集合与逻辑用语 专项训练-辽宁省普通高中2025届高三数学一轮复习

绝密★启用前 2024-2025学年度辽宁省普通高中期初考试模拟试题 专题集训（4）—— 集合与逻辑用语 考试范围：必修一（第一章）； 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．已知集合，则 （     ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定为 （     ） A． B． C． D． 3．设，是非零向量，则“或”是“”的 （     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知等差数列的公差为，且集合中有且只有5个元素，则中的所有元素之积为 （     ） A．0 B． C． D．1 5．对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”；（2）存在等比数列为“可控数列”． 则下列说法正确的是 （     ） A．命题（1）（2）均成立 B．命题（1）成立，命题（2）不成立 C．命题（1）不成立，命题（2）成立 D．命题（1）（2）均不成立 6．已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为 （     ） A．4 B．8 C．16 D．32 7．设，集合，集合，对于集合B有下列两个结论：①存在a和b，使得集合B中恰有5个元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4个元素．则下列判断正确的是 （     ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误 8．我国古代太极图是一种优美的对称图．如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”．下列命题中错误命题的个数是 （     ） 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一； 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆； 圆的一个太极函数为； 圆的太极函数均是中心对称图形； 奇函数都是太极函数； 偶函数不可能是太极函数. A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的是 （     ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最大值为2 C．若不等式的解集为，则必有 D．命题“，使得．”的否定为“，使得．” 10．已知集合满足，则下列说法正确的是 （     ） A．若，则中的元素的个数为1 B．若，则中的元素的个数为15 C．若，则中的元素的个数为45 D．若，则中的元素的个数为78 11．群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有 （     ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集N关于数的加法构成群 C．实数集R关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 13．设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足以下3个条件： ①均非空； ②中任意两个集合交集为空集； ③． 则称为集合的一个阶分拆．若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于 ，最大值等于 ． 14．斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：且中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 求解下列问题： （1）已知集合,定义且.求; （2）已知非空集合,集合. 命题:,命题:,若是的充分条件，求实数的取值范围. 16．（本小题满分15分） 定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，，有，．设全集且，且、． （1）求集合U和A； （2）集合A、B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由． 17．（本小题满分15分） 已知函数，记，． （1）若，，求集合、； （2）若集合，，且恒成立，求的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知集合并且．定义（例如）． （1）若集合，集合A的子集N满足：，且，求出一个符合条件的N； （2）对于任意给定的常数C以及给定的集合，求证：存在集合，使得，且； （3）若集合满足：，其中实数a，b为给定的常数，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，． （1）若，写出，及的值； （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （3）设集合，，求证：且． 答案第1页，共2页 高三数学试卷 第 5 页（共 4 页） 高三数学试卷 第 6 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度辽宁省普通高中期初考试模拟试题 专题集训（3）——概率与统计——详解详析 答案速查： 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A A C C A B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABD BCD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 题号 12 13 14 答案 0；1012 详解详析： 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．已知集合，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数定义域，解一元二次不等式化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】， 所以， 故选：C. 2．命题“”的否定为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论. 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题可知： 命题“”的否定为“”. 故选：B 3．设，是非零向量，则“或”是“”的 （     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，所以， 若，则，所以， 故由“或”推得出“”，即充分性成立； 若，则，所以， 所以由“”推不出“或”，故必要性不成立； 所以“或”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．已知等差数列的公差为，且集合中有且只有5个元素，则中的所有元素之积为 （     ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据条件得到，利用的图象与性质知的周期为，再利用项的值是互为相反数的两个成对出现，结合条件，即可求解. 【详解】由题知，所以， 易知周期为，考虑前项的值：，，，，，，，， 因为集合中有且只有5个元素， 所以项的值必有互为相反数的二项同为，即集合中有元素，则中的所有元素之积为， 故选：A. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，利用三角函数的周期性，集合中的元素只需考虑前项，注意到项的值是互为相反数的两个成对出现，结合条件，即可求解. 5．对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”；（2）存在等比数列为“可控数列”． 则下列说法正确的是 （     ） A．命题（1）（2）均成立 B．命题（1）成立，命题（2）不成立 C．命题（1）不成立，命题（2）成立 D．命题（1）（2）均不成立 【答案】C 【分析】对于（1），依题意化简不等式得，根据等差数列的通项公式与求和公式的特征，利用极限思想即可判断；对于（2）取，计算，取，即可判断条件满足. 【详解】（1）若等差数列不是常数列，则公差，则可看成关于的一次函数， 由得，可看成关于的二次函数， 当足够大时，根据极限的思想可判断上式不成立，故命题（1）不成立； （2）取，则， 则对任意的正整数，不妨取，，符合题意. 故命题（2）正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查新定义数列的概念应用，属于难题. 解题方法为，按照新定义数列要求，将不等式进行化简和计算判断，运用极限思想排除命题（1）；对于等比数列，要说明存在性命题的正确，只需寻找到符合条件的数列和的值即可. 6．已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为 （     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 7．设，集合，集合，对于集合B有下列两个结论：①存在a和b，使得集合B中恰有5个元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4个元素．则下列判断正确的是 （     ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误 【答案】A 【分析】由题意可知，对于①举例分析判断即可，对于②，若，则，然后构造函数，利用导数结合零点存性定理可确定出，从而可进行判断. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以， 当时，， ，， 所以，有5个元素，所以①正确， 若，则，得， 令，则， 令，则， 所以在上递增，即在上递增， 所以当时，， 所以在上递增， 因为， 所以存在，使，即存在，成立， 此时， 所以存在a和b，使得集合B中恰有4个元素，所以②正确， 故选：A 【点睛】关键点点睛：判断结论②的关键是构造函数，利用导数和零点存在性定理分析判断. 8．我国古代太极图是一种优美的对称图．如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”．下列命题中错误命题的个数是 （     ） 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一； 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆； 圆的一个太极函数为； 圆的太极函数均是中心对称图形； 奇函数都是太极函数； 偶函数不可能是太极函数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由定义可知过圆的任一直线都是圆的太极函数，故正确；当两圆的圆心在同一条直线上时，那么该直线表示的函数为太极函数，故错误；∵，∴的图象关于点成中心对称，又∵圆关于点成中心对称，故可以为圆的一个太极函数，故正确；太极函数的图象一定过圆心，但不一定是中心对称图形，例如： 故错误；奇函数的图象关于原点对称，其图象可以将任意以原点为圆心的圆面积及周长进行平分，故奇函数可以为太极函数，故正确；如图所示 偶函数可以是太极函数，故错误；则错误的命题有3个，故选B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法不正确的是 （     ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最大值为2 C．若不等式的解集为，则必有 D．命题“，使得．”的否定为“，使得．” 【答案】ABD 【分析】对于A：根据充分、必要条件分析判断；对于B：根据不等式运算求解；对于C：根据分类讨论a的符号，结合一元二次不等式分析判断；对于D：根据特称命题的否定是全称命题分析判断. 【详解】对于选项A：例如，则， 即，满足题意，但，即充分性不成立； 例如，则， 即，满足题意，但，即必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确； 对于选项B：若，则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故B不正确； 对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意； 若，则的解集不可能为两数之间，不合题意； 综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确； 对于选项D：命题“，使得．”的否定为“，使得”，故D不正确； 故选：ABD. 10．已知集合满足，则下列说法正确的是 （     ） A．若，则中的元素的个数为1 B．若，则中的元素的个数为15 C．若，则中的元素的个数为45 D．若，则中的元素的个数为78 【答案】BCD 【分析】对于A，由集合的定义即可列举出集合中所有的元素即可判断；对于B，中的元素均为正奇数，对分类讨论即可验算；对于C，原问题等价于将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法即可验算；对于D，原问题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法验算即可. 【详解】对于A，由题意得，所以中的元素的个数为，A错误； 对于B，由题意得中的元素均为正奇数，在中， 当时，有共5个元素， 当时，有共4个元素， 当时，有共3个元素， 当时，有共2个元素， 当时，有共1个元素， 所以中的元素的个数为，B正确； 对于C，，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲､乙､丙3个人，每人至少分1个， 利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为45，C正确； 对于D，， 可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个， 利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法，由此即可顺利得解. 11．群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有 （     ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集N关于数的加法构成群 C．实数集R关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】AD 【分析】根据“”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可． 【详解】对于A选项，对所有的、，有，且满足①乘法结合律； ②，使得，有； ③，，有，故A正确； 对于B选项，①自然数满足加法结合律； ②，使得，有； 但是对于，，不存在，使，故B错误； 对于C选项，对所有的、，有， ①实数满足加法结合律； ②，使得，有； 但对于，，不存在，使，故C错误； 对于D选项，对所有的、，可设，，，，，， 则， ①满足加法结合律，即、、，有； ②，使得，有； ③，设，，，，使，故D正确． 故选：AD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解. 【详解】若命题任意“，”为假命题， 则命题存在，为真命题， 因为时，， 令，则， 则在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 13．设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足以下3个条件： ①均非空； ②中任意两个集合交集为空集； ③． 则称为集合的一个阶分拆．若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于 ，最大值等于 ． 【答案】 0 1012 【分析】根据题意分别取取得最值时的集合，从而可得的最值. 【详解】由题意：取，， 因为：，，，， 所以，则为最小值； 取，， 为最大值. 故答案为：0；1012 14．斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：且中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ． 【答案】 【分析】记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成，然后可解. 【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有674个偶数，1350个奇数， 记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F， 则所有元素之和为奇数的集合B可看成， 显然集合E共有个，集合F共有个， 所以所有元素之和为奇数的集合B共有个， 又集合A的非空子集共有个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将集合分拆成所有偶数组成的集合及所有奇数组成的集合，利用二项式系数的性质求出含有奇数个奇数组成的集合个数. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 求解下列问题： （1）已知集合,定义且.求; （2）已知非空集合,集合. 命题:,命题:,若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)先对集合进行化简,再根据集合的新定义即可得出结果; (2)对集合进行化简,由是的充分条件,所以,分,,三种情况进行考虑即可. 【详解】（1）解:由题知, ,故; （2）由题,, 因为,所以, 故, 因为是的充分条件,所以, ①当时,,,不符合题意舍;     ②当时,,, 要使,则,解得.     ③当时,,, 要使,则,解得, 综上所述:a的取值范围是或. 16．（本小题满分15分） 定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，，有，．设全集且，且、． （1）求集合U和A； （2）集合A、B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)能； 【分析】（1）根据题中的新定义，讨论a、b的取值，即可确定出集合U与A； （2）求出A的补集，根据知或，由此求得m的取值范围． 【详解】（1）全集U中 ， 当时，或，此时或； 当时，，此时，所以， 由A中， 当时，，此时，即； （2）因为，当时，或， 当时，方程无实根，，解得； 时，方程有二等实根为，，此时m的值不存在； 综上知，实数m的取值范围是． 17．（本小题满分15分） 已知函数，记，． （1）若，，求集合、； （2）若集合，，且恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【分析】（1）当，时，直接解方程可得集合，解方程可得集合； （2）由题意得，由此化简得出，由此可得出、是方程的两根，利用韦达定理可得，可求得，经过化简计算得出的取值范围. 【详解】（1）当，时，，则， . ， ； （2）由题意得， ， 则方程的两根为、， 即方程的两根为、， 由韦达定理得，， ， 令，， 函数在上单调递增，且，则，， ，则， ， ，，，因此，. 【点睛】本题考查方程的求解，同时也考查了代数式取值范围的计算，涉及不等式基本性质的应用，灵活利用因式分解是解答的关键，考查计算能力，属于难题. 18．（本小题满分17分） 已知集合并且．定义（例如）． （1）若集合，集合A的子集N满足：，且，求出一个符合条件的N； （2）对于任意给定的常数C以及给定的集合，求证：存在集合，使得，且； （3）若集合满足：，其中实数a，b为给定的常数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义可求得答案 ； （2）构造新数列，根据新定义可求得，即可证明； （3）利用数学归纳法即可证明. 【详解】（1）由题可知， （2）证明：令，(为待定参数 ). ， 当 即可. （3）， 当时， 成立. 假设结论对成立，下面证明时的情形， 即 所以，的取值范围为 19．（本小题满分17分） 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，． （1）若，写出，及的值； （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （3）设集合，，求证：且． 【答案】(1)，，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据数列的定义，分别求出，，； （2）假设，，均与数列是等差数列矛盾，进而得到数列是以为首项，为公差的等差数列，进而得到； （3）根据定义得到数列是递增数列；用反证法证明，假设存在正整数，若，则推出，与假设矛盾，所以；，所以要证，只需证，且，能推出，所以，所以，所以结论成立. 【详解】（1）因为，所以，， 由得，，所以， 由得，，所以； （2）由题可知，所以，即， 若，则，， 所以，，与是等差数列矛盾，所以， 设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以， 假设存在使得，设，由得， 由得，，与是等差数列矛盾， 所以对任意都有， 所以数列是等差数列，； （3）因为对于，，所以，所以，即数列是递增数列， 先证明， 假设，设正整数， 由于，故存在正整数使得，所以， 因为是各项均为正整数的递增数列，所以， 所以，， 所以，， 又因为数列是递增数列，所以，与假设矛盾， 所以； 再证明， 由题可知，所以要证，只需证，设且， 因为数列是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数，使得， 令， 若则，即，所以，所以，所以， 若，则，所以所以， 因为，所以，所以， 所以； 综上所述，且. 【点睛】方法点睛：新定义问题解题策略 首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行运算；最后得到结论. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$