第10讲 相似三角形压轴题（二类知识点+六大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第10讲 相似三角形压轴题（六大题型） 学习目标 1、掌握相似压轴题的切入点； 2、综合分析法解相似三角形压轴题。 相似三角形压轴题答题技巧 相似三角形压轴题，解题需找好四大切入点： 切入点一：做不出、找相似，有相似、用相似 压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。 切入点二：构造定理所需的图形或基本图形 在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。对于北京中考来说，只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的，其余的全都涉及到辅助线的添加问题。中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。 切入点三：紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论 在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。 切入点四：在题目中寻找多解的信息 图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解，如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题，其实多解的信息在题目中就可以找到，这就需要我们深度的挖掘题干，实际上就是反复认真的审题。 【即学即练1】 （2023·上海崇明·一模）已知中，，，点为射线上的一个动点（不与重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图，当点在线段上时，与交于点，求证：； (2)在（1）的情况下，射线与的延长线交于点，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 【即学即练2】（22-23九年级上·上海·期中）在矩形中，，，点是边上的一点，交于点，点在射线上且满足． (1)如图1，求证； (2)如图2，当点在线段上，联结，，求的长； (3)联结，如果与以、、为顶点所组成的三角形相似，求的长． 题型1：解答证明题 【典例1】．（2023八年级下·上海·专题练习）已知：中，对角线，点为边上一点，点为延长线上一点，连接，．    (1)如图1，若，交于点，求的长； (2)如图2，若，求证：． 【典例2】．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）已知，在中，，的顶点D在边上，交于点F（点F在点D的右侧），．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)若，连接，写出与的位置关系，并证明结论． 题型2：比值问题 【典例3】．（23-24八年级上·上海松江·期末）在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点． (1)如图1，点是的中点，，如果，求的长； (2)已知， ①如图2，连接，求证：平分； ②如图3，延长至点，连接交线段于点，当，且点是中点时，求的值． 【典例4】．（23-24九年级上·上海松江·期末）在中，．点D是射线上一点（不与A、C重合），点F在线段上，直线交直线于点E，． (1)如图，如果点D在的延长线上 ①求证：； ②联结，如果，，求的长． (2)如果，求：的值． 【典例5】．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，交于点，联结、，延长交于点．    (1)求证：； (2)当时， ①若，，求的长； ②若，联结，求的值． 题型3：存在性问题 【典例6】．（2020·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【典例7】．（23-24九年级上·上海·阶段练习）矩形中，，，动点在边上，不与点、重合，过点作的垂线，交直线于点，交射线于点． (1)如图，当点在延长线上时，求的值；在点的运动过程中，的值是否发生改变？ (2)设，用含的代数式表示线段的长； (3)如果点在延长线上，当与相似时，求的长． 【典例8】．（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 题型4：旋转、翻折问题 【典例9】．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知：在中，，将绕点C旋转使点B落在直线上的点D处，点A落在点E处，直线与直线相交于点F，射线与射线相交于点P，． (1)如图，连接，当时， 求证：①四边形是等腰梯形； ②是与的比例中项． (2)当点D与点A的距离为5时，求的长． 【典例10】．（23-24八年级下·上海·期末）在直角梯形中，，，，，，点是射线上的动点（不与点重合）    (1)将沿者直线翻折，点落在处，射线交边于点． ①如图，当点在边上时，求证：； ②当中有一条边平行于时，求的长； (2)当点在的延长线上时，连接，射线与射线交于点，且，求的值． 【典例11】．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图（1），在直角三角形中，，，．，点是边上的动点，作，交于点，与相交于点．    (1)求证：． (2)如图2，将沿翻折，点落在处，直线交于点． ①当时，求的长． ②当时，求的长． 题型5：取值范围问题 【典例12】．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，以，为边在外部作等边三角形和等边三角形，且连接． (1)如图1，连接，，求证：； (2)如图2，延长交线段于点． ①当点为线段中点时，求的值； ②请用直尺和圆规在直线上方作等边三角形（不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点在的内部时，求的取值范围． 题型6：列函数解析式问题综合 【典例13】．（21-22九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD交射线CB于点E，设AD＝x． （1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长； （2）当△BED是等腰三角形时，求x的值； （3）如果，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 【典例14】．（21-22九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果点在对角线上，联结并延长，交边于点，交线段的延长线于点（点可与点重合），，设长度是是常数，且，，，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）在第（2）小题的条件下，当是等腰三角形时，求的长（计算结果用含的代数式表示） 【典例15】．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在菱形中，，，点E、F分别在边上，的延长线交的延长线于点G，且． (1)如果，求线段的长； (2)设，，求y与x的函数关系式； (3)连接交于点H，如果，求线段的长． 【典例16】．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在正方形中，，点M是边的中点，点E是边上的一个动点，交于点G，交射线于点F． (1)如图①，当点E与点B重合时，求证：． (2)如图②，当点F在线段上时，设为x，梯形的面积为y，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． (3)若，求点A到线段的距离． 一、解答题 1．已知中，，，E是射线上一点（不与点B重合），线段的垂直平分线与边交于点D. (1)点E在边上， ①如图1，连接，如果平分，求的长； ②如图2，射线交射线于点F，设，，求y关于x的的数解析式，并写出定义域. (2)如果是直角三角形，求的长. 2．在梯形中，，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），连接，过点E作交射线于点F，连接．设，．    (1)求的长； (2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 3．如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F． （1）当时， ①求证：； ②连结，若，求的值； （2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形． 4．在矩形中，，点为边中点，点关于的对称点为点，点在矩形内，连接．    (1)如图1，连接，当点恰好落在对角线上时，求的长度； (2)如图2，连接，如果，，请求出它们之间的函数关系式； (3)连接，如果是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长度． 5．已知菱形边长为4，对角线长为2，点、分别是边、上的动点，且，延长交射线于点． (1)如图1，如果，求的面积； (2)如图2，如果点为边的中点，求的长； (3)延长交射线于点，联结．如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 6．已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设． （1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结， ①当时，求线段的长； ②在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值； （2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 相似三角形压轴题（六大题型） 学习目标 1、掌握相似压轴题的切入点； 2、综合分析法解相似三角形压轴题。 相似三角形压轴题答题技巧 相似三角形压轴题，解题需找好四大切入点： 切入点一：做不出、找相似，有相似、用相似 压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。 切入点二：构造定理所需的图形或基本图形 在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。对于北京中考来说，只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的，其余的全都涉及到辅助线的添加问题。中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。 切入点三：紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论 在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。 切入点四：在题目中寻找多解的信息 图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解，如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题，其实多解的信息在题目中就可以找到，这就需要我们深度的挖掘题干，实际上就是反复认真的审题。 【即学即练1】（2023·上海崇明·一模）已知中，，，点为射线上的一个动点（不与重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图，当点在线段上时，与交于点，求证：； (2)在（1）的情况下，射线与的延长线交于点，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】(1)先证得到，结合证明即可． (2)根据，先证得到，结合，证得到，求得，根据计算即可． (3)过点F作于点M，结合，设，根据勾股定理计算即可． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵， ∴，，， ∴， ∴， 解得； 由(1)得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）如图，过点F作于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【即学即练2】（22-23九年级上·上海·期中）在矩形中，，，点是边上的一点，交于点，点在射线上且满足． (1)如图1，求证； (2)如图2，当点在线段上，联结，，求的长； (3)联结，如果与以、、为顶点所组成的三角形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明，得到，利用同角的余角相等，得到：，即可得证； （2）证明，求出的长，从而求出的长，再证明，求出的长，利用，求出的长，再用即可求出的长； （3）分和，两种情况，进行讨论求解即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∵，即：， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 当与以、、为顶点所组成的三角形相似时， ①，如图： 由（2）知：； ②，如图： ∵， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．注意，分类讨论． 题型1：解答证明题 【典例1】．（2023八年级下·上海·专题练习）已知：中，对角线，点为边上一点，点为延长线上一点，连接，．    (1)如图1，若，交于点，求的长； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过作于，作，交于，则，证，则，，，再由勾股定理得，然后证，即可得出答案； （2）延长至，使，连接，证，得，再证，则，进而得出结论． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， 即是等腰直角三角形， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 过作于，作，交于，    则， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； （2）证明：延长至，使，连接，如图2所示：    ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是等腰梯形， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等腰梯形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 【典例2】．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）已知，在中，，的顶点D在边上，交于点F（点F在点D的右侧），．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)若，连接，写出与的位置关系，并证明结论． 【答案】(1)见解析 (2)或3 (3)平行，见解析 【分析】（1）根据等边对等角得出，再由三角形内角和定理及各角之间的关系得出，利用相似三角形的判定证明即可； （2）作于H，利用含30度角的直角三角形的性质及相似三角形的判定得出，设，则，代入求解即可； （3）连接，根据相似三角形的性质及等量代换得出，再利用相似三角形的判定和性质确定，根据内错角相等，两直线平行即可证明 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）作于H，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或3； （3）平行，证明如下： 连接，如图所示，    ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、一元二次方程的应用等知识，理解题意，作出相应辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 题型2：比值问题 【典例3】．（23-24八年级上·上海松江·期末）在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点． (1)如图1，点是的中点，，如果，求的长； (2)已知， ①如图2，连接，求证：平分； ②如图3，延长至点，连接交线段于点，当，且点是中点时，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析  ② 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后证明即可解题； （2）①过作于，交延长线于，证明，根据角平分线的判定定理即可得到结论；②过作于，交延长线于，则有，即，然后推出，得到，然后根据求出比值即可． 【解析】（1）解：连， ∵是中点，， ∴ ∵， ∴ ∴； （2）①过作于，交延长线于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分； ②过作于，交延长线于， ∵， ∴ ∴, ∵， ∴，      ∴，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， 设， ∴， ∴，        ∴ ∵，       ∴ ∴       ∴， ∴是的中点 ∴ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【典例4】．（23-24九年级上·上海松江·期末）在中，．点D是射线上一点（不与A、C重合），点F在线段上，直线交直线于点E，． (1)如图，如果点D在的延长线上 ①求证：； ②联结，如果，，求的长． (2)如果，求：的值． 【答案】(1)①见详解；② (2)的值为1 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）①由，得，因为，所以，得，由，得，所以，则，即可证明； ②由，得，则，可证明，得，所以，而，得，所以，则，求得，于是得，求得； （2）分两种情况，一是当点在的延长线上，联结，作交的延长线于点，可证明，得，再证明，得，则；二是当点在线段上，可证明与不相似，则不存在的情况． 【解析】（1）证明：如图1，∵， ， ， ， ， ②如图， 解得或（舍去）， （2）如图2，点在的延长线上， 联结，作交的延长线于点，则 ∴， ∵， 在和中， ， 在和中， 如图3，点在线段上， 与不相似， 不存在的情况， 综上所述，的值为1． 【典例5】．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，交于点，联结、，延长交于点．    (1)求证：； (2)当时， ①若，，求的长； ②若，联结，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据条件可证得，即可证明结论． （2）①根据，求得，证明出四边形是菱形，得出，证明，得出比例式，解方程，即可求解； ②由条件可得，由相似比可得，由，得到点是的黄金分割点，可得出，即可得出结论． 【解析】（1）证明：平分， ， ，， ， ， ， ， 即． （2）①， ，，， 在和中， ， ， 四边形是菱形， 即， 解得： ②， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点是的黄金分割点， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定及黄金分割点等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关键． 题型3：存在性问题 【典例6】．（2020·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，过点作射线，点、是射线上的两点（点不与点重合，点在点右侧），联结、分别交边于点、，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)联结并延长交边于点，如果是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是或或． 【分析】（1）利用勾股定理计算和的长，再证明，列比例式可得的长； （2）如图1，先证明，得，再证明，得，分别表示，和的长，代入比例式计算即可；根据无限接近时，的值接近4，可得的取值； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据平行线分线段成比例定理列比例式，结合方程可解答． 【解析】（1）解：∵， ， ， ， 由勾股定理得：， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ，， 同理得：， ， ； 如图2，当点在直线上时，， ，， ， ， 的取值范围是； （3）解：分三种情况： ①当时，如图3，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ，即， ， ， ， ， ，（舍， ； ②当时，如图4， 由勾股定理得：， 由（2）同理得：， ∵， ， ，即， ， 解得：， ； ③当时，如图5，过点作于， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ， ， ， 综上，的长是或或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想解决问题，并与方程相结合，本题计算量大，属于中考压轴题． 【典例7】．（23-24九年级上·上海·阶段练习）矩形中，，，动点在边上，不与点、重合，过点作的垂线，交直线于点，交射线于点． (1)如图，当点在延长线上时，求的值；在点的运动过程中，的值是否发生改变？ (2)设，用含的代数式表示线段的长； (3)如果点在延长线上，当与相似时，求的长． 【答案】(1)不变，理由见解析 (2)或； (3)当与相似时，的长为或． 【分析】（1）分点在延长线上、点在上两种情况，证明，根据相似三角形的性质解答； （2）分点在延长线上、点在上两种情况，根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算，得到答案； （3）分、两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【解析】（1）解：如图1，设与交于点， 当点在延长线上时， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2，当点在上时， 同理可证，， ， 综上所述，在点的运动过程中，的值不发生改变； （2）解：如图1，当点在延长线上时， ，， ， 由（1）可知：， ， ∵， ，即， 解得：； 如图2，当点在上时， ，， ， 由（1）可知：， ， ∵， ，即， 解得：； （3）解：如图3，当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，设，则，， ， ∵， ，即， 解得：， ， ，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， 综上所述：当与相似时，的长为或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【典例8】．（21-22九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或． 【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案； （2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案； （3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得． 【解析】解：（1）∵AD∥BC， ∴，． ∵DB=DC=15，DE=DF=5， ∴， ∴， ∴BG=CH． （2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q． ∵DB=DC=15，BC=18， ∴BP=CP=9，DP=12． ∵， ∴BG=CH=2x， ∴BH=18+2x． ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴DN＝． ∵AD∥BC， ∴∠ADN=∠DBC， ∴sin∠ADN=sin∠DBC， ∴， ∴NQ＝． ∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)． （3）∵AD∥BC， ∴∠DAN=∠FHG． （i）当∠ADN=∠FGH时， ∵∠ADN=∠DBC， ∴∠DBC=∠FGH， ∴BD∥FG， ∴， ∴， ∴BG=6， ∴AD=3． （ii）当∠ADN=∠GFH时， ∵∠ADN=∠DBC=∠DCB， 又∵∠AND=∠FGH， ∴△ADN∽△FCG． ∴， ∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0， 解得x＝，或x＝（舍去）． 综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或． 【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点． 题型4：旋转、翻折问题 【典例9】．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知：在中，，将绕点C旋转使点B落在直线上的点D处，点A落在点E处，直线与直线相交于点F，射线与射线相交于点P，． (1)如图，连接，当时， 求证：①四边形是等腰梯形； ②是与的比例中项． (2)当点D与点A的距离为5时，求的长． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)或 【分析】（1）①证明，，再证明，可得，证明与不平行，结合，可得梯形是等腰梯形．②证明，，可得，即是与的比例中项． （2）分两种情况讨论：（i）当时，点D在边上．证明，可得．求解（负根舍去），证明，再利用相似三角形的性质可得答案，（ii）当时，点D在边的延长线上．同理可得答案． 【解析】（1）证明：①由旋转条件，得，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴与不平行． ∴四边形是梯形． ∵， ∴梯形是等腰梯形． ②∵， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴， ∴． ∴，即是与的比例中项． （2）（i）当时，点D在边上． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴（负根舍去）， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 解得． （ii）当时，点D在边的延长线上． 同理可得：． ∴． ∵， ∴， ∴，即． 解得． 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 【典例10】．（23-24八年级下·上海·期末）在直角梯形中，，，，，，点是射线上的动点（不与点重合）    (1)将沿者直线翻折，点落在处，射线交边于点． ①如图，当点在边上时，求证：； ②当中有一条边平行于时，求的长； (2)当点在的延长线上时，连接，射线与射线交于点，且，求的值． 【答案】(1)①见解析；②或 (2) 【分析】（1）①根据折叠的性质和，可推出，即可证明；②分情况讨论，当时，可推出四边形为平行四边形，得到，设，则，，，根据，推出，最后利用勾股定理，即可得到；当时，连接，作，可得四边形是平行四边形，结合勾股定理得到，然后证明，可设，则，，最后利用，即可求得； （2）连接，作于点，证明，，，，设，则，，，，由得到值，再由和得到，最后由得到答案． 【解析】（1）①证明：根据折叠的性质， 又 ②解：第一种情况：根据题意，当时，如图 ， 四边形为平行四边形 设，则， 又， 由题意可知， ，即 解得：，（舍去负值） 第二种情况：根据题意，当时，连接，作，如图所示： ，， ，， 又 四边形是平行四边形 又， 又， ， 又根据折叠的性质，可知 设，则， 由①可知， 由题意可知，， ，即 综上所述，或． （2）解：连接，作于点，如图 由（1）可知， 又 ， 又 设，则， ， 又， ，即 解得： ， ，即 又， 的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 【典例11】．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图（1），在直角三角形中，，，．，点是边上的动点，作，交于点，与相交于点．    (1)求证：． (2)如图2，将沿翻折，点落在处，直线交于点． ①当时，求的长． ②当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质并能够熟练应用是解本题的关键， （1）证明，即可得到结论； （2）①如图2中，过点作于，证明,推出，可得结论；②分两种情况：当点在的上方时，如图3，过点作于，设，当点落在的下方时，如图4中，分别利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）证明：如图1所中：      ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图2中：    ∵沿翻折， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ②当点在上方时，如图3中，过点作于，设．    ∵沿翻折， ∴，，，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，． ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 当点落在下方时，如图4中，    同法可得， ∴或（舍去）， ∴． ∵， ∴此种情形不符合题意，舍去． 综上所述，． 题型5：取值范围问题 【典例12】．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，以，为边在外部作等边三角形和等边三角形，且连接． (1)如图1，连接，，求证：； (2)如图2，延长交线段于点． ①当点为线段中点时，求的值； ②请用直尺和圆规在直线上方作等边三角形（不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点在的内部时，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由等边三角形的性质得出相等的边和相等的角，再利用角的和得出，从而得出全等． （2）①根据已知条件得出，再根据得出的结论证明，从而得出是等边三角形，求出即可． ②作等边三角形，由作法可以证明是等边三角形，分类讨论当在边上时，当在边上时，分别求出的值，即可得出的取值范围． 【解析】（1）证明：等边三角形和等边三角形， ，，， ， ； （2）解：①如图2，延长到点，使，连接、， 是的中点， ， ， ， ，， ，都是等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， ， ． ②如图3，分别以、为圆心，长为半径在上方画弧，两弧交于点，连接、， 则为所求作的等边三角形， 由作图可知，所以为等边三角形， 当在边上且为中点时，由①知： 可得， 当在边上时，如图4，延长交于点，过点作的平行线，交延长线于点，交延长线于点，延长、交于点， ，， ， ，， ， ， ， 和是等边三角形， 设，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ，化简得， ， ， 的取值范围是． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，尺规作图，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 题型6：列函数解析式问题综合 【典例13】．（21-22九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD交射线CB于点E，设AD＝x． （1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长； （2）当△BED是等腰三角形时，求x的值； （3）如果，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 【答案】（1）；（2）或2；（3）（0＜x＜10） 【分析】（1）先由勾股定理求出BC的长，再由D为斜边上的中点，找条件证明△EDC∽△ACB即可求出DE的长； （2）分E在BC边上和延长线上两种情况考虑，利用等腰三角形的性质计算即可； （3）作DM垂直于BC，得到DM与AC平行，由平行得比例，表示出DM与BM，进而表示出CD与CM，由三角形DEM与三角形CDM相似得比例，表示出DE，由BD=AB-AD=10-x，将DE与DB代入表示出y，化简得到结果，并求出x的范围即可． 【解析】（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC＝6， ∴BC=8， ∵点D为斜边AB的中点， ∴CD=AD=BD=5， ∴∠DCB=∠DBC， ∵∠EDC=∠ACB=90°， ∴△EDC∽△ACB， ∴，即， 解得； （2）分两种情况情况： （i）当E在BC边上时， ∵△BED为等腰三角形，∠BED为钝角， ∴EB=ED， ∴∠EBD=∠EDB， ∵∠EDC=∠ACB=90°， ∴∠CDA=∠A， ∴CD=AC， 作CH⊥AB，垂足为H， 那么AD=2AH， ∴ ∴， ∴， 即； （ii）当E在CB延长线上时， ∵△BED为等腰三角形，∠DBE为钝角， ∴BD=BE， ∴∠BED=∠BDE， ∵∠EDC=90°， ∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠BDC=90°， ∴∠BCD=∠BDC， ∴BD=BC=8， ∴AD=x=AB-BD=10-8=2； 综上所述，当△BED是等腰三角形时，x的值为或2 （3）作DM⊥BC，垂足为M， ∵DM∥AC， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵△DEM∽△CDM， ∴ ∴ ∴， 整理得：（0＜x＜10）． 【点睛】此题属于相似型综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 【典例14】．（21-22九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果点在对角线上，联结并延长，交边于点，交线段的延长线于点（点可与点重合），，设长度是是常数，且，，，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）在第（2）小题的条件下，当是等腰三角形时，求的长（计算结果用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或时，为等腰三角形 【分析】（1）由题意先判断出∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，进而得出∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，即可得出结论； （2）由题意先判断出△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC，得出比例式，即可得出结论； （3）根据题意分三种情况，①当CE=EG时，判断出点F，G和点D重合，即：AF=AB，即可得出结论，②当CG=CE时，先判断出∠FDG=∠FGD，得出FG=FD，即可得出AF=BF，进而判断出FB=AC，即可得出结论；③当EG=GE时，判断出∠CEG=∠CBF，而∠CEG=∠CBF+∠ACB，进而判断出此种情况不存在． 【解析】解：（1）证明：， ， 又平分 ，， ， 四边形为平行四边形 又 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， 即 ； （3）解：是等腰三角形， ①当时， ， ， ， ， ， 此时，点，和点重合， ， ， 即， ②当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 （负值已舍）， ③当时， ， ， ， ， 此种情况不存在． 综上所述：或时，为等腰三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分类讨论的思想，解答本题的关键是找出相关角之间关系． 【典例15】．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在菱形中，，，点E、F分别在边上，的延长线交的延长线于点G，且． (1)如果，求线段的长； (2)设，，求y与x的函数关系式； (3)连接交于点H，如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据菱形的性质得到，证明，得到，推出，求出，即可求解； （2）过点A作与点H，连接，根据菱形的性质结合，证明是等边三角形，得到，，进而求出，根据，证明，推出，设，则，利用勾股定理即可求出，即可得出结论； （3）过点H作，垂足分别为，根据平分，得到，根据，得到，由（2）知，求出，代入（2）中关系式计算即可． 【解析】（1）解：菱形中，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点A作与点H，连接， 菱形中，，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，则， ， ； （3）解：如图，过点H作，垂足分别为， 菱形中，平分， ， ，即， ， 由（2）知， ， ， ， 由（2）知， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形相似的判定及性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解题的关键是做出相应的辅助线，熟练掌握三角形的判定定理． 【典例16】．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，在正方形中，，点M是边的中点，点E是边上的一个动点，交于点G，交射线于点F． (1)如图①，当点E与点B重合时，求证：． (2)如图②，当点F在线段上时，设为x，梯形的面积为y，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． (3)若，求点A到线段的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． （1）证明，根据全等三角形的性质证明； （2）作于H，根据全等三角形的性质求出，再根据梯形的面积公式计算即可； （3）根据题意进行分类讨论：①当点F在线段上时，通过证明，即可解答；②当点F在延长线上时，通过证明，即可解答． 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， 适应， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：作于H， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，点M是边的中点， ∴， 设为x，则，， ∴， ∵梯形的面积， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴y与x的函数解析式为． （3）解：①当点F在线段上时， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即点A到线段的距离为； ②当点F在延长线上时： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即点A到线段的距离为 综上：点A到线段的距离或． 一、解答题 1．已知中，，，E是射线上一点（不与点B重合），线段的垂直平分线与边交于点D. (1)点E在边上， ①如图1，连接，如果平分，求的长； ②如图2，射线交射线于点F，设，，求y关于x的的数解析式，并写出定义域. (2)如果是直角三角形，求的长. 【答案】(1)① ② (2)或 【分析】（1）①连接，在BC上截取，连接，过A点作于点N，证得，然后表示出长，利用得到，代入计算解题即可；②过点作于点，点作于点，根据相似三角形用，表示得到，和的长，然后利用得到关系式； （2）分和两种情况分别画图解题即可． 【解析】（1）①连接，在BC上截取，连接，过A点作于点N， ∴， ∴， 设， ∵线段的垂直平分线与边交于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：，即； ②过点作于点，点作于点， 由①得， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即∴， ∴，， ∴， 又∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴， 即， ∵点在边上， ∴， ∴ ∴定义域为； （2）解：如图，过点作于点， 根据②可得：，， ∴ ∴， 当时，， 即， 解得：（舍去），， 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， 综上所述，当的长为或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．在梯形中，，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），连接，过点E作交射线于点F，连接．设，．    (1)求的长； (2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)6； (2)； (3)或或； 【分析】本题考查矩形得判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形，勾股定理： （1）过点作，可得四边形为矩形，利用勾股定理求出的长即可； （2）证明，列出比例式进行求解即可； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【解析】（1）解：过点作与点，    ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 整理，得：， ∵点E在线段上， ∴， ∴； （3）当点在线段上时， ①当时，如图，过点作与点， ∵，， ∴，    由（1）知，， ∴， 由（2）知：， 当时，，解得：或， 即：或； ②当时， ∵， ∴此种情况不存在； 当点在线段的延长线上时：如图，    则：，， 同法（2）可得：， ∴ 即：， 整理，得：， ∵是以为腰的等腰三角形，则：， 在中：， 在中：， 在中：， 整理，得：， ∵， ∴， 整理，得：， 解得：或（不符合题意舍去）； ∴， 综上：或或． 3．如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F． （1）当时， ①求证：； ②连结，若，求的值； （2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形． 【答案】（1）①见解析；②；（2）当或2或时，是等腰三角形． 【分析】（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出，得到，由，，得到AC是EF的垂直平分线，得到，，再根据已知条件证明出，算出面积之比； （2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当时，，得到CE= ；当时，，得到CE=2；当时，，得到CE= ． 【解析】（1）①证明：在菱形中， ， ， ， ， ∴（ASA）， ∴． ②解：如图1，连结． 由①知，， ． 在菱形中，， ∴， 设，则． ， ∴， ∴， ∴． （2）解：在菱形中，， ， ， 同理，， ∴． 是等腰三角形有三种情况： ①如图2，当时，， ， ， ， ． ②如图3，当时， ， ， ， ∴． ③如图4，当时， ， ， ， ． 综上所述，当或2或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题，解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂），通过证明三角形相似，利用相似比求出所需线段的长． 4．在矩形中，，点为边中点，点关于的对称点为点，点在矩形内，连接．    (1)如图1，连接，当点恰好落在对角线上时，求的长度； (2)如图2，连接，如果，，请求出它们之间的函数关系式； (3)连接，如果是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）通过矩形的性质和对称的性质，证明，从而得到，由，点为边中点，进行计算即可得到答案； （2）令和相交于点，由点关于的对称点为点，得到点为的中点，，从而得到为的中位线，即，根据勾股定理求得的长，根据三角形的面积得出，最后根据勾股定理求出的长即可得到答案； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行计算即可得到答案． 【解析】（1）解：四边形是矩形， ， 点关于的对称点为点， ， ， ， ， ， 点为边中点， ， ， ； （2）解：如图所示，令和相交于点，   ， 点关于的对称点为点， 点为的中点，， 点为边中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，如图所示：   ， 点关于的对称点为点， ， ， ； 当时，如图所示：   ， 作交于点，作交于， 由题意可得：， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）可得：， ， ， ， 解得：， ， 的长为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理、三角形的面积的计算等知识，熟练掌握矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解决问题，是解本题的关键． 5．已知菱形边长为4，对角线长为2，点、分别是边、上的动点，且，延长交射线于点． (1)如图1，如果，求的面积； (2)如图2，如果点为边的中点，求的长； (3)延长交射线于点，联结．如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)； (2)1； (3)或 【分析】（1）联结，根据菱形的性质得到，，，由勾股定理得到，从而得到，证明，得到，证明，得到，即可求出的面积； （2）过点A作于点H，由是中点，可知，由（1）可知，进而得到，，再由勾股定理得到，然后根据菱形性质，得到，，证明，得到，即可求出的长； （3）①当时，过点A作，，利用“”证明，得到，再利用“”证明，得到，然后利用“”证明，得到，从而得到，根据，得到，算出，最后根据，即可求出的长； ②②当时，联结，先证明，再证明，得到，进而证明，得到，推出，证明四边形是平行四边形，为中点，最后应用（2）的结论得到，证明，即可求出的长． 【解析】（1）解：如图1，联结交于O， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，过点A作于点H， 是中点， ， 由（1）可知，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当时，如图3，过点A作，，垂足分别为P、Q， 则， 四边形是菱形， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4，联结， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为中点， 由（2）的结论可得：， ， ， ， ， ， 综上所述，如果是以为腰的等腰三角形，的长为或． 【点睛】本题属于图形综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 6．已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设． （1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结， ①当时，求线段的长； ②在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值； （2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式． 【答案】（1）①；②，h最大值=；（2） 【分析】（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M，先证明，可得FM =，CM=，进而即可求解；②由，得CP=，把绕点A顺时针旋转90°得，可得EQ =DQ+BE，利用勾股定理得DQ=，EQ=，QP=，结合三角形面积公式，即可得到答案； （2）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)，F(1+m，m)，从而求出AE的解析式为：y=x+1，AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2，再分两种情况：①当0≤m≤时，②当m＞时，分别求解即可． 【解析】解：（1）①过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M， ∵在等腰直角三角形中，，AE=FE，在正方形中，∠B=90°， ∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB， ∴∠BAE=∠FEM， 又∵∠B=∠FME， ∴， ∴FM=BE=，EM=AB=BC， ∴CM=BE=， ∴CF=； ②∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠ECP=90°， ∴， ∴，即：， ∴CP=， 把绕点A顺时针旋转90°得，则AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即：∠GAE=∠EAF=45°， ∵∠ABG=∠ABE=90°， ∴B、G、E三点共线， 又∵AE=AE， ∴， ∴EQ=EG=GB+BE=DQ+BE， ∴在中，，即：， ∴DQ=， ∴EQ= DQ+BE=+m=，QP=1--()=， ∴，即：×(1-m)= ×h， ∴=，即m=时，h最大值=； （3）以点B为坐标原点，BC 所在直线为x轴，建立直角坐标系，则E(m，0)，A(0，1)， ∵直线m过AB的中点且垂直AB， ∴直线m的解析式为：x=， 过点F作FM⊥x轴于点M，由（1）可知：，即FM=BE，EM=AB， ∴F(1+m，m)， 设AE的解析式为：y=kx+b， 把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得，解得：， ∴AE的解析式为：y=x+1， 同理：AF的解析式为：y=x+1，EF的解析式为：y=mx-m2， ①当0≤m≤时，如图，G(，)，N(，m-m2)， ∴y=-(m-m2)=， ②当m＞时，如图，G(，)，N(，)， ∴y=-=， 综上所述：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，添加辅助线构造全等三角形，建立坐标系，把几何问题用代数的方法解决，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 77 页 学科网（北京）股份有限公司 $$