精品解析：湖北省十堰市郧阳区第一中学2023～2024学年高一上学期第一次教学质量检测数学试卷

湖北省十堰市郧阳区郧阳区一中2023~2024学年高一上学期第一次教学 质量检测月考数学试卷数学 第I卷 （选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，结合交集运算可求. 【详解】，，所以. 故选：C 2. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数转化为分段函数，再选择图象即可. 【详解】，结合图形可知C适合题意. 故选：C. 3. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，即可几何和充分必要条件的定义求解. 【详解】由角与角的终边关于轴对称可得,故， 充分性成立， 当时，或，故不必要不成立， 故选：A 4. 1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若，，则的值约为（ ） A. 2.301 B. 2.322 C. 2.507 D. 2.699 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对数互化公式得，再结合换底公式计算即可得答案. 【详解】解：由指对数互化公式得 故选：B 5. 函数的零点一定位于下列的哪个区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间． 【详解】因为函数,是连续单调函数， 且 ， ∴函数的零点一定位于区间. 故选:C． 6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由对数函数的性质，可得， ，即， 又由指数函数的性质，可得，所以. 故选：A. 7. 函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象确定的值，可得函数解析式，根据图象的伸缩平移变换可得变换后的函数表达式，结合其性质即可求得答案. 【详解】由图象可知函数的最小正周期为， 又，故，由于，故， 所以， 将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）， 再向右平移个单位长度后，得到的图象， 因为该图像图象关于原点对称，即为奇函数， 故，则， 而，则的最小值为， 故选：C 8. 已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式及对勾函数性质确定在上的单调性和最值，结合二次函数性质及最小值列不等式组求参数范围. 【详解】由，则，当且仅当时等号成立， 结合对勾函数性质，在上递减，在上递增，且， 由在上递减，在上递增， 又的最小值为，故且， 综上，. 故选：A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分. 9. 下列各组函数中是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】利用相同函数的定义，逐项判断即可得解. 【详解】对于A，函数、的定义域均为R，且，A是； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，B不是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，C不是； 对于D，函数、的定义域均为，对应法则相同，D是. 故选：AD 10. 给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ） A. 集合为闭集合 B. 正整数集是闭集合 C. 集合为闭集合 D. 若集合为闭集合，则为闭集合 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义依次判断，举反例得到ABD错误，取，得到，，C正确，得到答案. 【详解】对于选项A：当集合时，而，集合不为闭集合，错误； 对于选项B：设，是任意的两个正整数，当时，不是正整数，错误； 对于选项C：当}时，设， 则，，正确； 对于选项D：设是闭集合，且， 而，此时不为闭集合，错误． 故选：ABD． 11. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A. 利用怍差法判断；B.由判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由，利用“1”的代换结合基本不等式判断. 【详解】A. 因为，故正确； B.因为，所以解得，所以，当且仅当取等号，故正确； C. 因为，，则由对勾函数的性质得在上递增，所以其最小值为，故错误； D.因为，则，当且仅当，即时，取等号，故正确； 故选：ABD 12. 设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（ ） A. 矩形的面积有最大值 B. 的周长为定值 C. 的面积有最大值 D. 线段有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】设，用x表示相应的长度和面积，根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对勾函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：设，则， 因为，所以． 矩形的面积， 因为，所以无最大值．故A错． 对于选项B：根据图形折叠可知与全等， 所以周长为．故B正确． 对于选项C：设，则，有， 即，得， ， 当时，取最大值．故C正确． 对于选项D：因为， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当，当时函数有最小值，无最大值．故D错误． 故选：BC． 第II卷 （非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 化简的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式化简得解，注意需变函数名时三角函数的符号． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查诱导公式，注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的运用要领，特别是需要变函数名时，函数的符号，此题属于基础题. 14. 已知，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数对称性求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 故答案为： 15. 在中，，，则的形状为______． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边得，再代入另一已知条件得，从而得三角形形状． 【详解】由正弦定理，所以， 代入得，∴， 所以，三角形为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 16. 已知恒成立，则t的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知不等式变形为，构造函数，借助函数单调性，可得恒成立，通过分离参数，以及构造导数求得t的取值范围. 【详解】由，得， 所以，即， 即恒成立， 构造函数，上式即为恒成立， 因为，所以在R上单调递增， 则可得恒成立， 所以，即， 再设，因为， 所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以， 从而，即t的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设集合，集合． （1）若，求和 （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当，所以，再求和即可求出答案. （2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案. 【小问1详解】 ，因为，所以， 所以，． 【小问2详解】 因为是成立的必要不充分条件，所以⫋， 当时，，得 当时，． 解得 ， 所以实数的取值范围是 18. 某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：. （1）将利润P（单位：元）表示为产量x的函数；（总收入总成本利润） （2）当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？（单位利润利润产量） 【答案】（1） （2）当产量为100个时，零件的单位利润最大，最大利润为100元. 【解析】 【分析】（1）利用得到答案； （2）分和两种情况，结合基本不等式和函数单调性求出最值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 设单位利润为， 当时，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 当时，， 综上，当产量为100个时，零件的单位利润最大，最大利润为100元. 19. 已知，. （1）求证：； （2）若，，，求证：. 【答案】（1）， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由条件有，且，， 又 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时由得，， 即证． 【解析】 【分析】（1）用比较法进行证明即可； （2）把变形为，然后运用基本不等式进行证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【小问1详解】 若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. 【小问2详解】 因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 21. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米． （1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 【答案】（1） （2）米时，用料最省． 【解析】 【分析】（1）由，取得，得到AMPN面积等于，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）求得到扩建部分面积，令，可得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得，则，则， 花坛AMPN面积等于， 由题意，可得，即， 解得或，所以AN的长应在范围内. 【小问2详解】 解：根据题以，可得扩建部分面积， 令，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省． 22. 已知函数，. （1）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围； （2）根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集，列不等式组求解. 【小问1详解】 不等式对恒成立， 令，即对恒成立， 因为函数开口向上，则当且仅当，即，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 当时，的图象开口向上，对称轴为， 当时，，，即函数的值域是， 当时，，由对任意，总存在，使成立， 得函数的值域是函数的值域的子集，即， 因此，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省十堰市郧阳区郧阳区一中2023~2024学年高一上学期第一次教学 质量检测月考数学试卷数学 第I卷 （选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若，，则的值约为（ ） A. 2.301 B. 2.322 C. 2.507 D. 2.699 5. 函数的零点一定位于下列的哪个区间（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分. 9. 下列各组函数中是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ） A. 集合为闭集合 B. 正整数集是闭集合 C. 集合为闭集合 D. 若集合为闭集合，则为闭集合 11. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若，则 12. 设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（ ） A. 矩形的面积有最大值 B. 的周长为定值 C. 的面积有最大值 D. 线段有最大值 第II卷 （非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 化简的结果为________． 14. 已知，若，则______. 15. 在中，，，则的形状为______． 16. 已知恒成立，则t的取值范围是__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设集合，集合． （1）若，求和 （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18. 某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：. （1）将利润P（单位：元）表示为产量x的函数；（总收入总成本利润） （2）当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？（单位利润利润产量） 19. 已知，. （1）求证：； （2）若，，，求证：. 20. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集． 21. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米． （1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 22. 已知函数，. （1）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $