第07讲 相似三角形的判定（第2课时）（三类知识点+九大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第07讲 相似三角形的判定（第2课时）（九大题型） 学习目标 1、掌握相似三角形的判定定理3及证明； 2、判断网格中的相似三角形； 3、了解直角三角形相似的判定定理；掌握相似三角形判定定理综合。 1． 相似三角形判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 在△ABC与△A₁B₁C₁中，如果 ,那么△ABC 与△A₁B₁C₁相似吗?为什么? 【方法规律】要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2． 网格中相似三角形的判定 例 如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形？ 解：由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝. 同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2； 同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，； 同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3； 同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，. ∵＝＝＝， ∴图②中的三角形与△ABC相似． 【方法规律】(1)各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似；(2)判定三边是否对应成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似． 3.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 如图24-39,在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠C=∠C₁=90°,.,△ABC与△A1B1C1相似吗?为什么? 【即学即练1】下列条件，能使和相似的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 【即学即练3】如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加 即可（只需添加一个条件）． 【即学即练4】如图，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似．请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是 ． 【即学即练5】如图，和的顶点都在正方形网格的格点上，则与相似吗？请说明理由． 题型1：三边对应成比例证两三角形相似 【典例1】．如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 【典例2】．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 【典例3】．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，， D．，，，，， 题型2：网格中的相似三角形判定 【典例4】．如图，与相似吗？为什么？ 【典例5】．如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．无法确定 【典例6】．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与相似的是（ ）． A．B． C． D． 【典例7】．如图，在由相同的小正方形组成的的网格中，点、、、、、、都在小正方形顶点上，则图中能用字母表示（不再添加辅助线）的三角形中，与相似的三角形的个数是（　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型3：直角三角形中相似三角形的判定 【典例8】．在中，．在中，，则和相似吗？为什么？ 【典例9】．在与中，，，，，，，试问与相似吗？请说明理由. 【典例10】．如图，已知．求证：．    【典例11】．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 【典例12】．已知：和中，、分别为与的高线，且．求证：∽． 题型4：相似三角形的判定综合辨析 【典例13】．如图，在与中，、分别为边、上的中线，且．求证：∽．      【典例14】．下列命题中正确的个数是（    ） （1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似 （2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 （3）两个等边三角形一定相似 （4）任意两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例15】．如图，，添加一个条件：① ；② ；③；④．其中能判定 的是（   ）．    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【典例16】．如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（    ） A． B． C．是的中点 D． 【典例17】．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，，那么有（    ）    A． B． C． D． 【典例18】．如图，下列条件能使△BPE和△CPD相似的有（   ） ①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型5：尺规作图有关的相似三角形判定 【典例19】．如图，在中，平分，按如下步骤作图：分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，分别交于两点M，N；作直线分别与，交于点E，F，交于点O，连按，．根据以上作图，一定可以推得的结论是（    ） A．是的中位线 B．点O为的重心 C． D． 【典例20】．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（    ） A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA C． D． 【典例21】．请用直尺，圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知在中，． (1) 在的延长线上有一点，连接，使得（尺规作图）； (2)在（1）的情况下，求证： ． 题型6：“手拉手”等特殊模型中的相似三角形判定 【典例22】．如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（　　） A．甲与丙相似，乙与丁相似 B．甲与丙相似，乙与丁不相似 C．甲与丙不相似，乙与丁相似 D．甲与丙不相似，乙与丁不相似 【典例23】．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是 ． 题型7：添加一个条件使三角形相似 【典例24】．如图，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似．请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是 ． 【典例25】．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 种情况． 题型8：相似三角形的对数 【典例26】．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有 对． 【典例27】．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 题型9：相似三角形的判定—分类讨论动点问题 【典例28】．如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t. （1）用含t的代数式表示：________， （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少. 【典例29】．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F． （1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由； （2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由． 一、单选题 1．△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是(　　) A．AB=c,AC=b,BC=a,DE=,EF=,DF= B．AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=1 C．AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6 D．AB=,AC=,BC=,DE=,EF=3,DF=3 2．已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A． B． C． D． 3．下列四个命题中，真命题的个数是（　　） （1）所有的正方形都相似； （2）所有的等腰三角形都相似； （3）所有的等边三角形都相似； （4）所有的矩形都相似． A．1 B．2 C．3 D．4 4．根据下列各组条件，不能判断和相似的是（ ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 5．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 6．下列条件：①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠A′=45°，A′B′=16，A′C′=20；②∠A=47°，AB=1.5，AC=2，∠B′=47°，A′B′=2.8，B′C′=2.1；③∠A=47°，AB=2，AC=3，∠B′=47°，A′B′=4，B′C′=6，其中能判定△ABC与△A′B′C′相似的有 (    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   10．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为(        )    A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．的边长分别为的边长分别，则与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似 12．如图，若，则． 13．直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ． 14．如图，在四边形ABCD中，DEBC交AB于点E，点F在AB上，请你再添加一个条件 (不再添加辅助线及其他字母)，使△FCB∽△ADE． 15．如图D，E两点分别在线段和上，在下列四个条件中：①；②；③；④．其中能使与相似的是 ．(填序号) 16．如图，正方形的边长为8，，，线段的两端在、上滑动，当 时，与相似. 17．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 18．等腰被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰的顶角的度数是 ． 三、解答题 19．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 20．如图，在中，，，，求证：．    21．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE． 22．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，求证：BD•CD＝AC•CE． 23．如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 24．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：    (1)； (2)． 25．如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且． 求证： (1)； (2)． 26．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ADP∽△BDF； （3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 相似三角形的判定（第2课时）（九大题型） 学习目标 1、掌握相似三角形的判定定理3及证明； 2、判断网格中的相似三角形； 3、了解直角三角形相似的判定定理；掌握相似三角形判定定理综合。 1． 相似三角形判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 在△ABC与△A₁B₁C₁中，如果 ,那么△ABC 与△A₁B₁C₁相似吗?为什么? 【方法规律】要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2． 网格中相似三角形的判定 例 如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形？ 解：由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝. 同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2； 同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，； 同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3； 同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，. ∵＝＝＝， ∴图②中的三角形与△ABC相似． 【方法规律】(1)各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似；(2)判定三边是否对应成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似． 3.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 如图24-39,在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠C=∠C₁=90°,.,△ABC与△A1B1C1相似吗?为什么? 【即学即练1】下列条件，能使和相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断． 【解析】解：A、，不能使和△相似，错误； B、，能使和△相似，正确； C、，不能使和△相似，错误； D、，不能使和△相似，错误； 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角． 【即学即练2】如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 【答案】（1）相似，因为三边成比例；（2）相似，因为两边成比例，夹角相等． 【分析】（1）先标字母，再按大小顺序对应求出两边的比值，根据相似三角形的判定定理进行判断即可； （2）先求两对应边的比值，可得两边对应成比例，夹角为对顶角，根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【解析】解：（1）相似，理由如下： 标字母如图， ∵，，， ∴， ∴∽； （2）相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵∠ACB=∠ECD， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【即学即练3】如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加 即可（只需添加一个条件）． 【答案】∠ADE＝∠C 【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题． 【解析】∵∠A是公共角， 如果∠ADE=∠C， ∴△ADE∽△ABC， 故答案为∠ADE=∠C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①有两组角对应相等的三角形相似，②三边对应成比例的两个三角形相似，③两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【即学即练4】如图，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似．请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是 ． 【答案】∠A=∠CBD（答案不唯一） 【分析】利用相似三角形的判定可求解． 【解析】解：添加∠A=∠CBD， ∵∠A=∠CBA，∠ACB=∠BDC=Rt∠， ∴△ACB∽△BDC， 故答案为：∠A=∠CBA（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【即学即练5】如图，和的顶点都在正方形网格的格点上，则与相似吗？请说明理由． 【答案】.理由见解析 【分析】利用勾股定理求出网格中三角形的边长，再证明两个三角形三边对应成比例即可得到结论. 【解析】解：相似，理由如下： 设网格中小正方形的边长均为1． 根据勾股定理，得， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键. 题型1：三边对应成比例证两三角形相似 【典例1】．如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 【答案】（1）相似，因为三边成比例；（2）相似，因为两边成比例，夹角相等． 【分析】（1）先标字母，再按大小顺序对应求出两边的比值，根据相似三角形的判定定理进行判断即可； （2）先求两对应边的比值，可得两边对应成比例，夹角为对顶角，根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【解析】解：（1）相似，理由如下： 标字母如图， ∵，，， ∴， ∴∽； （2）相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵∠ACB=∠ECD， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【典例2】．如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 【答案】（1）不相似，理由见解析；（2）相似，理由见解析． 【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【解析】解：（1）不相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴与不相似； （2）相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【典例3】．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，， D．，，，，， 【答案】D 【分析】依据选项提供条件，选择对应的方法进行判断即可． 【解析】解：A、∵,，， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、∵，，，，，， ∴ ∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，， ∴， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、三边对应比例不相等，故两个三角形不相似，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 题型2：网格中的相似三角形判定 【典例4】．如图，与相似吗？为什么？ 【答案】相似，理由见解析 【分析】根据网格求出三角形的边长，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可得出结论． 【解析】解：△ABC与△EFG相似，理由是： 设小正方形的边长为1，则AC＝5，AB＝，BC＝，EF＝2，GF＝，EG＝， ∵，， ∴， ∴△ABC∽△EFG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：三组对应边的比相等的两个三角形相似． 【典例5】．如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查的是相似三角形的判定，掌握其判定定理是解决此题的关键． 根据两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可解答． 【解析】解：设网格中每个小正方形的边长为1， ①中的三角形的各边长分别为2，，， ③中的三角形的各边长分别为，2，， ， 这两个三角形的三边对应成比例 ①中的三角形和③中的三角形相似， 故选C. 【典例6】．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的3三角形（阴影部分）与相似的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【解析】解：∵小正方形的边长为1， ∴在中，， A．三边各为：3，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似； B．三边各为：1，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似； C．三边各为：1，，与中的三边对应成比例，故两三角形相似； D．三边各为：2，，与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似． 故选：C． 【典例7】．如图，在由相同的小正方形组成的的网格中，点、、、、、、都在小正方形顶点上，则图中能用字母表示（不再添加辅助线）的三角形中，与相似的三角形的个数是（　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，且，根据相似三角形的判定进行判断，即可求解． 【解析】解：根据图形可得，， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ 综上所述，与相似的三角形的个数是3个， 故选：B． 题型3：直角三角形中相似三角形的判定 【典例8】．在中，．在中，，则和相似吗？为什么？ 【答案】．理由见解析． 【分析】直接利用直角三角形的性质得出AC、DE的长，再利用相似三角形的判定方法得出答案． 【解析】解：相似，理由如下： 在中，，由勾股定理得． 在中，，由勾股定理得． ∴有， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 【典例9】．在与中，，，，，，，试问与相似吗？请说明理由. 【答案】相似.理由见解析. 【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似；证. 【解析】相似.理由如下： ∵， ，， ∴. ∴. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【典例10】．如图，已知．求证：．    【答案】 【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到； 【解析】证明：， 在中， ， , 在中， 在△ABC和△DEF中，三边对应成比例, ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三边对应成比例的两个三角形相似，熟悉运用相似三角形的判定与性质即可进行证明． 【典例11】．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 【答案】见解析 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等进行证明即可． 【解析】证明：设， 在正方形ABCD中， ， ，， ， ∽． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，要熟练掌握，根据已知条件灵活运用． 【典例12】．已知：和中，、分别为与的高线，且．求证：∽． 【答案】见解析. 【分析】在Rt△ABD与Rt△A'B'D'中，由直角边和斜边对应成比例得到△ABD∽△A'B'D'，所以∠B=∠B'，再根据两组对边成比例且夹角相等，判定△ABC∽△A'B'C'. 【解析】证明：在Rt△ABD与Rt△A'B'D'中， ∵， ∴△ABD∽△A'B'D'， ∴， 又， ∴∽． 【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，熟练掌握判定定理是解决此类问题的关键. 题型4：相似三角形的判定综合辨析 【典例13】．如图，在与中，、分别为边、上的中线，且．求证：∽．      【答案】见解析. 【分析】根据可得，则可证明∽，即可推出，再根据，则可证明∽． 【解析】解：∵，、分别为边、上的中线， ∴， ∴∽ ∴． 又∵， ∴∽． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 【典例14】．下列命题中正确的个数是（    ） （1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似 （2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 （3）两个等边三角形一定相似 （4）任意两个矩形一定相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理对前三个命题进行判定，根据相似图形的定义对第四个命题进行判定即可． 【解析】解：（1）有一个锐角相等，再加上一个直角相等可以利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故（1）正确； （2）斜边和一直角边对应成比例满足直角三角形有一直角边和斜边对应成比例的两直角三角形相似；故（2）正确； （3）两个等边三角形满足三边对应成比例，能判定相似，故（3）正确； （4）任意的两个矩形满足对应角相等但不一定满足对应边的比相等，故不一定相似，故（4）错误； 故正确命题有（1）（2）（3）一共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及相似多边形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理及相似多边形的定义． 【典例15】．如图，，添加一个条件：① ；② ；③；④．其中能判定 的是（   ）．    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理“两角分别对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”， 先根据，得出，再由相似三角形的判定定理对各项逐一判断即可． 【解析】解：，， ①添加，则，本项符合题意； ②添加，则，本项符合题意； ③添加；无法判断，本项不合题意； ④添加；则，本项符合题意； 故选：B． 【典例16】．如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（    ） A． B． C．是的中点 D． 【答案】C 【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可． 【解析】A．，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意； B.，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，从而有∽，不合题意； C．P是BC的中点，无法判断与相似，符合题意； D． ，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，则∽，不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键． 【典例17】．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，，那么有（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定． 【解析】解：∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质． 【典例18】．如图，下列条件能使△BPE和△CPD相似的有（   ） ①∠B=∠C；②；③∠ADB=∠AEC；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据“两角相等的两个三角形相似”判断①；根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”证明，可得，进而判断④，即可说明②；根据平角定义得，再结合“两角相等的两个三角形相似”判断③即可；最后根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”判断⑤即可． 【解析】∵，， ∴， 所以①符合题意； ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以④符合题意，②不符合题意； ∵， ∴． ∵， ∴， 所以③符合题意； ∵，， ∴， 所以⑤符合题意． 则符合题意的有4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 题型5：尺规作图有关的相似三角形判定 【典例19】．如图，在中，平分，按如下步骤作图：分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，分别交于两点M，N；作直线分别与，交于点E，F，交于点O，连按，．根据以上作图，一定可以推得的结论是（    ） A．是的中位线 B．点O为的重心 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定、平行线分线段成比例等知识，本题中根据作图方法判断出“是线段的垂直平分线”是解题的关键． 根据作法得到是线段的垂直平分线，则，所以，再结合可得，则，同理，所以即，据此即可解答． 【解析】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，同理：， ∴， ∴，即D选项一定成立，符合题意； ∵，但点E不一定是的中点，则不一定是的中位线，故A选项不符合题意； 平分，二重心是三角形三边中线的交点，故B选项不符合题意； 不能说明点F是的中点,故C选项不符合题意． 故选D． 【典例20】．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是（    ） A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA C． D． 【答案】D 【分析】根据作图可知是的角平分线，，根据证明，可得，，根据面积法可得，可得即可判断D选项正确，其他选项无法证明． 【解析】解：根据作图可知是的角平分线，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． A,B,C选项无法证明． 故选：D． 【点睛】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键． 【典例21】．请用直尺，圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知在中，． (1) 在的延长线上有一点，连接，使得（尺规作图）； (2)在（1）的情况下，求证： ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的右侧作，连接交的延长线上有点即可； （2）根据已知条件得到即可证明． 【解析】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长度为半径画弧，两弧相交于点，连接交的延长线上有点，如图，则． （2） 证明：如上图， ∵，， ∴， 在和中，，， ∴． 题型6：“手拉手”等特殊模型中的相似三角形判定 【典例22】．如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（　　） A．甲与丙相似，乙与丁相似 B．甲与丙相似，乙与丁不相似 C．甲与丙不相似，乙与丁相似 D．甲与丙不相似，乙与丁不相似 【答案】A 【分析】利用已知条件得到即，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD． 【解析】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3， 即， 而∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∵， ∴， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC∽△BOD． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 【典例23】．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是 ． 【答案】①② 【分析】由两个等边三角形容易证明△DAC≌△BAE，则可得①正确，同时有∠ADC＝∠ABE，利用三角形内角和即可得②正确，再由AB≠AC及AC=AE，得AB≠AE，从而可得∠ABE≠∠AEB，则易得∠DBO≠∠OCE，从而得③不正确． 【解析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形， ∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC＋60°， ∠BAE＝∠BAC＋60°， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△DAC≌△BAE， ∴BE＝DC． ∴∠ADC＝∠ABE， ∵∠BOD＋∠BDO＋∠DBO＝180°， ∴∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBO ＝180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°＋∠ABE）＝60°， ∵△DAC≌△BAE， ∴∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD， ∵∠DBO＝∠ABD＋∠ABE＝60°＋∠ABE，∠OCE＝∠ACE＋∠ACO＝60°＋∠ACD， ∵AE=AC， ∴AB≠AE， ∴∠ABE≠∠AEB， ∵∠AEB＝∠ACD， ∴∠ABE≠∠ACD， ∴∠DBO≠∠OCE， ∴两个三角形的最大角不相等， ∴△BOD不相似于△COE； 即③不正确； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，说明③不正确是本题的难点，许多学生无从下手． 题型7：添加一个条件使三角形相似 【典例24】．如图，∠ACB=∠BDC=Rt∠，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似．请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是 ． 【答案】∠A=∠CBD（答案不唯一） 【分析】利用相似三角形的判定可求解． 【解析】解：添加∠A=∠CBD， ∵∠A=∠CBA，∠ACB=∠BDC=Rt∠， ∴△ACB∽△BDC， 故答案为：∠A=∠CBA（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【典例25】．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 种情况． 【答案】3 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断． 【解析】①当∠ACP=∠B， ∵∠A=∠A， ∴， ∴①符合题意； ②当∠APC=∠ACB， ∵∠A=∠A， ∴， ∴②符合题意； ③当， 即， ∵∠A=∠A ∴， ∴③符合题意； ④∵当，即， 而∠PAC=∠CAB， 以上条件不能判断△APC和△ACB相似， ∴④不符合题意； 即有①②③这三种情况可得出， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 题型8：相似三角形的对数 【典例26】．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有 对． 【答案】3 【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角． 【解析】解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C， ∴△PCF∽△BCP． ∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D， ∴△APD∽△PGD． ∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C ∴∠APG＝∠BFP， ∴△APG∽△BFP． 则图中相似三角形有3对， 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角． 【典例27】．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，得到直角和平行线，利用相似三角形的判定和性质进行推理判断即可． 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠EDP=∠FCP=90°， ∵∠EPD=∠FPC， ∴△EDP∽△FCP； ∵∠FEB=∠FCP=90°， ∵∠F=∠F， ∴△FEB∽△FCP； ∴△FEB∽△EDP； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°， ∵∠BEF=90°， ∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°， ∴∠DEP=∠ABE， ∴△EDP∽△BAE； ∴△FCP∽△BAE； ∴△FEB∽△BAE； 共有6对， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 题型9：相似三角形的判定—分类讨论动点问题 【典例28】．如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t. （1）用含t的代数式表示：________， （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少. 【答案】（1）2t，（2）运动时间为s或4s 【分析】（1）利用速度公式求解； （2）由于∠PAQ=∠BAC，利用相似三角形的判定，当时，△APQ∽△ABC，即；当时，△APQ∽△ACB，即，然后分别解方程即可． 【解析】（1）2t , ; （2）连接PQ，∵，∴当时，，此时，解得； ∵，∴当时，，此时，解得. ∴运动时间为s或4s. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,关键是能灵活运用. 【典例29】．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF⊥AE 于 F． （1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由； （2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA＝x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，x的值为4或10. 【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE； （2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式． 【解析】(1)证明：∵AD∥BC, ∴∠PAF=∠AEB. ∵∠PFA=∠ABE=90°， ∴△PFA∽△ABE. (2) 若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB. 如图，连接PE,DE, ∴PE∥AB. ∴四边形ABEP为矩形. ∴PA=EB=4，即x=4. 如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB. ∵∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF. ∴PE=PA. ∵PF⊥AE， ∴点F为AE的中点. ∵AE=， ∴EF=AE=. ∵， ∴PE=20，即x=10. ∴满足条件的x的值为4或10. 【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 一、单选题 1．△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是(　　) A．AB=c,AC=b,BC=a,DE=,EF=,DF= B．AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=1 C．AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6 D．AB=,AC=,BC=,DE=,EF=3,DF=3 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理(有三组对应边的比相等的两个三角形相似)判断即可. 【解析】A、根据AB=c，BC=a，AC=b，DE=,EF=,DF=，不能推出三组对应边的比相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误； B、∵AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1， ∴ AB:DF=1,AC:EF=1:6,BC:DE=1:6， ∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误； C、∵AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6， ∴ AB:DF=AC:EF=BC:DE=1:2， ∴△ABC和△DEF相似，故本选项正确； D、AB=,AC=,BC=,DE=,EF=3,DF=3, ∴ AB:DE=:3,AC:EF=:3,BC:DF=:3， ∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定的应用,注意:相似三角形的判定定理之一是:有三组对应边的比相等的两个三角形相似. 2．已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形相似的判定定理，根据题中条件，由各个选项中添加的条件，利用两个直角三角形相似的判定定理验证即可得到答案，熟记直角三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【解析】解：A、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两个角对应相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意； B、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意； C、在和中，由，确定、为两个直角三角形的斜边，利用两个直角三角形相似的判定定理：直角边及斜边对应成比例的两个直角三角形相似确定和相似，不符合题意； D、根据两个直角三角形相似的判定定理，添加，无法确定和相似，符合题意； 故选：D． 3．下列四个命题中，真命题的个数是（　　） （1）所有的正方形都相似； （2）所有的等腰三角形都相似； （3）所有的等边三角形都相似； （4）所有的矩形都相似． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，掌握相似多边形和相似三角形的判定是解题的关键．根据相似多边形和相似三角形的判定方法分别判断即可． 【解析】解：（1）所有的正方形都相似，真命题； （2）所有的等腰三角形都相似，假命题； （3）所有的等边三角形都相似，真命题； （4）所有的矩形都相似，假命题； 综上所述，真命题的个数是2个， 故选：B． 4．根据下列各组条件，不能判断和相似的是（ ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【解析】解：∵，，， ∴，则，故选项A不符合要求； ∵，，，， ∴，，则，故选项B不符合要求； ∵，，；，，， ∴，不能判断和相似，故选项C符合要求； ∵，，；，，， ∴，，则，故选项D不符合要求； 故选：C． 5．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项． 【解析】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为 ，2，，所以三边之比为1：2：． A、三角形的三边分别为2，，3，三边之比为 ：：3，故本选项错误； B、三角形的三边分别为2，4，2，三边之比为1：2：，故本选项正确； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误； D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：：4，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般． 6．下列条件：①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠A′=45°，A′B′=16，A′C′=20；②∠A=47°，AB=1.5，AC=2，∠B′=47°，A′B′=2.8，B′C′=2.1；③∠A=47°，AB=2，AC=3，∠B′=47°，A′B′=4，B′C′=6，其中能判定△ABC与△A′B′C′相似的有 (    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法依次判断即可解答. 【解析】①，∠A=∠A′=45°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△A′B′C′；②，∠A=∠B′=47°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△B′C′A′；③，∠A=∠B′=47°，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△B′A′C′. 故选D. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，熟知判定定理是解决本题的关键. 7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，再根据相似三角形的几种判定方法逐一判断即可． 【解析】解：， ， A、添加，可用两角法判定，故本选项错误； B、添加，可用两角法判定，故本选项错误； C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误； D、添加，不能判定，故本选项正确； 故选：D． 8．如图，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查添加条件式三角形相似，根据已知相似三角形的逐一判断选项是否符合条件即可． 【解析】解：．若，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ．若，无法得出和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，选项错误，不符合题意； ．若，无和对应边成比例，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 9．如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断是解决问题的关键． 【解析】解：选项A，∵，，    ∴，故选项A不符合题意． 选项B，如图，设与交于点，      ∵，， ∴，故选项B不合题意； 选项C，∵，， ∴，故选项C不合题意； 选项D中没有相似三角形，符合题意． 故选：D． 10．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为(        )    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以D，， 为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【解析】根据题意得，，. 连接，，，. 故，∴. 同理可找到，和相似.故选B. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定方法“三边对就成比例，两三角形相似”,　理解题意，会根据勾股定理计算边的长度是关键． 二、填空题 11．的边长分别为的边长分别，则与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似 【答案】不一定 【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可． 【解析】解：∵的边长分别为的边长分别， ∴两个三角形对应边的比分别为： ， 当a=b=c时，，这两个三角形相似， 当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似， ∴与不一定相似， 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键． 12．如图，若，则． 【答案】DE 【分析】结合相似三角形的性质即可求解 【解析】解： （相似三角形对应边成比例） 故答案是：DE 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，属于基础理解题，难度不大．解题的关键是掌握相似三角形的性质和相似三角形顶点的对应关系．注意：在相似三角形中，用相似符号（）连接的两个三角形，则相同位置的顶点是对应顶点． 13．直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ． 【答案】②⑤ 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案． 【解析】解：①∵， ∴，故此选项错误； ②，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出，故此选项正确； ③，缺少夹角相等，故不能判定，故此选项错误； ④，又∵， ∴，故此选项错误； ⑤可以变形为：， 又∵， ∴，故此选项正确； 故正确的有2个． 故答案为：②⑤． 14．如图，在四边形ABCD中，DEBC交AB于点E，点F在AB上，请你再添加一个条件 (不再添加辅助线及其他字母)，使△FCB∽△ADE． 【答案】CF∥DA（答案不唯一） 【分析】在题中，由平行可知一对角相等，要想相似，再找一对角相等即可，因此可添加一组平行，找同位角相等即可． 【解析】解：添加条件：CFDA． 理由如下：∵CFDA， ∴∠A=∠CFE． ∵DEBC， ∴∠DEA=∠B， ∴△FCB∽△ADE． 故答案为∶CFDA（答案不唯一）． 【点睛】本题考查相似三角形的判定的理解及运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 15．如图D，E两点分别在线段和上，在下列四个条件中：①；②；③；④．其中能使与相似的是 ．(填序号) 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理逐个排查即可． 【解析】解：∵, ∴根据 “两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证，故①满足题意； ∵, ∴根据 “两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证，故②满足题意； ∵ ∴ ∴根据 “两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故③满足题意； ∵，而与不一定相等，故④不满足题意， ∴综上可得：①②③符合题意． 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 16．如图，正方形的边长为8，，，线段的两端在、上滑动，当 时，与相似. 【答案】2或4/4或2 【分析】根据，中，所以在中，分与和是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出与的关系，然后利用勾股定理列式计算即可． 【解析】解：， ， 又与以、、为顶点的三角形相似， 分两种情况： ①与是对应边时，， ， 即， 解得：； ②与是对应边时，， ， 即， 解得：． 综上所述：当为4或2时，与相似． 故答案是：4或2． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解是解题的关键． 17．将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【解析】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或 故答案为：2或 18．等腰被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰的顶角的度数是 ． 【答案】或或 【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解． 【解析】解：①如图1，∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD， ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴4∠B=180°， ∴∠B=45°， ∴∠BAC=90°． 此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故∽； ②如图2，∵AB=AC，AD=BD，AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA， ∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B， ∴∠BAC=3∠B， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴5∠B=180°， ∴∠B=36°， ∴∠BAC=108°． 此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故∽； ③如图3，∵AB=AC，AD=BD=BC， ∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C， ∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC， ∴∠ABC=∠C=2∠BAC， ∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°， ∴5∠BAC=180°， ∴∠BAC=36°． 此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有∽； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，并应用相似三角形的判定进行检验，不要漏解，不能多解. 三、解答题 19．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且，连接EF、BE．求证：∽ 【答案】见解析 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等进行证明即可． 【解析】证明：设， 在正方形ABCD中， ， ，， ， ∽． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，要熟练掌握，根据已知条件灵活运用． 20．如图，在中，，，，求证：．    【答案】证明见详解； 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据得到，从而得到，结合，得到，即可得到证明； 【解析】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE． 【答案】证明见解析． 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明． 【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC． 又∵CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBE． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键． 22．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，求证：BD•CD＝AC•CE． 【答案】见解析 【分析】先证明 再证明 再利用相似三角形与等边三角形的性质可得结论. 【解析】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC， ∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， ∴， ∴BD•CD＝AB•CE， 即BD•CD＝AC•CE； 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握两个角分别对应相等的两个三角形相似是解题的关键. 23．如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)相似，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论； （2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论． 【解析】（1）解：∵正方形， ∴, ∵， ∴， ∵点F在上， ∴, ∴, ∵, ∴． （2）解：与相似，理由如下： 设， ∵E为边的中点，， ∴， ∴，,, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 24．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先判断出，再利用角平分线判断出，即可得出结论； （2）由三角形的内角和定理可求，可得结论． 【解析】（1）证明：由旋转可知：， ． 平分， ， ， ， ； （2）证明：，， ． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 25．如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据得出，，根据，，得出，利用相似三角形的判定得出结论即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 26．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ADP∽△BDF； （3）如图2，若PE＝BE，PC＝，求CF的值． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF＝﹣1， 【分析】（1）根据SAS证明即可； （2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H．易证△APE≌△HPF（AAS），得PE＝PF，再证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDP＝∠FDP＝45°，进而得∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可得到结论； （3）如图2，作PH⊥BC于H．首先证明∠EFB＝30°，由PC＝，得：HF＝，进而求出CF，即可解决问题． 【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°， ∵AE＝CF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； （2）如图1，作FH∥AB交AC的延长线于H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠FCH＝45°， ∵AB∥FH， ∴∠HFC＝∠ABC＝90°， ∴∠FCH＝∠H＝45°， ∴CF＝FH＝AE， ∵∠PAE＝∠H＝45°，∠APE＝∠FPH， ∴△APE≌△HPF（AAS）， ∴PE＝PF， ∵△ADE≌△CDF， ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠ADC＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∵EP＝PF， ∴∠EDP＝∠FDP＝45°， ∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDF＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°， ∴∠ADP＝∠BDF， ∵∠DAP＝∠DBF＝45°， ∴△ADP∽△BDF； （3）如图2中，作PH⊥BC于H． ∵∠ACB＝45°，PC＝， ∴PH＝CH＝1． 由（2）得：BE＝PE＝PF， ∴BE＝EF， ∴∠BFE＝30°， ∴PF＝2， ∴HF＝， ∴CF＝﹣1， 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，正方形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及含30°角的直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形和含30°角的直角三角形，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 47 页 学科网（北京）股份有限公司 $$