精品解析：安徽省安庆市九一六学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

安庆九一六学校2023—2024学年高一第二学期期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则这个学校共有高中学生的人数为（ ） A. 1350 B. 675 C. 900 D. 450 2. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 棱长为的正方体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 中，若，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 总体由编号为的个个体组成，利用随机数表从中抽取个个体，下面提供随机数表的第行到第行： 若从表中第行第列开始向右依次读取，则抽取的第个个体的编号是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱锥的体积为2，底面积为6，为侧棱的中点，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 8. 在锐角中，若，则的取值范围是（   ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为2 B. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限 C. z的共轭复数 D. 10. 如图垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆上异于，的任一点，则下列结论中正确的是（ ） A B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 最大内角是最小内角的2倍 D. 若，则外接圆半径为 12. 对于四面体，以下命题中正确的命题是 A. 若，则，，与底面所成的角相等 B. 若，，则点在底面内的射影是的内心 C. 四面体的四个面中最多有四个直角三角形 D. 若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为______． 14. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的体积为____________. 15. 已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为__． 16. 已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于，则球O的体积为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知复数，（其中为虚数单位）． （Ⅰ）求复数； （Ⅱ）若复数在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 18. 已知． （1）求； （2）当为何值时，与垂直? 19. 如图，在中，，点在线段上，且.求： （1）的长； （2）的大小. 20. 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，，，，. （1）求证：PD⊥平面PBC； （2）求直线AB与平面PBC所成角正弦值. 21. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 22. 如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使． （1）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （2）求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安庆九一六学校2023—2024学年高一第二学期期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则这个学校共有高中学生的人数为（ ） A. 1350 B. 675 C. 900 D. 450 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抽样比，即可求出学生总数. 【详解】由题意可得抽样比为，所以学生总数为，即这个学校共有高中学生900人． 故选：C. 2. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行、线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】A：当时，如果l是平面，外一条直线，当时，显然，成立，这时不成立，故本选项的命题不正确； B：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为，所以在平面内一定存在一条直线，而，所以， 根据面面垂直的判定定理可知，因此本选项的命题正确； D：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； 故选：C 3. 棱长为的正方体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出内切球的半径，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】棱长为的正方体的内切球的半径为，故该球的表面积为. 故选：A. 4. 在中，若，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】∵，∴， ∵，∴. 故选：B. 5. 总体由编号为的个个体组成，利用随机数表从中抽取个个体，下面提供随机数表的第行到第行： 若从表中第行第列开始向右依次读取，则抽取的第个个体的编号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从第行第列开始向右依次读取，注意：不在编号范围内的和重复的要去除. 【详解】利用随机数表从第行第列开始向右读取，依次为09，84（去除），96（去除），57（去除），，09（重复，去除），84（去除），73（去除），03，所以抽取的第个个体的编号是03. 故选：B. 6. 已知正四棱锥的体积为2，底面积为6，为侧棱的中点，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】采用数形结合，根据，可得平面，然后找到直线与平面所成的角，最后计算，可得结果. 【详解】如图，连接，交于点，连接， 在正四棱锥中， 为正四棱锥的高. 根据底面积为6，可得. 根据棱锥的体积公式，可得. 因为上底面，所以. 又，，则平面. 则为直线与平面所成的角. 在中，因为，， 所以，. 在中，因为， 所以，所以， 即直线与平面所成角为. 故选：A 【点睛】本题主要考查线面角的概念与计算，求直线与平面所成的角的大小，可先将直线在平面内的射影作出，从而得到直线与平面所成的角，再进一步求解，属基础题 7. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 8. 在锐角中，若，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由锐角三角形结合余弦定理可得，表示出，再结合对勾函数的性质可得答案. 【详解】因为锐角三角形中，，所以a一定不为唯一的最大边， 所以只需， 所以，即， 所以， 又， 由对勾函数的性质可得函数， 所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为2 B. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限 C. z的共轭复数 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出复数z的代数形式，然后再利用复数的概念和几何意义逐一判断即可. 【详解】， 则的虚部为2，A正确； 复数z在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误； z的共轭复数，C错误； ，D正确. 故选：AD. 10. 如图垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆上异于，的任一点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线面垂直、面面垂直的判定与性质判断各选项． 【详解】是圆直径，在圆上，则， 平面，平面，则， ，∴平面，又平面， ∴，A正确； 又平面，∴平面平面．D正确； 若平面，则，而平面，则，重合，矛盾，B错； 若平面平面，作于，∵平面平面，∴平面，而平面，∴，，∴平面，于是平面与平面重合．矛盾，C错． 故选：AD． 【点睛】易错点睛：本题考查空间线面、面面垂直的判定定理和性质定理．由于是多选题，仅仅判断AD正确还不够，必须说明（证明）BC为什么是错误的．否则会出错． 11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的2倍 D. 若，则外接圆半径为 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知可求的值，然后分别结合正弦定理，余弦定理及二倍角公式，同角三角函数平方关系分别对选项进行检验． 【详解】由，可得， 故可设，，， 由正弦定理可得，，A错误； 由题意可知为最大角，由余弦定理可得，， 故为锐角，从而可知是锐角三角形，B错误； 因为最小内角为最小角，，故， 故，C正确； 由，，结合正弦定理可得， 故，D正确． 故选：CD 12. 对于四面体，以下命题中正确的命题是 A. 若，则，，与底面所成的角相等 B. 若，，则点在底面内射影是的内心 C. 四面体的四个面中最多有四个直角三角形 D. 若四面体的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对于A，根据线面角的定义即可判断； 对于B，根据三垂线定理的逆定理可知，是的垂心； 对于C，在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数； 对于D，作出正四面体的图形，球的球心位置，说明是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积． 【详解】解： A项：因为，设点在平面内的射影是，因为，，，所以， 则，，与底面所成的角相等；故A正确； B项：设点在平面内的射影是，则是在平面内的射影，因为，根据三垂线定理的逆定理可知： 同理可证，所以是的垂心，故B不正确； C项：如图： 直角三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故C正确 D项：如图， 为正四面体的内切球的球心，正四面体的棱长为1； 所以为内切球的半径，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以球的表面积为：，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】结合平面几何知识考查空间中线面角的求法、三角形内心垂心的判断、立体图形中直角三角形个数以及内切球的表面积求法；是中档题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件列出方程组解出即可. 【详解】由题意可得，即， 根据两个复数相等的充要条件可得，解得， 故答案为：. 14. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的体积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出方程求得上，下底面半径以及高，再由圆台的体积公式，即可得到结果. 【详解】 设上底面半径为，则下底面半径为，高为， 因为母线长为10，所以，解得， 所以下底面半径为，高， 则体积. 故答案： 15. 已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理得到，利用三角形面积公式得到，得到最大值. 【详解】四边形中，，， 设与面积分别为，， 则，． 在中，利用余弦定理：， 即， 在中，利用余弦定理：， 即， 所以． 则 ， 当，即时，最大值，最大值为， 故答案为： 16. 已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于，则球O的体积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件可得球心为正方形的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值. 设球的半径为,则，可得为等边三角形，根据条件可得，从而得出答案. 【详解】四棱锥所有顶点都在同一球面上， 底面是正方形且和球心在同一平面内, 所以球心为正方形的中心， 当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值. 此时四棱锥为正四棱锥. 设球的半径为，则, 为等边三角形，则 所以此四棱锥的表面积为 所以，因此球的体积. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知复数，（其中为虚数单位）． （Ⅰ）求复数； （Ⅱ）若复数在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用复数除法法则计算；（Ⅱ）首先化简复数，再根据复数在复平面内所对应的象限，列式求实数的取值范围． 【详解】（Ⅰ）； （Ⅱ）， 因为复数在复平面内所对应的点在第四象限， 所以，解得：. 18. 已知． （1）求； （2）当为何值时，与垂直? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由计算可得； （2）依题意，根据数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因，， 所以，即，则， 所以； 【小问2详解】 若与垂直， 则， 即， 即，解得. 19. 如图，在中，，点在线段上，且.求： （1）的长； （2）的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据平面向量的线性运算可得，利用数量积的定义计算即可求解； （2）根据数量积的定义和运算律计算即可求解. 【小问1详解】 设， 则， ∴， 故. 【小问2详解】 设，则为向量与的夹角. ∵， ∴，即. 20. 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，，，，. （1）求证：PD⊥平面PBC； （2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面． （2）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角，由平面，得到为直线和平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 证明：（1）因为平面，直线平面， 所以． 又因为，所以， 又，而 平面PBC, 所以平面． 【小问2详解】 过点作的平行线交于点，连结， 则与平面所成的角等于与平面所成的角． 因为平面，故为在平面上的射影， 所以为直线和平面所成的角． 由于，，故四边形ADFB是平行四边形，故， 故得, 又AD⊥平面PDC ，故，故， 故 , 在中，,可得, 所以直线与平面所成角的正弦值为． 21. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【详解】(1) [方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得， 此时就变为． 由诱导公式得，所以． 在中，由正弦定理知， 此时就有，即， 再由二倍角的正弦公式得，解得． [方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】 由解法1得， 两边平方得，即． 又，即，所以， 进一步整理得， 解得，因此． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】 根据题意，由正弦定理得， 因为，故， 消去得． ，，因为故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以. (2) [方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形，又，所以， 则． 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． [方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知的面积． 因为为锐角三角形，且， 所以即 又由余弦定理得，所以即， 所以，故面积的取值范围是． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点． 由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且， 所以点C位于在线段上且不含端点，从而， 即，即，所以， 故面积的取值范围是． 【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法； 方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值； 方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法； 方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围； 方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用. 22. 如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使． （1）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （2）求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离. 【答案】（1）存在， （2）三棱锥A­CDF的体积的最大值为3，此时点F到平面ACD的距离为 【解析】 【分析】(1)在AD上取一点P，使得，证明线面平行，则P点就是所求的点； (2)先设 ，运用二次函数即可求出三棱锥 的体积最大值，再运用等体积法求出F到平面ACD的距离. 【小问1详解】 AD上存在一点P，使得CP 平面ABEF，此时， 理由如下：当时，， 如图，过点P作M FD交AF于点M，连接ME，则， ∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3，又EC＝3，MP FD EC，∴MP EC， 故四边形MPCE为平行四边形，∴CP ME， 又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF， ∴CP 平面ABEF； 【小问2详解】 设BE＝x，则AF＝x(0<x≤4)，FD＝6－x， 故， ∴当x＝3时，有最大值，且最大值为3， 此时EC＝1，AF＝3，FD＝3，， ∴，， 在△ACD中，由余弦定理得，， ， 设到平面的距离为， ， ，. 综上，存在点P，使得CP//平面ABEF，，三棱锥 的最大值为3，此时点F到平面ACD的距离为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$