延长交于点Q，过点P作分别交于点E、F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得，，从而得出．再根据，即得出，从而可证，进而即可证明； （2）由（1）可知．从而由三角形外角的性质可证．再根据正方形的性质可得，即可证，得出，即． 【解析】（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）由（1）可知． ∵，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形外角的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 【典例9】．已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点G，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明，可得，结合，可得四边形是平行四边形，从而可得结论， （2）如图，连接交于点G，交于，证明梯形是等腰梯形，证明，结合，可得，再利用相似三角形的性质可得结论． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵的平分线交延长线于点E，交于点F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）如图，连接交于点G，交于， ∵在梯形中，，， ∴梯形是等腰梯形， ∴，， ∵菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握基本几何图形的性质是解本题的关键． 【典例10】．已知：如图，菱形，点E是的中点，点F，连接、、，交于点G，且． (1)求证： (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质和直角三角形的性质得到，即可得到，结论可得； （2）先证，则，再证，则可得，由，结论得证． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵中，点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，即． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型4：在梯形中解相似三角形 【典例11】．如图，等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，且．    (1)求证： ； (2)求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）先证明，可得，从而得到，进而证明，可得，再由，即可求证． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等腰梯形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【典例12】．已知：如图，，，，，点、分别为垂足． （1）求证：； （2）连结，如果，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）先证与相似，再根据相似三角形对应线段成比例再进行证明，问题得证； （2）先证，再证，最后根据相似三角形对应线段成比例进行证明，问题得证． 【解析】证明（1） ∴， 又∵AE、DF分别是与对应边上的高， （2）如图，连结EF ，， ∴， ， ∴ ， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【典例13】．如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求证；． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的判定、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，从而推出，得到，即可得证； （2）证明，得出，证明，再由相似三角形的性质即可得解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例14】．如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接交边于点． (1)如果，求证： (2)如果，的面积为1，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质可得出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论； （2）证明，得出，求出，，则可得出答案． 【解析】（1）证明：和都是等边三角形， ，， 又， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ． 【典例15】．如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证：； (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定是解题的关键． （1）由及可得，则有；再由平行条件得，则可证明； （2）由及，可得，则可得，进而得；再证明即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）证明：∵ ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． 【典例16】．已知：如图，在等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． (1)先证明，得到；再证明，得到，等量代换即可． (2)先，得到；再证明，得到，等量代换即可． 【解析】（1）∵，， ∴， ∴， ∴； ∵等腰梯形中，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． （2）∵等腰梯形中，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵点是边的中点， ∴． ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型5：含双平方关系的对应线段成比例问题 【典例17】．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据平行得内错角相等和对应线段成比例，又因为平分得，有，代换即可得出结论． （2）根据平行得同位角相等和对应线段成比例，代入化解得，转化为，再利用夹角相等得出，进一步得到，根据角度相等得即可得到答案． 【解析】（1）证明：∵， ∴，，， 又∵平分， ∴， ∴， 则， ∴， 故． （2）∵， ∴，， 又∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用平行线的同位角、内错角相等，对应线段成比例性质，结合角平分线得出角度相等，等量代换有三角形相似，熟练掌握线段之间的等量代换和相似的代换是解题的关键． 【典例18】．如图，在中，，，垂足为点是的中点，的延长线与的延长线交于点．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半得出，可得进而证明，即可证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）证明可得，由（1）可得，进而即可得证． 【解析】（1）证明：∵，是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型6：数字与对应线段复合式成比例问题 【典例19】．已知：如图，在梯形中，，对角线与交于点，点是边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段中点得出，再由相似三角形的判定和性质证明即可； （2）根据相似三角形的判定和性质得出，再由（1）得，利用三角形外角的性质得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，继续利用相似三角形的判定得出，再由其性质即可证明． 【解析】（1）证明：∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． ∴即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义、平行线的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 【典例20】．已知：如图，在中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点．    (1)求证：． (2)当点为的中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以； （2）作交的延长线于，易得从而可证，得到，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得然后利用等线段代换即可得到． 【解析】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）如图，作交的延长线于，   ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 【典例21】．如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 一、解答题 1．如图，、分别是的边、上的点，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定：两个角对应相等的两个三角形相似，由相似三角形的性质即可得证． 【解析】证明：， ， ， 即 【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质， 熟练掌握两角对应相等的两三角形相似、相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 2．如图，在中，，，垂足为点，是上一点，联结交于点，且．    (1)求证：； (2)作，垂足为点，延长交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质． （1）设，则，，先利用勾股定理可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证出，根据相似三角形的性质即可得证； （2）分别证出、、，再根据相似三角形的性质可得、、、，从而可得，，据此即可得证． 【解析】（1）证明：， ， 设，则，， 在中，， 在中，， ， 又， ， ， 即． （2）证明：由题意，补全图形如下：    由（1）已证：， 又， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ． 3．如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【解析】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 4．如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【解析】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 5．已知：如图，在菱形中，点E是边上的任意一点（不与点D、C重合），交对角线于F，过点E作交于点G． (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判断，菱形的性质： （1）证明，得到，证明得到，则可得，即； （2）如图所示，连接交于O，由菱形的性质得到，，则，证明，进而证明,即可得到，即． 【解析】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∴． 6．已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点E和点F，且，连接． (1)求证：； (2)连接和，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，根据梯形中位线定理得出是解题关键． （1）连接交于点O，得是梯形的中位线，进而可得，再证明，由相似三角形性质即可得出结论， （2）根据垂直平分即可得出结论． 【解析】（1）证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， （2）由（1）得，， ∴， 又∵， ∴ 7．已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， 8．如图，已知在中，，点D在边上，，，E，F分别是垂足． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题． （1）证明，得到，即可解决问题； （2）如图，设与的交点为，先证明，得，则，进而可证明，得到，这是解决该问题的关键性结论；证明，结合，得到，列出比例式即可解决问题． 解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答． 【解析】（1）如图，∵，， ∴，而， ∴， ∴， ∴； （2）如图，设与的交点为， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 又∵， ∴， ∴；而， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图，已知在中，点E、F在边上． (1)如果是等边三角形，且，求证：； (2)如果，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）先根据等边三角形的性质得，进而可得出，根据，得，再根据三角形的外角定理可得，由此得，据此可得出结论； （2）过点A作于H，先由得，进而可判定，从而，进而得，再证，由此可判定相似，从而得，然后根据三角形的面积公式得，，则，据此可得出结论． 【解析】（1）解：证明：是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）过点A作于H，如图2所示： ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 10．如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键． （1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可； （2）先证≌，得出，再证∽，得出成比例的线段即可． 【解析】（1）证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． （2）证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， ∴． 11．已知：如图，在菱形中，点分别在边上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．    (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由菱形的性质可得，，，证明，得到，由平行的性质可得，从而得到，再由即可得证； （2）由得，由菱形的性质可得，， 从而得到，即，得到，进而得到，由全等的性质可得，即可得证． 【解析】（1）证明：四边形是菱形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．已知：如图，在中，平分，点D、E分别在边上，线段与相交于点F，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明得到即可证得结论； （2）根据等腰三角形的判定与性质得到，，进而利用三角形的内角和定理求得，证明得到即可证得结论． 【解析】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，又， ∴，又， ∴， 又， ∴， ∴即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 13．已知，如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，且．    (1)求证：； (2)点是边上一点，连接，与相交于点，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明可得，进而证明结论； （2）先证明可得，进而得到；再由可得，即，最后代入即可证明结论． 【解析】（1）证明：，， ， 又， ， ， ， ，即． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确证得是解答本题的关键． 14．如图，已知四边形是菱形，两对角线和相交于点O，过点D作，垂足为点H，和交于点E，联结并延长交边于点G．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，再用等角的余角相等判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而判断出，得出． 【解析】（1）证明：是菱形的对角线， ， 点是菱形的两条对角线的交点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ∵， ∴； （2）证明：由（1）知，， 是菱形的对角线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键． 15．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【解析】（1）证明：， ， 在和中，， ， ． （2）证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 16．已知，在中，、是的两条高，、交于点．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）根据题意，证明，得到，得出结论； （2）根据题意，证明，得到，再证明，得到结论． 【解析】（1）证明：，， ， ， 即． （2）证明：，， ． ，即， 又， ， ． 【点睛】考查“双高型”模型的建立，相似三角形的判定与性质的应用，其中找到合适的相似条件是解题的关键． 17．如图，在中，，，点D是斜边的中点，点E是边上的一点，，交射线于点F．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，得，则，因为，所以，则； （2）由，且，推导出，由，证明，得，据此即可证明结论． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 18．如图，在中，点、分别在边、上，点是上一点且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据结合已知条件，直接证明根据相似三角形的性质即可得证； （2）证明，得出，根据（1）的结论得出，根据公共角，证明，即可得证． 【解析】（1）∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 19．已知等腰中，，点D、E是边、上的点，且，联结、，交点为F．    (1)若，求的值． (2)若，求证：． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】（1）作，交延长线于G，证明，根据相似三角形的性质得出，则，进而得出； （2）根据已知条件证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质以及，即可得证． 【解析】（1）解：作，交延长线于G，        ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20．如图，已知菱形中，点E在边延长线上，联结交边于点F，联结，过点F作交于点G． (1)求证：； (2)联结交于点O，联结，当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先证明，再证明即可解决问题． （2）证明，可得，即可解决问题． 【解析】（1）∵四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴，同理 ∴ ∵ ∴ （2） ∵四边形是菱形 ∴垂直平分 ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∵， ∴ 【点睛】本题考查菱形的性质和判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型． 21．如图，在等腰中，，分别是上的点，满足 (1)若，求证； (2)若，，求的长； (3)过作平行线交延长线于，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（）先证明，得到，再由得到，根据三线合一即可求证； （）证明即可求解； （）由得到，由得到，，代入转化即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 即， ∴； （3）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 62 页 学科网（北京）股份有限公司 $$