第11讲 平面向量的线性运算（三类知识点+八大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第11讲 平面向量的线性运算（八大题型） 学习目标 1、理解向量的数乘； 2、掌握向量的线性运算； 3、会用向量的线性组合表示向量。 一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 【方法规律】 设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反. 2．向量数乘的定义 一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）如果时，则： ①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向； （2）如果时，则：，的方向任意. 实数与向量相乘，叫做向量的数乘. 【方法规律】 （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设为实数，则： （1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 二、平行向量定理 1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 【方法规律】 任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，. 2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使. 【方法规律】 （1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定. （2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使 . 三、向量的线性运算 1．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 【方法规律】 （1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解： 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得. 【方法规律】 （1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量． (2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解. (3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练1】如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【即学即练2】下列说法中，正确的是（    ） A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么 【即学即练3】若，其中、、为已知向量，求未知向量． 【即学即练4】如图，在中，点是边的中点，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】如图，点O是等边三角形ABC的重心，，那么可以表示为 （用向量、的线性组合表示）． 题型1：作图理解向量的数乘 【典例1】．已知非零向量，求作、、． 【典例2】．已知非零向量，求作，．    题型2：向量的数乘及运算律、判定向量平行 【典例3】．下列命题中，正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果，那么（k为实数） C．如果（k为实数），那么 D．如果，那么或 【典例4】．已知，，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例5】．计算：     ； ；      ． 【典例6】．下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 【典例7】．已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ． 【典例8】．已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 题型3：与单位向量有关的概念及表示 【典例9】．下列判断不正确的是（     ） A．； B．如果向量与均为单位向量，那么或； C．如果，那么； D．对于非零向量，如果，那么． 【典例10】．下列说法中，正确的是（    ） A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么 【典例11】．向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）． 【典例12】．下列命题中，正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果，那么 C．如果和都是单位向量，那么 D．如果，那么 【典例13】．已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 【典例14】．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例15】．已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 题型4：平面向量的线性运算 【典例16】．如图，已知两个不平行的向量和向量．先化简，再求作：． 【典例17】．＝ ，＝ ，＝ ． 【典例18】．化简： ． 【典例19】．如果向量、和满足，那么 ． 【典例20】．如果（、均为非零向量）那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．与方向相反 【典例21】．在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 题型5：用两个（不平行）向量的线性组合表示向量 【典例22】．如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．    【典例23】．如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边上的点，且设，，那么可用、表示为 ． 题型6：重心的性质在平面向量中的应用 【典例24】．如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为： ．    【典例25】．如图，在中，中线、交于点，设，，那么向量用向量，表示为 ． 【典例26】．如图，已知为的重心，过点作的平行线交边和于点、，设、．用（为实数）的形式表示向量____________． 【典例27】．如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 题型7：平行线分线段成比例在平面向量中的应用 【典例28】．如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，，． (1)求的长； (2)如果，，试用表示向量． 【典例29】．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 【典例30】．如图，已知相交于点，过作交于点，． (1)求的值； (2)设，用向量表示． 题型8：画出平面向量的分向量 【典例31】．如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， (1)用向量、分别表示下列向量； ； ； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【典例32】．如图，已知在平行四边形中，点E，F分别是边、的中点，、与对角线分别交于点G，H，设，．    (1)向量______，向量______．（用、表示） (2)画出向量在向量和方向上的分向量．（画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 一、单选题 1．已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 2．矩形的对角线与相交于点，如果，，那么（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点D是在边上一点，且，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 4．下列命题正确的个数是（    ） ①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量； ②如果，，那么的模是； ③如果，或，那么； ④如果，的方向与的方向相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，平行四边形中，E是边的中点，联结，设，那么下列向量中，可表示为的是（    ） A． B． C． D． 6．已知、是两个单位向量，向量，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法不正确的是（　　） A．设为单位向量，那么 B．已知、、都是非零向量，如果，，那么 C．四边形中，如果满足，，那么这个四边形一定是平行四边形 D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 8．下列判断错误的是（　　） A．0• B．如果+=2，-=3，其中，那么∥ C．设为单位向量，那么||=1 D．如果||=2||，那么=2或=-2 9．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（　　） A． B． C． D． 10．已知单位向量与非零向量、，下列四个选项中，正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．化简： ． 12．已知向量和方向相反，长度为7，则用来表示为： （为单位向量）． 13．如图，在中，点D是的中点，设，，那么可以用含、的式子表示为 ． 14．如图，已知点M、N分别在的边、上，，且，设，用表示，则 ． 15．已知点G是的重心，设，，那么用、可表示为 ． 16．如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边上的点，且设，，那么可用、表示为 ． 17．已知，分别是，相同方向上的单位向量， ． 18．如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线翻折，点D落在边上的点G处，若则= （用表示） 三、解答题 19．已知、．    (1)化简：． (2)求作，使． 20．如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)若设，，试用、的线性组合表示向量． 21．如图，已知在中，，点D在边上，． (1)求的长； (2)连接，设，试用表示． 22．如图，一个的网格．其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点． （1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与相似？请说明理由； （2）设a，，写出向量关于a、b的分解式． 23．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 24．如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， (1)用向量、分别表示下列向量； ； ； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 25．如图，已知相交于点，过作交于点，． (1)求的值； (2)设，用向量表示． 26．如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 27．如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点． （1）如果，，用、表示向量； （2）当，，时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 平面向量的线性运算（八大题型） 学习目标 1、理解向量的数乘； 2、掌握向量的线性运算； 3、会用向量的线性组合表示向量。 一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 【方法规律】 设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反. 2．向量数乘的定义 一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）如果时，则： ①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向； （2）如果时，则：，的方向任意. 实数与向量相乘，叫做向量的数乘. 【方法规律】 （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设为实数，则： （1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 二、平行向量定理 1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 【方法规律】 任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，. 2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使. 【方法规律】 （1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定. （2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使 . 三、向量的线性运算 1．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 【方法规律】 （1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．向量的分解： 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得. 【方法规律】 （1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量． (2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解. (3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 3．用向量方法解决平面几何问题： （1）利用已知向量表示未知向量 用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练1】如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】化简得﹣+2；作图见解析． 【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形． 【解析】解：==﹣+2． 如图：=2，=﹣， 则=﹣+2， 即即为所求． 【点睛】此题考查了平面向量的运算法则以及作法．注意作图时准确利用三角形法则是关键． 【即学即练2】下列说法中，正确的是（    ） A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么 【答案】D 【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可． 【解析】解：A、，所以A错误，不符合题意． B、如果是单位向量，那么，所以B错误，不符合题意． C、如果，那么，这两个向量方向不一定相同，所以C错误，不符合题意． D、如果非零向量，且，那么，D正确，符合题意． 故选：D． 【即学即练3】若，其中、、为已知向量，求未知向量． 【答案】 【分析】数乘向量满足结合律、分配律，计算求出即可． 【解析】解： 【点睛】本题考查了平面向量的计算，熟练掌握平面向量的计算法则是解决本题的关键. 【即学即练4】如图，在中，点是边的中点，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了向量的线性运算，根据、、即可求解． 【解析】解：∵，点是边的中点， ∴ ∴ 故选：D 【即学即练5】如图，点O是等边三角形ABC的重心，，那么可以表示为 （用向量、的线性组合表示）． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性运算，重心的性质，延长交于点，根据重心的性质，得到，，利用三角形法则得到，求出，进而求出即可． 【解析】解：延长交于点， ∵点O是等边三角形ABC的重心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型1：作图理解向量的数乘 【典例1】．已知非零向量，求作、、． 【答案】见解析 【分析】与方向相同，长度是的3倍，据此作图即可； 与方向相反，长度是的2倍，据此作图即可； 与方向相反，长度是的倍，据此作图即可. 【解析】解：（1） （2） （3） 【点睛】本题考查了向量的作图，明确各向量与已知向量的方向及长度关系是作图的关键. 【典例2】．已知非零向量，求作，．    【答案】见解析 【分析】作向量，向量即可． 【解析】解：如图，向量和向量即为所作． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握向量基础知识，属于中考常考题型． 题型2：向量的数乘及运算律、判定向量平行 【典例3】．下列命题中，正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果，那么（k为实数） C．如果（k为实数），那么 D．如果，那么或 【答案】D 【分析】根据向量的性质之一判断即可得到答案． 【解析】解：A．如果或，那么，原说法错误，不符合题意，选项错误； B．如果，且，那么（k为实数），原说法错误，不符合题意，选项错误； C．如果（k为实数），当时，和不平行，原说法错误，不符合题意，选项错误； D．如果，那么或，说法正确，符合题意，选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解题关键． 【典例4】．已知，，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【解析】∵，而且和的方向相反 ∴. 故选D． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【典例5】．计算：     ； ；      ． 【答案】 【分析】（1）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可； （2）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可； （3）根据实数与向量相乘的运算定律计算即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）． 【点睛】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则，掌握运算定律是解决问题的关键． 【典例6】．下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果或，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质， 根据平面向量的性质一一判断即可． 【解析】解：A．如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． B．如果、为实数，那么，正确，故本选项不符合题意． C． 如果（为实数），那么，错误，时，不成立，故本选项符合题意． D． 如果或，那么，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 【典例7】．已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ． 【答案】否 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，若向量与平行，则（k为常数，且），据此可得答案． 【解析】解：∵， ∴（k为常数，且）， ∴向量与不平行， 故答案为：否． 【典例8】．已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解题关键是对向量性质的理解．根据向量的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：A、只能判定的模的数量关系，不能判定，符合题意； B、，能判定，不符合题意； C、，根据平行的传递性得到，不符合题意； D、，得到，平行的传递性得到，不符合题意； 故选A． 题型3：与单位向量有关的概念及表示 【典例9】．下列判断不正确的是（     ） A．； B．如果向量与均为单位向量，那么或； C．如果，那么； D．对于非零向量，如果，那么． 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量、平行向量、单位向量，根据平面向量的性质逐一判断即可得出答案，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【解析】解：A、，计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意； B、如果向量与均为单位向量，那么它们的模相等，即，原说法错误，故本选项符合题意； C、如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； D、对于非零向量，如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 【典例10】．下列说法中，正确的是（    ） A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么 【答案】D 【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可． 【解析】解：A、，所以A错误，不符合题意． B、如果是单位向量，那么，所以B错误，不符合题意． C、如果，那么，这两个向量方向不一定相同，所以C错误，不符合题意． D、如果非零向量，且，那么，D正确，符合题意． 故选：D． 【典例11】．向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）． 【答案】 【分析】本题考查了向量的定义，根据向量和单位向量的方向相反，且向量的长度为即可求解． 【解析】解：由题意得：； 故答案：． 【典例12】．下列命题中，正确的是（    ） A．如果或，那么 B．如果，那么 C．如果和都是单位向量，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据平面向量的性质，逐项判断即可求解． 【解析】解：如果或，那么，故本选项错误，不符合题意； B、如果，那么或，故本选项错误，不符合题意； C、如果和都是单位向量，那么或，故本选项错误，不符合题意； D、如果，那么，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量的性质，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键． 【典例13】．已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可． 【解析】解：由题意知，，A错误，故不符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C正确，故符合要求； ，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题的关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量． 【典例14】．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【解析】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【典例15】．已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的性质得到，，从而得到． 【解析】解：根据题意知，，， 则，， 则，观察选项，只有选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识． 题型4：平面向量的线性运算 【典例16】．如图，已知两个不平行的向量和向量．先化简，再求作：． 【答案】 【分析】 此题考查了平面向量的运算．注意掌握三角形法则是解答本题的关键．首先利用平面向量的运算法则，化简原式，再利用三角形法则画出向量． 【解析】 解：原式 ． 如图： ，， 则即为所求． 【典例17】．＝ ，＝ ，＝ ． 【答案】 【分析】根据向量的加减运算法则进行运算． 【解析】； ； ． 故答案是：；；． 【点睛】本题考查向量的加减运算法则，需要注意向量的加减运算法则和数的加减运算有所区别． 【典例18】．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查向量的加减运算，根据向量加减运算法则求解即可 【解析】解： ， 故答案为：． 【典例19】．如果向量、和满足，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平面向量，正确利用等式的性质是解题的关键．根据等式的性质变形，得到答案． 【解析】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例20】．如果（、均为非零向量）那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．与方向相反 【答案】C 【分析】根据平行向量的定义与性质，逐一对选项判断即可． 【解析】解：A、∵， ∴，故该结论正确，不符合题意； B、∵（、均为非零向量）， ∴与是方向相反的向量，即，故该结论正确，不符合题意； C、∵， ∴，故该结论错误，符合题意； D、∵（、均为非零向量）， ∴与是方向相反的向量，故该结论正确，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键．平面向量的定义：平面内既有大小，又有方向的量；平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量；零向量和任何向量平行． 【典例21】．在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 【答案】(1) (2)，见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量， 根据题意得和，进一步得到，则，代入向量即可． 化解得，将对应线段代入得到，过点E作，则，，连接即可． 【解析】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 则， ∵点是的中点， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． （2）， ∵， ∴， 过点E作，则， ∴，如图，即为所求．    题型5：用两个（不平行）向量的线性组合表示向量 【典例22】．如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，进而可得结果． 【解析】解：∵中线、交于点G， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：． 【典例23】．如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边上的点，且设，，那么可用、表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是向量的线性运算、平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握向量的线性运算． 首先由四边形是平行四边形，求得，又由点是边中点，点是边上的点，且，求得与，再利用三角形法则求解即可． 【解析】解：四边形是平行四边形， ， 点是边中点，点是边上的点，且， ，， ． 故答案为：． 题型6：重心的性质在平面向量中的应用 【典例24】．如图，经过的重心，设，，那么可以用向量，表示为： ．    【答案】 【分析】先求出，再根据重心是三角形三条中线的交点得到，由此可由求出答案． 【解析】解：∵，， ∴， ∵经过的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，重心的定义，正确表示出是解题的关键． 【典例25】．如图，在中，中线、交于点，设，，那么向量用向量，表示为 ． 【答案】 【分析】根据重心的性质可得，利用三角形法则求出，进而可得结果． 【解析】解：∵中线、交于点， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【典例26】．如图，已知为的重心，过点作的平行线交边和于点、，设、．用（为实数）的形式表示向量____________． 【答案】 【分析】由于G是三角形的重心，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质，可得到，再根据平面向量加减运算可求得答案． 【解析】解：连接并延长交于点M， ∵ ∴ ∵点G是的重心， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故填：． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定义，熟练运用平面向量加减运算是解答本题的关键． 【典例27】．如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2)3； 【分析】 本题主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定与性质， （1）利用平面向量的定义解答即可； （2）利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解析】（1） 解：，， 是的重心，联结并延长交于点， 为的边上的中线， 即点为的中点， ， 故答案为：． （2） 是的重心， ． ，， ， 题型7：平行线分线段成比例在平面向量中的应用 【典例28】．如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，，． (1)求的长； (2)如果，，试用表示向量． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据，得出，则，进而得出，最后根据即可求解； （2）先得出，则，进而得出，由（1）可得，则，进而得出，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 【典例29】．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可解答； （2）根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解． 【解析】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． （2）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：， 【典例30】．如图，已知相交于点，过作交于点，． (1)求的值； (2)设，用向量表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平面向量的加减运算． （1）根据平行线的性质，可证明和，得到和，即可得出结论； （2）根据(1)中结论得，则有，进一步求得，由，结合平面向量的加减运算即可得出结论即可求得答案． 【解析】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）得，则， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 则． 题型8：画出平面向量的分向量 【典例31】．如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， (1)用向量、分别表示下列向量； ； ； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1)；； (2)见解析． 【分析】本题考查了向量的线性计算，平行四边形的性质，相似三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出，根据三角形法则得出，根据相似三角形得出，，即可求解； （2）根据平行四边形法则构造平行四边形，即可求解． 【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴； （2）如图，即为分别在、方向上的分向量． 【典例32】．如图，已知在平行四边形中，点E，F分别是边、的中点，、与对角线分别交于点G，H，设，．    (1)向量______，向量______．（用、表示） (2)画出向量在向量和方向上的分向量．（画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据平行四边形的判定和性质得四边形为平行四边形，再由平行线分线段成比例确定，，利用向量的三角形法则得出，即可确定，； （2）利用平行四边形法则分解向量即可． 【解析】（1）解：∵平行四边形， ∴，， ∵点E，F分别是边、的中点， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 同理得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示：即为所求．    一、单选题 1．已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可． 【解析】解：A、如果，那么，故本选正确； B、如果，那么，故本选正确； C、如果，没法判断与之间的关系，故本选项错误 D、如果为单位向量，且，那么，故本选正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平面向量，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键． 2．矩形的对角线与相交于点，如果，，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，再根据即可得到结果． 【解析】解：如图所示： ∵ ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，本题侧重考查知识点的理解能力． 3．如图，在中，点D是在边上一点，且，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，求得的值，然后结合平面向量的三角形法则求得的值． 【解析】解：∵， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平面向量的三角形法则与数形结合思想的应用． 4．下列命题正确的个数是（    ） ①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量； ②如果，，那么的模是； ③如果，或，那么； ④如果，的方向与的方向相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据实数与向量的乘积结合向量的定义，逐项分析判断即可求解． 【解析】解：①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量，故①正确； ②如果，，那么的模是，故②正确； ③如果，或，那么，故③错误； ④如果，的方向与的方向相反，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与向量的乘积，熟练掌握平面向量的定义是解题关键． 5．如图，平行四边形中，E是边的中点，联结，设，那么下列向量中，可表示为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC；然后利用三角形法则解答即可． 【解析】解：在平行四边形中，，． ∵， ∴． ∵E是边的中点，， ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平面向量和平行四边形的性质，注意平面向量既有大小又有方向． 6．已知、是两个单位向量，向量，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由、是两个单位向量的方向不确定，从而判定A与B错误；又由平面向量模的知识，即可判定选项C正确，选项D错误． 【解析】解：∵、是两个单位向量，方向不一定相同，∴与不一定相等，选项A错误； ∵、是两个单位向量，方向不一定相同，∴与不一定相等，选项B错误； ∵，，∴，选项C正确，选项D错误； 故选：C 【点睛】本题考查了单位向量的定义和向量的数量积，注意平面向量的模的求解方法与向量是有方向性的． 7．下列说法不正确的是（　　） A．设为单位向量，那么 B．已知、、都是非零向量，如果，，那么 C．四边形中，如果满足，，那么这个四边形一定是平行四边形 D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【分析】根据单位向量的定义（模等于1的向量），向量平行的定义（指方向相同或相反的非零向量）以及平行四边形的判定进行判断． 【解析】解:A、设为单位向量，那么，故本选项说法正确． B、已知、、都是非零向量，如果，，那么、方向相反，则，故本选项说法正确． C、四边形中，如果满足，即，不能判定这个四边形一定是平行四边形，故本选项说法错误． D、由平面向量的平行四边形法则可以推知，平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，故本选项说法正确． 故选:C． 【点睛】此题考查了平面向量的知识，属于基础题，解答本题的关键是明确平面向量的表示形式，难度一般． 8．下列判断错误的是（　　） A．0• B．如果+=2，-=3，其中，那么∥ C．设为单位向量，那么||=1 D．如果||=2||，那么=2或=-2 【答案】D 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【解析】A、0•，故本选项不符合题意． B、由+=2，-=3得到：＝，＝﹣，故两向量方向相反，∥，故本选项不符合题意． C、为单位向量，那么||=1，故本选项不符合题意． D、由||=2||只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大． 9．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形法则求出，再根据三角形中心的性质解决问题即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∵AD，BE是△ABC的中线， ∴G是△ABC的重心， ∴BG＝BE， ∴＝， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平面向量计算的三角形法则及三角形重心的知识，解题的关键是熟练掌握这些基本知识． 10．已知单位向量与非零向量、，下列四个选项中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的定义，平面向量模的定义以及共线向量的定义进行判断即可． 【解析】A.当单位概率与非零向量的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C.当非零向量，的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意； D. 当单位概率与非零向量的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了平面向量知识，理解单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向是解题的关键． 二、填空题 11．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查向量的加减运算，根据向量加减运算法则求解即可 【解析】解： ， 故答案为：． 12．已知向量和方向相反，长度为7，则用来表示为： （为单位向量）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的线性表示法，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键．根据平面向量与单位向量方向相反，长度为7，即可得出结论． 【解析】解：∵向量和方向相反，长度为7， ∴． 故答案为： ． 13．如图，在中，点D是的中点，设，，那么可以用含、的式子表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面向量，先求出，再利用三角形法则求得答案． 【解析】解：∵，点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，已知点M、N分别在的边、上，，且，设，用表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，向量的定义．先根据，得，再根据相似三角形的性质及向量的定义即可，本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．已知点G是的重心，设，，那么用、可表示为 ． 【答案】 【分析】如图，先根据向量的减法法则求出，根据D点是边的中点求出，再由向量的加法法则求出，然后根据G是的重心即可求出． 【解析】如图，D点是边的中点，G是的重心， ∵，， ∴ ∵D点是边的中点， ∴， ∴， ∵G是的重心， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的重心，向量的计算等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边上的点，且设，，那么可用、表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是向量的线性运算、平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握向量的线性运算． 首先由四边形是平行四边形，求得，又由点是边中点，点是边上的点，且，求得与，再利用三角形法则求解即可． 【解析】解：四边形是平行四边形， ， 点是边中点，点是边上的点，且， ，， ． 故答案为：． 17．已知，分别是，相同方向上的单位向量， ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的运算，根据向量的相关运算法则计算即可． 【解析】解：， 故答案为：． 18．如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线翻折，点D落在边上的点G处，若则= （用表示） 【答案】 【分析】根据翻折的性质、相似三角形的性质、相似三角形是判定及比例的性质求解．本题考查了翻折变换，掌握翻折的性质、相似三角形的性质、相似三角形是判定及比例的性质是解题的关键． 【解析】解：连接交于，交于点， 将沿直线翻折，点落在边上的点处， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∴ 故答案为：． 三、解答题 19．已知、．    (1)化简：． (2)求作，使． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的线性运算．熟练掌握向量的运算是解题的关键． （1）先计算实数与向量相乘，然后进行线性运算即可； （2）根据，作图即可． 【解析】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 如图，即为所求；    20．如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)若设，，试用、的线性组合表示向量． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，公共角，可证出，再利用相似三角形的性质可求出的长． （2）由，可得＝，结合，即可求出结论． 【解析】（1）∵， ， ∴， ∴，即， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴的长为6； （2）∵， ∴， ∴＝， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平面向量．解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理，证出；（2）根据各向量之间的关系，用、的线性组合表示出向量． 21．如图，已知在中，，点D在边上，． (1)求的长； (2)连接，设，试用表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的线性运算： （1）证明得到，则，由此可得； （2）先求出，再由得到，则． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 22．如图，一个的网格．其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点． （1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与相似？请说明理由； （2）设a，，写出向量关于a、b的分解式． 【答案】（1）点N和点A、B所构成的三角形与相似，理由见解析；（2） 【分析】（1）设网格中小正方形的边长为a，利用勾股定理求出各边的长度，然后分类讨论，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐一判断即可； （2）延长AB至E，使BE=AB，根据向量加法的三角形法则计算即可． 【解析】解：（1）点N和点A、B所构成的三角形与相似，理由如下： 设网格中小正方形的边长为a， 则BC=a，AB=， AC=，其中BC＜AB＜AC 如下图所示，连接BM、AM 则BM=，AM=，其中AB＜BM＜AM ∴， ∴≠ ∴和不相似； 如下图所示，连接AN 则BN=2a，AN=，其中AB＜BN＜AN ∴，，， ∴＝= ∴∽； 如下图所示，连接BP 则BP=，AP=3，其中AB＜BP＜AP ∴， ∴≠ ∴和不相似； 如下图所示，连接BQ、AQ 则BQ=，AQ=，其中AB＜BQ＜AQ ∴， ∴≠ ∴和不相似； 综上：点N和点A、B所构成的三角形与相似； （2）延长AB至E，使BE=AB，根据正方形的性质可知，点E正好落在格点上，如下图所示 ∴， ∴=＋ =． 【点睛】此题考查的是勾股定理与网格问题、相似三角形的判定和向量的加法，掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法则是解题关键． 23．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）先判定，再根据相似三角形对应边成比例解题即可； （2）根据相似三角形的判定与性质求出向量之间的关系，解题即可． 【解析】（1）解： ，，，， ， ， ， ． （2）解：由（1）中可知， ， ， ∴． 24．如图，在平行四边形中，点为上的一点，，与相交于点，如果，， (1)用向量、分别表示下列向量； ； ； (2)在图中求作分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1)；； (2)见解析． 【分析】本题考查了向量的线性计算，平行四边形的性质，相似三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出，根据三角形法则得出，根据相似三角形得出，，即可求解； （2）根据平行四边形法则构造平行四边形，即可求解． 【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴； （2）如图，即为分别在、方向上的分向量． 25．如图，已知相交于点，过作交于点，． (1)求的值； (2)设，用向量表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平面向量的加减运算． （1）根据平行线的性质，可证明和，得到和，即可得出结论； （2）根据(1)中结论得，则有，进一步求得，由，结合平面向量的加减运算即可得出结论即可求得答案． 【解析】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）得，则， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 则． 26．如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定与性质， （1）利用平面向量的定义解答即可； （2）利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解析】（1）解：，， 是的重心，联结并延长交于点， 为的边上的中线， 即点为的中点， ， 故答案为：． （2）是的重心， ． ，， ， 27．如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点． （1）如果，，用、表示向量； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由G是重心，可得， ， 因为，可得， 进而求出； （2）根据G是重心，求出DG=3，因为△AGD是等腰直角三角形，勾股定理计算出AD=，由AD=DC，DC=3DE求出DE=，相加即可． 【解析】解：（1）∵， ∵点G是Rt△ABC的重心， ∴AD＝AC， ∵，， ∴， ∴ ∴， ． （2）∵G是三角形的重心， ∴BG=2GD，AD=DC， ∵BG=6， ∴GD=3， ∵，， ∴AG=GD=3， ∴， ∵， ∴， ∴DE=， ∴AE=AD+DE= 【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 46 页 共 46 页 学科网（北京）股份有限公司 $$