第14讲 第25章引入 勾股定理 、30°角性质 （三类知识点+三大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第14讲 第25章引入 勾股定理 、30°角性质 （二大题型） 学习目标 1、掌握勾股定理及其逆定理； 2、能运用直角三角形30°角的性质及推论； 3、初步学会Rt△中由确定角度，到确定长度（关系）。 一、三角形的六要素（以直角三角形为例） 1、 三个角：A、B、C 2、 三条边：a、b、c 二、勾股定理及其逆定理 勾股定理（数学符号语言）：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2 勾股定理逆定理：∵a2+b2=c2，∴∠C=90°（即△ABC是Rt△ABC） 【即学即练1】如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 3、 直角三角形中30°角的性质 性质：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，则 推论：在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则∠A=30° 【即学即练1】如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【即学即练2】如图，中，，，是边上的高．若，则CD＝ 题型1：勾股定理及其逆定理 【典例1】．如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D．6 【典例2】．下列三个数中，能组成一组勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．12，15，9 D．，， 【典例3】．在中，斜边，则等于（   ） A．8 B．4 C．6 D．以上都不对 【典例4】．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为 ． 【典例5】．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边长的高为（   ） A． B． C． D． 【典例6】．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c三个正方形的面积之和为（    ） A．11 B．15 C．10 D．22 【典例7】．如图，在中，，则的面积 ． 【典例8】．如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.    【典例9】．如图，△ABC为一张纸片，AB=3，AC=9，BC=，现将△ABC折叠，使点C与点B重合，折痕为DE．则DC长为 【典例10】．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=135°，CD=6，AB=2，则四边形ABCD的面积为 题型2：直角三角形30°角的性质及其几何应用 【典例11】．在中，，则为（     ） A．4 B．2 C．1 D．不能确定 【典例12】．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（     ） A．5° B．10° C．15° D．45° 【典例13】．如图，在中，，，，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（    ） A．5 B．4 C．7 D．6 【典例14】．如图，在中，，，，，则为 cm． 【典例15】．如图，在中，，，则点B到边的距离为 ． 【典例16】．如图，中，AD为中线，，，，则AC长（    ） A．2.5 B．2 C．1 D．1.5 【典例17】．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，求的长． 【典例18】．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型3：勾股定理与直角三角形30°角的性质综合 【典例19】．如图，在中，，，，垂直平分，分别交边、于点、，连结．    (1)求的度数； (2)求的长． 【典例20】．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长． 【典例21】．如图，在中，，，AC的垂直平分线交BC于点D，， 于点E，求BE的长． 【典例22】．如图，在中，，，D是边的中点，交于点E． (1)求的度数； (2)过点C作垂直于，垂足为点F，如果．求的长． 【典例23】．已知，如图，在中，为边上的中线，且，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【典例24】．如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 【典例25】．如图，中，，，，点分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设    (1)如图1，当点和点重合时，求的面积； (2)如图2，设当点在的延长线上时，，求关于的函数解析式，并求出定义域； (3)若为直角三角形，求的值． 一、单选题 1．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．不确定哪个角是直角 2．如图，，，，，则（　　） A．3 B．4 C． D．5 3．如图：在中，，，BE平分，交AC于E，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 4．如图所示，在中，，，D为斜边的中点．若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，在等边中，，，，则的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 6．如图，在中，，垂直平分，分别交于点D、E，平分，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．6 7．如图，中，为中点，在上，且．若，，则的长度是（    ）    A．5 B． C．6 D． 8．如图，在中，AB=AC, ∠B=30°，AD⊥AB，AD=4，则下列各式中正确的是（    ）    A．AB=8 B．BC=16 C．DC=4 D．BD=10 9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E从A点出发，沿着A→B的方向运动，联结DE，当△BDE是直角三角形时，BE的值为（　　） A．4 B．1 C．4或1 D．4或7 10．如图，在等边中，，点P是边上的动点，将绕点A逆时针旋转得到，点D是边的中点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2，斜边AB的长为2，则Rt△ABC的面积为 ． 12．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC∶AC∶AB= ． 13．在中，，平分，交于，如果，那么 ． 14．如图，在中，，，是等边三角形，，则 ． 15．如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则 ． 16．在中，，点是重心，如果，，那么 ． 17．如图，直线AB与x轴交于点，与x轴夹角为30°，将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则k的值为 ． 18．在中，，，，（如图），点D是的中点，将沿直线翻折后点A落在点E，那么的长为 . 三、解答题 19．房梁的一部分如图所示，其中，点D是的中点，且，垂足为E，求的长． 20．如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AD为ABC角平分线，求CD的长度． 21．如图，，，，，把沿折叠，点折叠到点，的延长线与射线交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 22．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC. （1）求证：BD平分∠ABC； （2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长. 23．已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证：． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上一动点，以线段为一边，在其一侧作等边．当点运动到原点处时，记的位置为．    (1)求点的坐标； (2)当点在轴上运动（不与重合）时，求证：； (3)是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是梯形； (2)如果，当为等腰三角形时，求的长． 26．如图，在中，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过点作交射线于点，连接，点是的中点，过点、作直线，交于点，连接、．      (1)当点在边上，设，，写出关于的函数关系式； (2)判断的形状，并给出证明； (3)如果，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 第25章引入 勾股定理 、30°角性质 （三大题型） 学习目标 1、掌握勾股定理及其逆定理； 2、能运用直角三角形30°角的性质及推论； 3、初步学会Rt△中由确定角度，到确定长度（关系）。 一、三角形的六要素（以直角三角形为例） 1、 三个角：A、B、C 2、 三条边：a、b、c 二、勾股定理及其逆定理 勾股定理（数学符号语言）：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2 勾股定理逆定理：∵a2+b2=c2，∴∠C=90°（即△ABC是Rt△ABC） 【即学即练1】如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 3、 直角三角形中30°角的性质 性质：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，则 推论：在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则∠A=30° 【即学即练1】如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)的长为12； (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， 即的长为12； （2）解：∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， 即的度数为． 【即学即练2】如图，中，，，是边上的高．若，则CD＝ 【答案】5 【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求出长．本题考查等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键． 【解析】解：，， ， 是边上的高， ， ， ， 故答案为：5． 题型1：勾股定理及其逆定理 【典例1】．如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据勾股定理即可直接求出答案． 【解析】∵在中，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理．掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键． 【典例2】．下列三个数中，能组成一组勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．12，15，9 D．，， 【答案】C 【分析】根据勾股定理的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可． 【解析】解：A、三边，，，不是正整数，故本选项不符合题意； B、三边为1，2，9，且，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． C、，三边是正整数，且符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意． D、三边，，，不是正整数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数问题，满足的三个正整数，称为勾股数． 【典例3】．在中，斜边，则等于（   ） A．8 B．4 C．6 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可知，进而可知． 【解析】解：∵在中，斜边为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 【典例4】．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为 ． 【答案】5或 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【解析】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 【典例5】．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边长的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 【解析】解：， ， 边长的高， 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么解答． 【典例6】．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c三个正方形的面积之和为（    ） A．11 B．15 C．10 D．22 【答案】B 【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a的面积等于1号的面积加上2号的面积，b的面积等于2号的面积加上3号的面积，c的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和. 【解析】利用勾股定理可得： ，， ∴ 故选B 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 【典例7】．如图，在中，，则的面积 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的面积，先根据勾股定理求出，再求出面积即可． 【解析】在中，，， ∴， ∴． 故答案为：54． 【典例8】．如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.    【答案】24平方米 【分析】连接，根据勾股定理求出米，根据，，根据直角三角形的面积公式求出结果即可． 【解析】解：如图，连接，如图所示：   ，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块地的面积为： （平方米）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 【典例9】．如图，△ABC为一张纸片，AB=3，AC=9，BC=，现将△ABC折叠，使点C与点B重合，折痕为DE．则DC长为 【答案】5 【分析】根据勾股定理逆定理可得∠A=90°，再根据折叠的性质可得BD=CD，设CD=x，则BD=x，AD=9-x，再由勾股定理，即可求解． 【解析】解：∵AB=3，AC=9，BC=， ∴， ∴∠A=90°， ∵将△ABC折叠，使点C与点B重合， ∴BD=CD， 设CD=x，则BD=x，AD=9-x， ∵， ∴， 解得：， 即CD=5． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了勾股定理勾股定理及其逆定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【典例10】．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=135°，CD=6，AB=2，则四边形ABCD的面积为 【答案】16 【分析】延长AB和DC，两线交于O，求出OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，设BC=OC=x，则BO=x，解直角三角形得出方程，求出x，再分别求出△AOD和△BOC的面积即可． 【解析】解：延长AB和DC，两线交于O， ∵∠C=90°，∠ABC=135°， ∴∠OBC=45°，∠BCO=90°， ∴∠O=45°， ∵∠A=90°， ∴∠D=45°， 则OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC， 设BC=OC=x，则BO=x， ∵CD=6，AB=2， ∴6+x=(x+2)， 解得：x=6-2， ∴OB=6-4，BC=OC=6-2，OA=AD=2+6-4=6-2， ∴S四边形ABCD=S△OAD-S△OBC =OA•AD-BC•OC = =16， 故答案为16． 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积，二次根式的混合运算．正确添加辅助线构建直角三角形、求出BC的长度是解此题的关键． 题型2：直角三角形30°角的性质及其几何应用 【典例11】．在中，，则为（    ） A．4 B．2 C．1 D．不能确定 【答案】C 【分析】含30°角的直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半． 【解析】解：如图， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【典例12】．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（    ） A．5° B．10° C．15° D．45° 【答案】C 【分析】先依据三角形的内角和是180°，可计算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质求得∠ABD=30°，即可求解． 【解析】∵的三个内角比为1：1：2， ∴∠A=180°=90°， ∴∠ABC=45°， 在Rt△ABD中，， ∴∠ABD=30°， ∴∠CBD=∠ABC -∠ABD =15°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，利用按比例分配的方法确定出三角形的类别是解题的关键． 【典例13】．如图，在中，，，，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（    ） A．5 B．4 C．7 D．6 【答案】C 【分析】利用垂线段最短分析最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出，可知最大不能大于6．此题可解． 【解析】解：根据垂线段最短，可知的长不可小于3； 中，，，， ， 的长不能大于6． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出． 【典例14】．如图，在中，，，，，则为 cm． 【答案】9 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据等腰三角形的判定可得，根据含角的直角三角形的性质可得，最后根据线段和差即可得． 【解析】解：， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． 【典例15】．如图，在中，，，则点B到边的距离为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，然后根据所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案． 【解析】解：过点作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 即点B到边的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质，熟知所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键． 【典例16】．如图，中，AD为中线，，，，则AC长（    ） A．2.5 B．2 C．1 D．1.5 【答案】D 【分析】延长AD到E，使AD=ED，连接BE，证明△BED≌△CAD，根据全等三角形的性质可得BE=AC，∠BED=∠CAD=90°，在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，根据30°角直角三角形的性质即可求得AC的长． 【解析】延长AD到E，使AD=ED，连接BE， ∵AD为中线， ∴BD=CD， 在△BED和△CAD中， ∴△BED≌△CAD（SAS）， ∴BE=AC，∠BED=∠CAD， ∵， ∴∠CAD=90°， ∴∠BED=∠CAD=90°， 在Rt△AEB中，∠BAE=30°，， ∴AC==1.5． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 【典例17】．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由线段垂直平分线的性质得，进而得，得到，即可得到，进而求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【解析】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【典例18】．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，由此可得 ，进而得，据此可得出结论； （2）根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，从而得为等边三角形，则，在中根据得，由此得，进而可得的长． 【解析】（1）证明：在中， 是边上的中线 ， ， （2）是线段的垂直平分线 为等边三角形 在中，， 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及含度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、含度角的直角三角形是解决问题的关键． 题型3：勾股定理与直角三角形30°角的性质综合 【典例19】．如图，在中，，，，垂直平分，分别交边、于点、，连结．    (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，解题的关键是证明； （2）本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 【解析】（1）解：，，， ， ， ， 又 ； （2）垂直平分，， ，， ， 又 ， ， ， ， ， （舍去）， ． 【典例20】．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长． 【答案】AB＝． 【分析】连接BE，证明∠DAC＝∠C＝30°，根据含30°角的直角三角形的边角关系求出AC，AF，再利用勾股定理即可解决问题． 【解析】解：过点A作AF⊥BC于F， ∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC，AD=CD=6， ∵∠C＝30°， ∴∠DAC＝∠C＝30°， ∴DE=， ∴CE＝AE＝=， ∴AC＝2EC＝， ∴AF=， ∵∠B＝45°，AF⊥BC， ∴∠BAF=180°-∠B-∠AFB=180°-45°-90°=45°， ∴∠BAF=∠B， ∴BF=AF= ∴AB＝×． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形的边的关系，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【典例21】．如图，在中，，，AC的垂直平分线交BC于点D，， 于点E，求BE的长． 【答案】 【分析】连接AD，根据中垂线的性质得DA=，进而得∠ADE=45°，设BE=x，则AB=2x，结合勾股定理，即可求解． 【解析】连接AD， ∵AC的垂直平分线交BC于点D， ∴DA=， ∴∠DAC=， ∴∠ADE=45°， ∵ 于点E， ∴∆ADE是等腰直角三角形， ∴AE=DA÷=÷=3， 在直角∆ABE中，， ∴∠BAE=30°， ∴设BE=x，则AB=2x， ∴AE==， ∴=3，解得：x=， ∴BE=． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 【典例22】．如图，在中，，，D是边的中点，交于点E． (1)求的度数； (2)过点C作垂直于，垂足为点F，如果．求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由中， D是斜边的中点，可得，从而，由外角的，再由得到，从而； （2）根据D是斜边的中点可得，在中，，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”，得到，进而根据勾股定理得到，因此． 【解析】（1）∵在中，， D是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 【典例23】．已知，如图，在中，为边上的中线，且，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据中线的定义推出，进而得到，，推出，根据同角的余角相等，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【解析】（1）证明：为边上的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形．解题的关键是掌握相关知识点，并灵活运用． 【典例24】．如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）过点A作，垂足为E，先利用角平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）解：过点A作，垂足为E，，    ∵平分，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：， ∴的面积为． 【典例25】．如图，中，，，，点分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设    (1)如图1，当点和点重合时，求的面积； (2)如图2，设当点在的延长线上时，，求关于的函数解析式，并求出定义域； (3)若为直角三角形，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． （1）由含 角的直角三角形的性质得再由勾股定理得然后再证最后由三角形面积关系即可得出答案； （2）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得然后由得 则求出的范围即可； （3）分两种情况： ①当时，②当时，由含角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可． 【解析】（1）解： 的面积的面积． （2）解： ∵点在的延长线上， ∴点不与点重合， ∵点是边上的一个动点，， 即关于的解析式为． （3）解：分两种情况： ①当时，如图3所示：    则 由（2）得： 解得： ②当时， 如图4所示：    是等边三角形， 解得： 综上所述，若为直角三角形，的值为或． 一、单选题 1．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．不确定哪个角是直角 【答案】A 【分析】根据题意直接利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出答案． 【解析】解：∵在中，，，的对边分别是a，b，c，且， ∴． ∴b、c是两直角边，a是斜边， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 2．如图，，，，，则（　　） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半． 先求出，再得出，即可推出． 【解析】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图：在中，，，BE平分，交AC于E，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先根据直角三角形的性质和角平分线的定义得到，然后再说明AE=BE，最后代入求解即可． 【解析】解：∵在中，， ∴ ∵平分， ∴ ∴在中， ∵， ∴． ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 4．如图所示，在中，，，D为斜边的中点．若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形斜边中线的性质和角所对的直角边等于斜边的一半性质，熟练掌握性质是解题关键． 首先根据，得到，然后得到． 【解析】解：∵， ∴， ∵点D为的中点 ∴． 故选：B． 5．如图，在等边中，，，，则的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质、垂直的定义、平行线的性质、含的直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质求出，结合垂直的定义、平行线的性质求出，根据含的直角三角形的性质求解即可． 【解析】解：在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在中，，垂直平分，分别交于点D、E，平分，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，先由线段垂直平分线的性质得到，则由含30度角的直角三角形的性质得到，再由角平分线的性质得到，则． 【解析】解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 故选：D． 7．如图，中，为中点，在上，且．若，，则的长度是（    ）    A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出长，根据勾股定理求出即可． 【解析】解：， ， ，为中点， ， ， 由勾股定理得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 8．如图，在中，AB=AC, ∠B=30°，AD⊥AB，AD=4，则下列各式中正确的是（    ）    A．AB=8 B．BC=16 C．DC=4 D．BD=10 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=30°，∠BAD=90°，易证得∠DAC=∠C=30°，即CD=AD=4．Rt△ABD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=2AD=8，由此可求得BC的长，利用勾股定理可求得AB的长，即可一一判断． 【解析】∵AB=AC， ∴∠B=∠C=30°， ∵AB⊥AD， ∴BD=2AD=2×4=8，故D选项错误； ∠B+∠ADB=90°， ∴∠ADB=60°， ∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°， ∴∠DAC=30°， ∴∠DAC=∠C， ∴DC=AD=4，故C选项正确； ∴AB=，故A选项错误； ∴BC=BD+DC=8+4=12，故B选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出BD和CD的长度是解决问题的关键． 9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E从A点出发，沿着A→B的方向运动，联结DE，当△BDE是直角三角形时，BE的值为（　　） A．4 B．1 C．4或1 D．4或7 【答案】C 【分析】根据题意，，当△BDE是直角三角形时，则分和两种情况讨论，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的值 【解析】如图，，BC＝4cm，D为BC的中点，则 当△BDE是直角三角形时， ①当时， ②当时， 故选C 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 10．如图，在等边中，，点P是边上的动点，将绕点A逆时针旋转得到，点D是边的中点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 根据旋转的性质，即可得到，当时，的长最小，再根据勾股定理，即可得到的最小值． 【解析】解：由旋转可得， 又∵ ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 当时，的长最小， 此时，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故选：A． 二、填空题 11．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2，斜边AB的长为2，则Rt△ABC的面积为 ． 【答案】1. 【分析】设AC=a，BC=b，根据题意列出关于a、b的方程组，然后解方程得到ab的值，再利用三角形的面积公式求解即可. 【解析】设AC=a，BC=b， 由题意得， ∴， ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16， ∴ab=2， 则Rt△ABC的面积为ab=1. 故答案为1. 【点睛】本题主要考查勾股定理，解此题的关键在于利用勾股定理列出方程组，然后求得ab的值. 12．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC∶AC∶AB= ． 【答案】1∶∶2 【分析】根据直角三角形中30度角所对直角边为斜边的一半，可设BC=x，则AB=2x，再利用勾股定理求AC的长即可得解. 【解析】已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 设BC=x，则AB=2x， ∴AC==x， 则BC∶AC∶AB=1∶∶2. 故答案为1∶∶2. 【点睛】本题主要考查了30度所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 13．在中，，平分，交于，如果，那么 ． 【答案】/30度 【分析】先画出图形，作，于点E，根据角平分线的性质得，再根据，得，根据直角三角形的性质可得答案． 【解析】如图所示，过点D作，于点E， ∵平分，， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，含的直角三角形的性质等，构造直角三角形是解题的关键． 14．如图，在中，，，是等边三角形，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理和角所对直角边是斜边的一半，过作于点，则，从而可得出，再根据等边三角形的性质得到，最后用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【解析】如图，过作于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴ ∴，解得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 15．如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则 ． 【答案】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得DF=BE，最后根据直角三角形30度的性质得AC=AE，从而得出，即可得出答案． 【解析】证明：如图，联结CE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE,∠EDB=90°， ∴∠EAB=∠B=15°， ∴∠AEC=30°， Rt△EDB中，∵F是BE的中点， ∴DF=BE， Rt△ACE中,∵∠AEC=30°， ∴AC=AE， ∴AC=DF=4． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及30°所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本性质得出线段关系是解题的关键． 16．在中，，点是重心，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的定义与性质，结合勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握重心性质并运用勾股定理列式求解是解题关键．本题先利用重心求出和，再利用勾股定理列式整体法求出，最后利用直角三角形斜边中线性质和重心性质求出． 【解析】解：如图，设延长线交于点，延长线交于点，延长线交于点， ∵点是重心，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ①+②得：， 化简得：， ∴， ∴， ∵点是重心，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，直线AB与x轴交于点，与x轴夹角为30°，将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】如图，过点C作CD⊥x轴于D，根据折叠性质可得∠CAB=∠BAO=30°，AC=OA=2，可得∠ACD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD的长，利用勾股定理可得出CD的长，即可得出点C坐标，代入即可得答案． 【解析】∵A（，0）， ∴OA=2， ∵将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上，∠BAO=30°， ∴∠CAB=∠BAO=30°，AC=OA=2， ∴∠CAO=60°，∠ACD=30°， ∴AD=AC=1，OD=OA=1， ∴CD==， ∵点C在第二象限， ∴点C坐标为（，）， ∵点C在双曲线上， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查折叠性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及反比例函数图象上的点的坐标特征，30°角所对的直角边等于斜边的一半；图形折叠前后对应边相等，对应角相等；正确得出点C坐标是解题关键． 18．在中，，，，（如图），点D是的中点，将沿直线翻折后点A落在点E，那么的长为 . 【答案】 【分析】连接，过点E作于点G，由折叠的性质得，，，，，根据直角三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，根据直角三角形的性质求得，，利用勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理即可求解． 【解析】解：如图，连接，过点E作于点G， 由折叠的性质得，，，，， ∵，，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，， 故答案为：．    【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形外角的性质、折叠的性质，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题 19．房梁的一部分如图所示，其中，点D是的中点，且，垂足为E，求的长． 【答案】，． 【分析】先求出以及长，再根据含30°的直角三角形性质求出答案即可． 【解析】解：，， ， ， ， 为中点，， ， ， ． 【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半． 20．如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AD为ABC角平分线，求CD的长度． 【答案】CD=． 【分析】首先证明CD=DP，AC=AP=8，设CD=DP=x，在Rt△BDP中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解析】解：（1）如图，过点D作AB的垂线，垂足为P，设CD=DP=x 在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6， ∴AB==10， ∵∠CAD=∠PAD，∠C=∠APD=90°，AD=AD， ∴△ADC≌△ADP（AAS）， ∴AC=AP=8，CD=PD，设CD=PD=x， 在Rt△BDP中，∵PB=AB-AP=2，BD=6-x， ∴x2+22=（6-x）2， ∴x=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．如图，，，，，把沿折叠，点折叠到点，的延长线与射线交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先由折叠的性质得出，进而利用直角三角形两锐角互余得出，进而利用30°所对的直角边是斜边的一半即可求解； （2）首先根据勾股定理得出EC的长度，进而求出EB的长度，最后利用求解即可． 【解析】（1）∵把沿折叠，点折叠到点， ∴， ． ， ． ， ； （2）， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查折叠与勾股定理，掌握折叠的性质及勾股定理的内容是关键． 22．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC. （1）求证：BD平分∠ABC； （2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长. 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）直接利用直角三角形的性质得出，再利用DE∥BC，得出∠2＝∠3，进而得出答案； （2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3＝60°，，得出DB的长，进而得出EC的长. 【解析】（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点， ∴. ∴∠1＝∠2. ∵DE∥BC， ∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3. ∴BD平分∠ABC. （2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°， ∴∠1＝60°. ∴∠3＝∠2＝60°. ∵∠BCD＝90°， ∴∠4＝30°. ∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°. 在Rt△BCD中，∠3＝60°，， ∴DB＝2. ∵DE＝BE，∠1＝60°， ∴DE＝DB＝2. ∴. 【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出DB，DE的长是解题关键. 23．已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由全等三角形的判定定理HL证得结论即可； （2）结合（1）中全等三角形的对应边相等得到DC=DH，结合直角三角形斜边中线性质得到，然后证明是等边三角形，推出，根据得到，即可求出． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴（HL）． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30度角的性质等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上一动点，以线段为一边，在其一侧作等边．当点运动到原点处时，记的位置为．    (1)求点的坐标； (2)当点在轴上运动（不与重合）时，求证：； (3)是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或 【分析】（1）根据题意作辅助线过点作轴于点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求出点的坐标， （2）根据，可知，得出总成立，得出当点在轴上运动不与重合）时，为； （3）根据点在的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果． 【解析】（1）解：过点作轴于点，    ，为等边三角形， ，， ∴， ∴， ， 即； （2）证明：当点在轴上运动不与重合）时， ， ， 在和中， ， ；    （3）由（2）可知，点总在过点且与垂直的直线上，可见与不平行． ①当点在轴负半轴上时，点在点的下方， 此时，若，四边形即是梯形， 当时，，． 又，可求得， 由（2）可知，， ， 此时的坐标为． ②当点在轴正半轴上时，点在的上方，    此时，若，四边形即是梯形， 当时，，． 又，可求得， 由（2）可知，， ， 此时的坐标为． 综上，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定及性质，难度适中． 25．如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是梯形； (2)如果，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6或16 【分析】（1）证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，进而得到，根据，与相交，得到与不平行，即可证明四边形是梯形； （2）分，，，三种情况讨论即可． 【解析】（1）证明：， ， 为的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，即， ，与相交， 与不平行， 四边形是梯形； （2）解：为等腰三角形， 如图，当时， 为的中点， ， ，， ； 如图，当时，过点F作，垂足为H， 由（1）知四边形是平行四边形， ，即， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 如图，当时， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 此时，点与点B重合，不符合题意， 综上，当为等腰三角形时，的长为6或16． 【点睛】本题考查梯形的判定，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的特征，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 26．如图，在中，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过点作交射线于点，连接，点是的中点，过点、作直线，交于点，连接、．      (1)当点在边上，设，，写出关于的函数关系式； (2)判断的形状，并给出证明； (3)如果，求的长． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）先证为等腰直角三角形，由勾股定理得，再由即可得出答案； （2）由题意得，再由点是的中点知，，则，，，可推出，据此可得答案； （3）分点在线段上和线段延长线上两种情况，分别求出、的长，即可得出答案． 【解析】（1）解：，， ，， 又， 为等腰直角三角形， ，， ， 又， ， ； （2）证明：，， ， 点是的中点， ，， ，，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图1，当点在线段上时，，，    ， ， ，即， ， 又， ，， 在中，， ，即， ， ； 如图2，当点在线段的延长线上时，，，，    同理可得，， 在中，， ， 综上，如果，的长为或． 【点睛】本题主要是三角形的综合问题，主要考查等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含直角三角形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 48 页 学科网（北京）股份有限公司 $$