精品解析：2024年山东省淄博市北部中考二模数学试题

2023—2024学年度初中学业水平第二次模拟检测 九年级数学试题 本试题共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 第十九届亚运会在杭州举行，旅游市场活力得到进一步释放． 据统计，中秋国庆假期，浙江共接待游客43720000人次． 数据43720000用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，，则的长为( ) A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，扇形AOB中，，，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧恰好经过点O，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为，正方形FPQG面积为，则的值为（ ） A. 10：7 B. 20：7 C. 49：10 D. 49：20 8. 如图，是的直径，弦于点E，在上取点F，使得，连接交于点G，连接．若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的顶点在双曲线上，BC与y轴交于点D，且．与轴负半轴的夹角的正切值为，连接OB，，则k的值为（　　） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 10. 如图，矩形中，，E为边上一个动点，连接，取的中点G，点G绕点E逆时针旋转得到点F，连接，则面积的最小值是（     ） A. 4 B. C. 3 D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分．） 11. 若分式的值为零，则x的值是______． 12. 关于的一元二次方程有一根为2，则的值为______． 13. 如图，已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是 ，在一定时间段内，， 之间电流能够正常通过的概率为_______． 14. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，则的最小值等于______． 15. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数很，则．其中正确的是___________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共90分．） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，已知中，，将沿射线方向平移至，使E为的中点，连接，记与的交点为O． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 18. 2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为______人，扇形统计图中m的值为______； （2）补全条形统计图； （3）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？ （4）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率． 19. 图1是某景区塔，图2是它的测量示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是塔高所在的直线．为了测量塔高，在地面上点测得塔顶的仰角为，继续向前走22米到达点，又测得塔顶仰角为，此时恰好共线，若塔顶底部米，与交于点（）在同一水平线上，参考数据：） （1）求塔尖高度． （2）若塔身与地面夹角的正切值为6（即），则还需要往前走多少米到达塔底处（精确到米）． 20. 为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？ 21. 如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点B． （1）求n的值； （2）若，根据图象直接写出当时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标． 22. 如图，为的直径，为上一点，连接，过作于点，过作，使，其中交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）如图2，点F在上，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 23. 如图1，已知抛物线与轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，点M是直线上方抛物线上的一动点． （1）求抛物线的顶点D的坐标和直线的解析式； （2）如图1，连接交于点P，若，求此时点M的坐标； （3）如图2，直线与抛物线交于A，E两点，过顶点D作轴，交直线于点F．若点G是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点H，使得以点D，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度初中学业水平第二次模拟检测 九年级数学试题 本试题共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 第十九届亚运会在杭州举行，旅游市场活力得到进一步释放． 据统计，中秋国庆假期，浙江共接待游客43720000人次． 数据43720000用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，n为整数，正确确定a的值是解题的关键． 根据科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】解：43720000用科学记数法表示为． 故选：C． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：此几何体的俯视图如下： ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握所看的位置． 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，B，C不符合题意；D符合题意； 故选：D 4. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，设，则，，再证明，利用相似比得到，进而根据勾股定理求得，根据，求得，从而得到的长，然后利用勾股定理计算出的长，根据矩形的性质即可得出． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 即， （负值舍去）， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了计算器，根据正切的定义求出的表达式是解题的关键．根据正切的定义求出的表达式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 6. 如图，扇形AOB中，，，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧恰好经过点O，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧恰好经过点O，可得点O关于BC的对称点在弧AB上，然后作点O关于BC的对称点D，连接CD，OD，BD，可得则OD⊥BC，CD=OC，OB=BD，∠CBD=∠CBO，阴影部分的面积为，再证得△OBD是等边三角形，可得∠CBO=30°，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵弧恰好经过点O， ∴点O关于BC的对称点在弧AB上， 作点O关于BC的对称点D，连接CD，OD，BD，如图， 则OD⊥BC，CD=OC，OB=BD，∠CBD=∠CBO，阴影部分的面积为， ∵BC=BC， ∴△BOC≌△BDC， ∴S△BOC=S△BDC， ∵OB=OD， ∴OB=OD=BD， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BOD=60°， ∴∠CBO=30°， ∵，， ∵， ∴，即OC=1， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，折叠的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法是解题的关键． 7. 如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为，正方形FPQG面积为，则的值为（ ） A. 10：7 B. 20：7 C. 49：10 D. 49：20 【答案】D 【解析】 【分析】根据，设，根据正切，求得，根据，求得之比，即可求得面积比． 【详解】四边形，FGQP是正方形， ， ，， E为AB中点，， ， 设， 则， ，， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，正方形的性质，求得的比值是解题的关键． 8. 如图，是的直径，弦于点E，在上取点F，使得，连接交于点G，连接．若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．连接，先根据圆周角定理和垂径定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，设，则，然后在中，利用勾股定理建立方程可求出的值，最后证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， ， 在和中， ， ， ， ，即， 设，则， 在中，，即， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 在和中， ， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，矩形的顶点在双曲线上，BC与y轴交于点D，且．与轴负半轴的夹角的正切值为，连接OB，，则k的值为（　　） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角函数，反比例函数的几何意义等知识的综合运用．过点作轴于点，由题意可知，由，可知，设，则，，利用三角函数求得，利用，求得的值，在中利用三角函数求得和的长，从而求得点的坐标，即可求得的值． 【详解】解：过点作轴于点， 四边形是矩形， ， ， 轴， ，轴， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，矩形中，，E为边上一个动点，连接，取的中点G，点G绕点E逆时针旋转得到点F，连接，则面积的最小值是（     ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点F作的垂线交的延长线于点H，则，设，可得出面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立面积与长度的函数关系式是解题的关键． 【详解】过点F作的垂线交的延长线于点H， ∵矩形中，，点G绕点E逆时针旋转得到点F， ∴， ∴，， ∴， ∵的中点G， ∴， ∴， 设，， ∴，，, ∴ 故面积的最小值为， 故选B． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分．） 11. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 12. 关于的一元二次方程有一根为2，则的值为______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0，由方程的解的定义，把x=2代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值； 【详解】∵关于x的一元二次方程有一根为2， ∴， 整理得，，且m-1≠0， 解得m=0或m=-4. 故答案为m=0或m=-4. 【点睛】本题考查一元二次方程的解、掌握一元二次方程的定义，把已知代入方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值是解题的关键. 13. 如图，已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是 ，在一定时间段内，， 之间电流能够正常通过的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了并联电路的知识和等可能事件的概率，概率=所求情况数与总情况数之比．根据题意，这是一个并联电路，只要一个电子元件能够正常通过电流，则， 之间电流就能够正常通过，用树状图法或列表法都比较简单． 【详解】解：两个电子元件分别记为元件和元件，可用下表列举出所有可能情况． 元件1 元件2 通电 断电 通电 （通电，通电） （断电，通电） 断电 （通电，断电） （断电，断电） 由表可得，共有种情况，并且它们出现的可能性相等． ∵这是一个并联电路，只要一个电子元件能够正常通过电流，则， 之间电流就能够正常通过， ∴， 之间电流能够正常通过的情况有种，即（通电，断电）、（通电，通电）、（断电、通电）． ∴， 之间电流能够正常通过的概率为． 故答案为： ． 14. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，则的最小值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作直线，使与的夹角为，过点P作，垂足为点E，根据，，得出，说明的最小值即为的最小值，当和在同一直线上时，最小，此时，，求出其最小值即可． 【详解】解：过点C作直线，使与的夹角为，过点P作，垂足为点E，如图所示： 在矩形中，，，, ∵，， ∴， ∴的最小值即为的最小值，当和在同一直线上时，最小，此时，， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数的应用，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，找出最小时，点P的位置． 15. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数很，则．其中正确的是___________（填写序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由图像可知，图像开口向下，，对称轴为，故，故，且，则 图像与y轴的交点为正半轴，则，由此可知，故①错误，由图像可知当时，函数取最大值，将，代入，中得：，计算出函数图像与x轴的另一交点为，设函数解析式为：，化简得：，将，代入可得：，故函数的最大值为， 变形为：要使方程无实数根，则，将，，代入得：，因为，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图像可知，图像开口向下，，对称轴为， ∴， ∴，且，则故②正确， ∵图像与y轴的交点为正半轴， ∴，则，故①错误， 由图像可知当x=1时，函数取最大值， 将，代入中得：， 由图像可知函数与x轴交点为，对称轴为将，故函数图像与x轴的另一交点为， 设函数解析式为： ， 故化简得：， 将x=1，代入可得：，故函数的最大值为，故③正确， 变形为：要使方程无实数根，则，将，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键． 三、解答题（共8小题，共90分．） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简求值，解题的关键： （1）利用零指数幂的意义，二次根式的性质，绝对值的意义等化简计算即可； （2）先根据分式的运算法则进行化简，再代入即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 当时，原式． 17. 如图，已知中，，将沿射线方向平移至，使E为的中点，连接，记与的交点为O． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：由平移得，，， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，全等三角形的判定： （1）由平移得，，，则由平行线的性质得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明结论； （2）由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此由平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴． 18. 2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数为______人，扇形统计图中m的值为______； （2）补全条形统计图； （3）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？ （4）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率． 【答案】（1）50，30 （2） 补全统计图如图所示： （3）人 （4） 【解析】 【分析】（1）由D组人数及所占百分比得出总人数，然后利用B组人数除以总人数即可得出结果； （2）用总人数减去各组人数得出C组人数，然后补全统计图即可； （3）总人数乘以C、D组所占比例即可； （4）方法一、利用列表法求概率；方法二、利用树状图法求概率即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，本次抽取的人数为：人， ∵B组人数为15人， ∴， 故答案为：50；30； 【小问2详解】 解：C组人数为：50-10-15-5=20人； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有300人； 【小问4详解】 方法一：列表法： 女1 女2 女3 男1 男2 女1 （女1，女2） （女1，女3） （女1，男1） （女1，男2） 女2 （女2，女1） （女2，女3） （女2，男1） （女2，男2） 女3 （女3，女1） （女3，女2） （女3，男1） （女3，男2） 男1 （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3） （男1，男2） 男2 （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3） （男2，男1） 共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种， 故. 方法二：树状图法：如图， 共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种， 故． 【点睛】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，列表法或树状图法求概率，用样本估计总体等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 19. 图1是某景区塔，图2是它的测量示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是塔高所在的直线．为了测量塔高，在地面上点测得塔顶的仰角为，继续向前走22米到达点，又测得塔顶仰角为，此时恰好共线，若塔顶底部米，与交于点（）在同一水平线上，参考数据：） （1）求塔尖高度． （2）若塔身与地面夹角的正切值为6（即），则还需要往前走多少米到达塔底处（精确到米）． 【答案】（1）； （2）还需要往前走米到达塔底处． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，锐角三角函数，掌握相关知识是解题的关键． （1），所在直线为对称轴，可得，且，即可求解； （2）设，则，求得，作交于点，求得即可求解． 【小问1详解】 解∶∵，所在直线为对称轴， ∴，且， ∵共线，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设， ∵ ， 解得：，即， ∵， ∴， 作交于点，如图： ∵， ， ， ∴， ∴还需要往前走米到达塔底处． 20. 为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？ 【答案】（1）《西游记》的单价是10元，《朝花夕拾》的单价是14元； （2）订购《朝花夕拾》30本，订购《西游记》70本时，最低总费用为1120元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元，利用数量总价单价，结合用14000元订购的《朝花夕拾》的数量比用7000元订购的《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出《西游记》的订购单价，再将其代入中，即可求出《朝花夕拾》的订购单价； （2）设再次订购本《朝花夕拾》，则再次订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元． 答：《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元； 【小问2详解】 设再次订购本《朝花夕拾》，则再次订购本《西游记》， 根据题意得：， 解得：． 设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为元，则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为（元，此时（本． 答：当再次订购30本《朝花夕拾》，70本《西游记》时，总费用最低，最低费用为1120元． 21. 如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点B． （1）求n的值； （2）若，根据图象直接写出当时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案； （2）求出点B的坐标，由函数的图像即可得到取值范围； （3）设，根据三角形的面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数， ， 故， 将代入反比例函数， 得； 【小问2详解】 解：由（1）得， 联立一次函数和反比例函数，得 ， 解得， 故， 由图像可知，的取值范围为； 【小问3详解】 解：设，且，交x轴于点M，如图； ， ， ， 解得， 点P的坐标为或． 22. 如图，为的直径，为上一点，连接，过作于点，过作，使，其中交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）如图2，点F在上，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ，即， 是的切线； （2）①CF＝2CD， 理由如下： 如图2，过作于点， ， ，且， ， 为公共边， ， ， ； ②． 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，根据等边对等角得：，由垂直定义得：，根据等量代换可得：，即，可得结论； （2）①如图2，过作于点，证明，则，得； ②先根据勾股定理求，则，设，则，根据勾股定理列方程得：，可得的值，证明，列比例式可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②，， ． ， ， ， 由①得：， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， ， ，， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，全等和相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的切线的判定，第2问的最后一问有难度，证明是关键． 23. 如图1，已知抛物线与轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，点M是直线上方抛物线上的一动点． （1）求抛物线的顶点D的坐标和直线的解析式； （2）如图1，连接交于点P，若，求此时点M的坐标； （3）如图2，直线与抛物线交于A，E两点，过顶点D作轴，交直线于点F．若点G是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点H，使得以点D，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点的坐标的或 （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点的坐标，然后根据当时，得，解方程求出的值即可；根据，坐标，用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点，证明得，设，，得到，求解即可； （3）确定直线的解析式为，确定，设，，然后分三种情况：①若为平行四边形的对角线；②若为平行四边形的边；③若为平行四边形的边，分别建立一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴， 当时，得：， 解得：，， ∴，， 当时，得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为和直线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∴点的坐标的或； 【小问3详解】 解：∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴， 解得：，， ∴， 设在直线上存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，设，， ①若为平行四边形的对角线，则： ，得：， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，（舍去）， 此时点的坐标为； ②若为平行四边形的边， ∴， ∵轴， ∴轴， 则：，得：， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，（舍去）， 此时点的坐标为； ③若为平行四边形的边， ∴， ∵轴， ∴轴， 则：，得：， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，， 此时点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识点，本题运用了分类讨论的思想．掌握函数的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $