精品解析：广东省佛山市南海区桂城中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷

桂城中学2023-2024 学年度上学期高二级第一次月考数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（ ） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 2. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ） A. 0.56 B. 0.14 C. 0.24 D. 0.94 3. 已知向量，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知点A(1,-2,11)，B(4,2,3)，C(6,-1,4)则三角形ABC的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 斜三角形 6. 如图，已知圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥底面圆的直径，是圆弧的中点，是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为 A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，若球O的表面积等于，则三棱锥的体积等于（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9. 给出下列命题，其中不正确的为（ ） A. 若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B. 若，则是钝角 C. 若，则与一定共线 D. 非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面 10. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. D. A与相互独立 11. 某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下，则下列说法正确的是（ ） 组号 分组 频数 频率 第一组 [230，235) 8 0.16 第二组 [235，240) ① 0.24 第三组 [240，245) 15 ② 第四组 [245，250) 10 0.20 第五组 [250，255] 5 0.10 合计 50 1.00 A. 表中①位置的数据是12 B. 表中②位置的数据是0.3 C. 在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三组抽取2人 D. 在第三、四、五组中用分层抽样法抽取的6名学生中录取2名学生，则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5 12. 在正三棱柱中，已知，，为中点，点在直线上，点在直线上，则（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，若，则实数x的值为____． 14. 三个元件正常工作的概率分别为，在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是__________. 15. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则_______ 16. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______. 四、解答题：本大题共6小题，其中第17题10分，其余每小题12分，共70分. 17. 先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0． （1）试写出这个试验的样本空间； （2）写出“三次结果对应数字之和为1”所包含的样本点； （3）记事件为“三次结果对应数字之和不小于2”，求． 18. 如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求直线到平面的距离. 19. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面ABCD，，点E是棱AD上的一点，且，点F是棱PC上的一点，且． （1）求证：平面PEB； （2）求直线PC与平面PEB所成角的正弦值． 20. 如图，在三棱锥中，已知，是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值. 21. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点． （1）证明：平面； （2）当直线BP与平面所成的角正弦值为时，求点D到平面的距离． 22. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直， 、分别是、的中点，点在上，且满足． （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该最大角的正切值； （3）若平面与平面所成的二面角为，试确定点的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂城中学2023-2024 学年度上学期高二级第一次月考数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（ ） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】由得到与垂直，进而得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以与垂直， 故，解得. 故选：B． 2. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ） A. 0.56 B. 0.14 C. 0.24 D. 0.94 【答案】A 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】因为甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立， 所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为. 故选:A. 3. 已知向量，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，得到答案. 【详解】因为， 所以， 当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 4. 如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， ， 则 , 故选：B 5. 已知点A(1,-2,11)，B(4,2,3)，C(6,-1,4)则三角形ABC的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 斜三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得，，应用空间向量数量积的坐标表示可得，即可确定三角形ABC的形状． 【详解】由已知，，， 所以，即， 所以．即三角形为直角三角形． 故选：A． 6. 如图，已知圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥底面圆的直径，是圆弧的中点，是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】解：连接、，因为为圆锥底面圆的直径，是圆弧的中点，则， 为的中点，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 因为，，易知，则， 所以，、、、， ，，则， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 7. 学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本周能进行决赛意味着能在周三或周四或周五进行，分别求概率，求和即可得解. 【详解】设在这周能进行决赛为事件，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件，，，则， 又事件，，两两互斥， 则有， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了互斥关系的概率问题，属于基础题. 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，若球O的表面积等于，则三棱锥的体积等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得为球的直径，然后以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用，建立方程组求出的值，然后可求出答案. 【详解】由可知为球的直径， 设球的半径为，则，解得，所以， 因为，所以， 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则、， ， 解得， 则三棱锥的体积， 故选：B． 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9. 给出下列命题，其中不正确的为（ ） A. 若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B. 若，则是钝角 C. 若，则与一定共线 D. 非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项ABD，可直接举反例说明，C选项根据共线向量性质可得结论. 【详解】对于A，考虑平行四边形中，满足，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，即A错误； 对于B，当两个非零向量的夹角为时，满足，但不是钝角，即B错误； 对于C，当时，可得，则与一定共线，可知C正确； 对于D，考虑三棱柱，令， 满足与，与，与都是共面向量，但不共面，可得D错误. 故选：ABD 10. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. D. A与相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概念判断选项A；利用对立事件的定义判断选项B；利用古典概型判断选项C；利用事件独立性概念判断选项D. 【详解】由题可得， 样本空间为 ， 共有36个样本点， 其中 共包含18个样本点， 共包含9个样本点， ，共有18个样本点， 对A，因为,所以与互斥,A正确； 对B，因为,所以与不对立, B错误； 对C，，C正确； 对D，, 所以, 又因为 所以，所以A与相互独立，D正确； 故选：ACD. 11. 某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下，则下列说法正确的是（ ） 组号 分组 频数 频率 第一组 [230，235) 8 0.16 第二组 [235，240) ① 0.24 第三组 [240，245) 15 ② 第四组 [245，250) 10 0.20 第五组 [250，255] 5 0.10 合计 50 1.00 A. 表中①位置的数据是12 B. 表中②位置的数据是0.3 C. 在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三组抽取2人 D. 在第三、四、五组中用分层抽样法抽取的6名学生中录取2名学生，则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据频率分布表可判断AB的正误，根据分层抽样可判断C的正误，根据古典概型的概率的计算公式可得2人中至少有1名是第四组的概率，从而可判断D的正误． 【详解】①位置的数据为50- (8+15+10+5)=12，A正确； ②位置的数据为0.3，B正确； 由分层抽样得，第三、四、五组参加考核的人数分别为3，2，1，C错误； 设上述6人为a，b，c，d，e，f(其中第四组的两人分别为d，e)， 则从6人中任取2人的所有情况为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，样本空间共包含15个样本点. 记“2人中至少有1名是第四组的”为事件A，则事件A共包含9个样本点. 所以P(A)=0.6，故2人中至少有1名是第四组的概率为0.6，D错误. 故选：AB． 【点睛】方法点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）. 12. 在正三棱柱中，已知，，为中点，点在直线上，点在直线上，则（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 线段长度的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【详解】在正三棱柱中，为中点，所以， 以D为原点，DA，DB为 x轴，y轴，过D点垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，，，， 可得，，， ，故A正确. ，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 因为，即， 又平面，所以平面，故B正确； 设异面直线与所成角为，，， ， 异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； ，，， 设向量，且， ，令，则，，所以， 线段EF长度的最小值为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，若，则实数x的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据两向量的数量积为0求解可得所求． 【详解】∵， ∴， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查数量积的运用，考查转化能力和运算能力，解题时注意向量垂直于数量积的关系，属于基础题． 14. 三个元件正常工作的概率分别为，在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据电路图可知, 与并联,再与串联.由电路的性质可知,不发生故障,则正常工作且至少有一个正常工作,即可由独立事件与对立事件的概率性质求解. 【详解】电路不发生故障为“正常工作且至少有一个正常工作” 而“至少有一个元件正常工作”的对立事件为“都不正常工作” 所以电路不发生故障的概率是 【点睛】本题考查了独立事件与对立事件在物理学中的应用,由电路正常工作求事件的概率,属于基础题. 15. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则_______ 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得：，根据空间向量的数量积运算求解. 【详解】由题意可知：，且， 因为M为BC中点，N为AD中点， 则， 所以 . 故答案为： 16. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得，借助二次函数，求出最小时对应的的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可. 【详解】以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 所以， 当时，最小，此时，为中点，则， 取的中点，连接，则， 因为，，所以，， 所以是平面与平面的夹角或其补角， 因为，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值是， 所以平面与平面夹角的正弦值是． 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，其中第17题10分，其余每小题12分，共70分. 17. 先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0． （1）试写出这个试验的样本空间； （2）写出“三次结果对应数字之和为1”所包含的样本点； （3）记事件为“三次结果对应数字之和不小于2”，求． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）写出每一种情况即可； （2）在（1）中找出满足条件的样本点即可； （3）先求样本点的总数，再根据概率公式计算即可. 【详解】（1）先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0. 其样本空间为； （2）三次结果对应数字之和为1的样本点为共3个； （3）三次结果对应数字之和不小于2的样本点为共4个，故. 18. 如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间法可求得结果. 【小问1详解】 解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、 、、， ，， 所以，点到平面的距离为. 【小问2详解】 解：，，则， 因为、、、不共线，则，， 所以，直线到直线的距离为. 【小问3详解】 解：因为，平面，平面，则平面， 则直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 所以，，取，可得， ，则直线到平面的距离为. 19. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面ABCD，，点E是棱AD上的一点，且，点F是棱PC上的一点，且． （1）求证：平面PEB； （2）求直线PC与平面PEB所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：在棱PB上取一点G，使得，连接GF，GE， 在中，，，所以，且． 又，，所以，， 所以四边形DEGF是平行四边形．所以， 又平面PBE，平面PBE，所以平面PBE． （2） 【解析】 【分析】（1）在棱PB上取一点G，使得，连接GF，GE，由四边形DEGF是平行四边形得出，再由判定定理证明平面PEB； （2）以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法得出直线PC与平面PEB所成角的正弦值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图，以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 不妨设，易得．所以，，， ，，所以，，． 设平面PBE的一个法向量是，可得 令，解得，，所以． 设直线PC与平面PEB所成角为，所以， 即直线PC与平面PEB所成角的正弦值是． 20. 如图，在三棱锥中，已知，是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）因为，是的中点，所以， 因为，是的中点，所以， 因为，，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值，进而得到正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，因为，所以， 又，所以，所以. 如图，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则即 令，可得，， 所以平面的一个法向量为. 易知平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 因为， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 21. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点． （1）证明：平面； （2）当直线BP与平面所成的角正弦值为时，求点D到平面的距离． 【答案】（1），平面，平面，故平面； 同理可得：平面； ，且平面，故平面平面； ，故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）确定平面，平面得到平面平面，得到证明. （2）建立空间直角坐标系，确定平面的一个法向量为，得到，再确定法向量，再根据距离的向量公式计算得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，设，，， 设平面的法向量为，则， 取得到，， BP与平面所成的角正弦值为： ，解得或（舍）， 设平面的法向量为，则， 取得到， 则点D到平面的距离. 22. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直， 、分别是、的中点，点在上，且满足． （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该最大角的正切值； （3）若平面与平面所成的二面角为，试确定点的位置． 【答案】（1）如图，分别为轴，建立空间直角坐标系． 则 ，，，从而， ， （2） （3）点在的延长线上，且. 【解析】 【分析】（1）以分别为轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即； （2）设出平面的一个法向量，我们易表达出，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时θ的正线值； （3）平面与平面所成的二面角为，则平面与平面法向量的夹角为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可求出对应值，进而确定出满足条件的点的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的一个法向量为，则 而，当最大时，最大，最大，除外， 由知式，当时， . 【小问3详解】 取平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为，则由（1）得. 由得，解得，令得：. 又∵平面与平面所成的二面角为45°， ，解得． 故点在的延长线上，且. 【点睛】 本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $