3.2.1 基本不等式的证明 同步练习-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

3.2.1　基本不等式的证明 A级 基础达标练 1.已知x>0,则x+的最小值是(　　) A.4 B.6 C.8 D.16 2.当x>0时,函数y=x+的最小值为(　　) A.2-1 B.2 C.2+1 D.4 3.若x>0,y>0,且x+y=18,则的最大值为(　　) A.9 B.18 C.36 D.81 4.(多选题)下列函数中最小值为2的是(　　) A.y=x+ B.y= C.y= D.y=x+(x>-2) 5.由a,b∈R,且ab=4,可以证明a2+b2≥8成立.请写出等号成立的条件:　　　　　　　　.  6.已知x>2,则+x的最小值是　　　　.  7.已知a,b∈R. (1)求证:a2+b2≥2(a+b-1); (2)若a>0,b>0,a+b=3,求证:. B级 能力提升练 8.下列说法正确的个数是(　　) ①a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0;②a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;③a+b≥2 成立的条件是a≥0,b≥0;④a+b≥2 成立的条件是ab>0. A.1 B.2 C.3 D.0 9.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:“已知a>b>0,求证:.”最终的索因应是(　　) A.<1 B.>1 C.1< D.a-b>0 10.设x>0,则y=3-3x-的最大值为(　　) A.3 B.3+2 C.3-2 D.-1 11.已知a>0,b>0.若=1,则ab的最小值为(　　) A. B.2 C.4 D.8 12.(多选题)下列不等式一定成立的是(　　) A.x2+>x(x>0) B.x+≥2(x>0) C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 13.已知a+b=1.若a>0且b>0,则ab的最大值为　　　　.  14.若x<3,求y=2x+1+的最大值. C级 拓展探究练 15.(多选题)已知x,y>0,x+y=1.若4xy≤t恒成立,则实数t的可能取值为(　　) A. B. C.1 D.2 16.求的最大值. 参考答案 1.A　解析 因为x>0,所以>0.由基本不等式可得x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以x+的最小值是4.故选A. 2.A　解析 因为x>0,所以x+1>0, 所以y=x+=x+1+-1≥2-1=2-1, 当且仅当x+1=,即x=-1时,等号成立,所以函数y=x+的最小值为2-1.故选A. 3.A　解析 因为x>0,y>0,x+y=18, 所以=9,当且仅当x=y=9时,等号成立,即的最大值是9.故选A. 4.BD　解析 对于A,当x=-1时,y=-2,故A错误;对于B,y=≥2=2,当且仅当,即x=0时,等号成立,故B正确;对于C,y=≥ 2=2,由于,即x2+3=1无解,所以等号不成立,故C错误; 对于D,y=x+=x+2+-2≥2-2=2,当且仅当x+2=,即x=0时,等号成立,故D正确.故选BD. 5.a=b=±2　解析 因为a2+b2≥2ab,且ab=4,所以a2+b2≥8,当且仅当a=b=±2时,等号成立. 6.6　解析 因为x>2,所以x-2>0,所以+x=+(x-2)+2≥2+2=6,当且仅当=x-2,即x=4时,等号成立,所以+x的最小值是6. 7.解 (1)a2+b2-2(a+b-1)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0, 当且仅当a=b=1时,等号成立,所以a2+b2≥2(a+b-1),当且仅当a=b=1时,等号成立. (2)因为a>0,b>0,a+b=3,所以[a+(b+1)] = ≥. 当且仅当,即a=1,b=2时,等号成立.故成立. 8.B　解析 根据不等式成立的条件可知只有②③正确.故选B. 9.C　解析 由a>b>0,可得>0,要证,只要证2)<a-b,即证2)<()(),即证2,即证,即证1<.故求证“”,最终的索因应是1<.故选C. 10.C　解析 因为x>0,所以3x+≥2=2,当且仅当3x=,即x=时,等号成立,所以3-3x-≤3-2,即y=3-3x-的最大值为3-2.故选C. 11.D　解析 由基本不等式可得2=1,整理得ab≥8,当且仅当,即a=2,b=4时,等号成立.所以ab的最小值为8.故选D. 12.BC　解析 对于A,当x=时,x2+=x,所以A不一定成立;对于B,当x>0时,x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B一定成立;对于C,不等式x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x2+1≥2|x|恒成立,所以C一定成立;对于D,因为x2+1≥1,所以0<≤1,所以D不成立.故选BC. 13.　解析 因为a>0且b>0,a+b=1≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以ab≤,即ab的最大值为. 14.解 因为x<3,所以3-x>0. 所以y=2x+1+=2(x-3)++7=-2(3-x)++7. 由基本不等式可得2(3-x)+≥2, 当且仅当2(3-x)=,即x=3-时,等号成立. 所以y=2x+1+=-2(3-x)++7≤7-2, 即y=2x+1+的最大值是7-2. 15.CD　解析 依题意,x,y>0,x+y=1,所以4xy≤4×=1,当且仅当x=y=时,等号成立.因为4xy≤t恒成立,所以t≥1.故选CD. 16.解 由x(10-x)≥0知0≤x≤10. 当x=0或x=10时,=0. 当0<x<10时,10-x>0. 由基本不等式可得=5, 当且仅当x=10-x,即x=5时,等号成立. 综上,的最大值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$