精品解析：2024年重庆市渝北区九年级指标到校数学试题

数 学 试 题 (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图 (包括作辅助线)请一律用2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线 的顶点坐标为 对称轴公式为 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个选项是正确的，请在答题卡上把你认为是正确的选项对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 设则实数m所在的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2 ”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P在反比例函数 图象上，轴于点A，点B是的中点，连接， 若的面积为3， 则k的值为（ ） A. B. C. D. 6. 我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸沿对开后，再把矩形纸沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第6个图形需要围棋子的枚数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 四边形是正方形， 点E， F分别在边上，连接， 若， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，弦，，若，点是弦的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 有一组非负整数：．从开始，满足某一数学团队对前述数组进行了深入的探讨与研究，得出以下结论： ①当时，； ②当时，； ③当时，或； ④当为整数)时，； 其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应题号的横线上． 11. 计算∶________． 12. 根据国家统计局数据，我国2021年的全年粮食产量为68285万吨，2023年的全年粮食产量为69541万吨．设这两年我国全年粮食产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为________． 13. 如图， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， 则的度数为_________． 14. 《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《海岛算经》是中国古代的数学名著．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率是________． 15. 如图，以矩形的顶点A为圆心，线段长为半径画弧，交边于点E，再以顶点C为圆心，线段长为半径画弧，交边于点F，若，则，和围成的阴影部分的面积是________． 16. 若关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为_________． 17. 如图， 在中，， 若，为的中线， 点E在边上(不与端点重合)，与交于点 F， 若， 则________． 18. 若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数． （其中， 且a， b， c， d均为整数）为“吉祥数”，则________， 定义， 若能被17整除，且存在整数k，使得 ，则满足条件的M 的值为________． 三、解答题∶(本大题8个小题， 第19题8分， 第20至26题每小题10分， 共78分) 解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 学习了平行四边形后，小明同学进行了拓展性研究．他发现，平行四边形相对的两个顶点到另外两个顶点所连对角线的距离相等．他的解决思路是通过证明两条垂线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点C作的垂线，垂足为F．(只保留作图痕迹) 已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，与点E． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴① ∵， ∴②． ∴③ ∴． 21. 随着全球气候变暖，极端天气事件的频繁发生，环境保护牵动着全世界人们的心，为进一步加强学生对“环保”的重视程度，某校在初一、初二年级组织了“环保”知识比赛，现从初一、初二年级各随机抽取10名同学的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，x均不低于60，共分成四组：A：，B：，C：，D：），绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题． 初一年级10名学生的成绩是：68，69，77，78，84，86，86，97，95，100． 初二年级10名学生的成绩在C组中的数据是：86，87，87． 两个年级抽取学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 初一年级 84 85 b 初二年级 84 c 92 初二年级抽取学生比赛成绩扇形统计图 （1）直接写出上述图表中a，b，c的值：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校初一、初二年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（一条理由即可）． （3）若两个年级各有400入参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）的学生共有多少人？ 22. 某工厂有40名工人，生产甲、乙两种摩托车配套零件，每个工人每天能加工甲种零件30个，或乙种零件20个． （1）若1个甲零件和2个乙零件配套成一个完整的部件，应怎样安排工人才能使一天生产的零件正好配套？ （2）该工厂将这种完整的部件销售给摩配公司，一月份的销售总额为30万元，受市场影响，二月份该工厂将一个完整部件的销售单价在一月份的基础上提高了，销量比一月份少了500个，结果二月份的销售总额比一月份多了3万元，求一月份每个完整部件的销售单价为多少元？ 23. 如图，中，于点 D，动点P以每秒 个单位长度的速度从点B出发沿折线方向运动，到点C运动停止，过点 P作于点Q，设运动时间为t秒，点Q，D之间的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，当正比例函数的图象与该函数图象有两个交点时，请直接写出k的取值范围． 24. 如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向． （1）求B，D两地的距离； （2）大门C在风景点D的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，此次翻修工程的总费用约为多少元？（参考数据：） 25. 如图， 直线与x，y轴分别交于点A，B，抛物线经过A， B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点 D． （1）求抛物线的表达式； （2）求的最大值及此时点P的坐标； （3）在点P运动过程中，连接，当的中点恰好落在y轴上时，连接，在抛物线 上是否存在点Q，使得，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 26. 如图，在中，，于点 D， E为上一点， 连接． （1）如图1，若平分，， 求线段的长； （2）如图2，过点E作交的延长线于点 F， 连接， G为的中点，连接，若，猜想线段之间的数量关系， 并证明你的猜想； （3）如图3， 过点D作的垂线交于点H，点P是直线上一动点， 连接，将绕A点顺时针旋转得， 连接与直线交于点Q，当最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 试 题 (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图 (包括作辅助线)请一律用2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线 的顶点坐标为 对称轴公式为 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个选项是正确的，请在答题卡上把你认为是正确的选项对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，依据定义即可求解． 【详解】在数轴上，点到原点的距离是， 所以，的绝对值是， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键． 2. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，互余等知识．熟练掌握对顶角相等，互余是解题的关键． 如图，由题意知，，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ∵， ∴， 故选：B． 3. 设则实数m所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：， ， ， 即， 故选：A． 4. 如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2 ”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算等知识．正确表示新矩形的长和宽是解题的关键． 由题意知，剪下的两个小矩形的长为，宽为，则新矩形的长为，宽为，然后求周长即可． 【详解】解：由题意知，剪下的两个小矩形的长为，宽为， ∴新矩形的长为，宽为， ∴新矩形的周长可表示为， 故选：C． 5. 如图，点P在反比例函数 图象上，轴于点A，点B是的中点，连接， 若的面积为3， 则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 由题意知，，，由点B是的中点，可得，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵点B是的中点， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， 故选：D． 6. 我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸沿对开后，再把矩形纸沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 根据矩形与矩形相似，且矩形的面积是矩形面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得； 【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ， ， 故选：C． 7. 如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第6个图形需要围棋子的枚数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可推导一般性规律为，摆第个图形需要围棋子的枚数为，然后计算求解即可． 【详解】解：由图可知，摆第1个图形需要围棋子的枚数为； 摆第2个图形需要围棋子的枚数为； 摆第3个图形需要围棋子的枚数为； …… ∴可推导一般性规律为，摆第个图形需要围棋子的枚数为； ∴摆第6个图形需要围棋子的枚数为， 故选：D． 8. 如图， 四边形是正方形， 点E， F分别在边上，连接， 若， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把绕点A逆时针旋转得到，则，根据正方形的性质可得，从而得到点G，D，F三点共线，证明，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，把绕点A逆时针旋转得到，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即点G，D，F三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，根据题意得到是解题的关键． 9. 如图，是的直径，弦，，若，点是弦的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，记的交点为，连接，延长交的延长线于，由是的直径，可得，由勾股定理得，，由弦，可得，由，可求，由勾股定理得，，则，，证明，则，，由点是弦的中点，可知，即，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为，连接，延长交的延长线于， ∵是的直径， ∴， 由勾股定理得，， ∵弦， ∴， ∵， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点是弦的中点， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 有一组非负整数：．从开始，满足某一数学团队对前述数组进行了深入的探讨与研究，得出以下结论： ①当时，； ②当时，； ③当时，或； ④当为整数)时，； 其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数的变化规律以及绝对值的知识点，综合性较强，难度较大． 根据其规律，求出其值，再判定结论错误与否． 【详解】解：根据题意有， ①当时，，故①结论错误； ②当时，， ，故②结论正确； ③当时， 则有：， 解得：或，故③结论错误； ④当为整数时， ， ，故④结论正确； 综上所述，正确的结论个数为2个． 故选：B． 二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应题号的横线上． 11. 计算∶________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先计算负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： ， 故答案为：4． 12. 根据国家统计局数据，我国2021年的全年粮食产量为68285万吨，2023年的全年粮食产量为69541万吨．设这两年我国全年粮食产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键．利用2023年全国粮食总产量年全国粮食总产量（这两年全国粮食总产量的年平均增长率），列方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 13. 如图， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， 则的度数为_________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得，在中，根据三角形内角和定理求出，得到，即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， ， 故答案为：． 14. 《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《海岛算经》是中国古代的数学名著．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率．正确画树状图是解题的关键． 根据题意画树状图，然后求概率即可． 【详解】解：记《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《海岛算经》分别为， 依题意画树状图如下； 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《九章算术》和《孙子算经》共有2种等可能的结果， ∴抽取的两本恰好是《九章算术》和《孙子算经》的概率是， 故答案为：． 15. 如图，以矩形的顶点A为圆心，线段长为半径画弧，交边于点E，再以顶点C为圆心，线段长为半径画弧，交边于点F，若，则，和围成的阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求阴影部分面积． 如图，首先证明是等腰直角三角形，根据求解即可； 【详解】解：如图． ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 若关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握以上运算法则．不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且至多有4个整数解确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：． ∵不等式组有解且至多4个整数解， ， 解得：， 分式方程， 去分母得：， 解得：， ∵，， ∵分式方程的解为整数，，， 或4或6， 则满足题意整数之和为． 故答案为：10． 17. 如图， 在中，， 若，为的中线， 点E在边上(不与端点重合)，与交于点 F， 若， 则________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，倍长至，使，连接，易证，设，在中，，则，，利用勾股定理求出，证明，得到，设，由相似三角形，得，从而可得答案． 【详解】解：如图，倍长至，使，连接， ∵为的中线， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴，设， 在中，， 则， 解得：， ∵，，，为的中线， ∴，， ， ， ， ， ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得．经检验符合题意； ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中线，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构建全等三角形与相似三角形． 18. 若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为160，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数． （其中， 且a， b， c， d均为整数）为“吉祥数”，则________， 定义， 若能被17整除，且存在整数k，使得 ，则满足条件的M 的值为________． 【答案】 ①. 15 ②. 7882 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键．利用“吉祥数”的定义以及各字母的范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解；再利用整数整除的性质，合理变形分析讨论，最后得出满足条件的M的值． 【详解】解：根据题意得，， 变形得，，为10的倍数． ∵， ∴， 为10的倍数，故． ∴，可求得． ∵能被17整除， 可设（N为整数）． 又，， 将变形得： ， 即， （N为整数）， ∵17与3互质， ∴必是17的整数倍． ∵，a、c均为正整数， ∴，即， 是17的整数倍，故或． 以下分两种情况讨论： 当时，则， ， 符合条件的a、c有或或， 当时，， ， （不符合题意，舍去）； 当时， ， ， （不符合题意，舍去）； 当时， ， ， （不符合题意，舍去）； 当时，则， ， 符合条件的a、b有或或， 当时，， ， 无解（不符合题意，舍去）； 当时， ， ， 无解（不符合题意，舍去）； 当时， ， ， （符合题意）； 综上，符合题意的只有． 依据题意可知， ， 因此，满足条件的M值只有， 故答案为：15，7882． 三、解答题∶(本大题8个小题， 第19题8分， 第20至26题每小题10分， 共78分) 解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算及整式的运算，熟记运算法则是钥匙的关键： （1）原式先根据单项式乘以多项式和完全平方公式将括号展开后再进行加减运算即可； （2）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法后，约分后即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 学习了平行四边形后，小明同学进行了拓展性研究．他发现，平行四边形相对的两个顶点到另外两个顶点所连对角线的距离相等．他的解决思路是通过证明两条垂线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点C作的垂线，垂足为F．(只保留作图痕迹) 已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，与点E． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴① ∵， ∴②． ∴③ ∴． 【答案】 作图如下图： ，， 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据过一点作已知直线的垂线的画法作图，再推理证明即可并得到结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，，． 21. 随着全球气候变暖，极端天气事件的频繁发生，环境保护牵动着全世界人们的心，为进一步加强学生对“环保”的重视程度，某校在初一、初二年级组织了“环保”知识比赛，现从初一、初二年级各随机抽取10名同学的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，x均不低于60，共分成四组：A：，B：，C：，D：），绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题． 初一年级10名学生的成绩是：68，69，77，78，84，86，86，97，95，100． 初二年级10名学生的成绩在C组中的数据是：86，87，87． 两个年级抽取学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 初一年级 84 85 b 初二年级 84 c 92 初二年级抽取学生比赛成绩扇形统计图 （1）直接写出上述图表中a，b，c的值：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校初一、初二年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（一条理由即可）． （3）若两个年级各有400入参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）的学生共有多少人？ 【答案】（1），， （2）初二年级学生掌握垃圾分类知识更好， 初一年级与初二年级学生成绩的平均数相等，初一年级学生成绩的中位数为85低于初二年级学生成绩的中位数87． 初二年级学生掌握垃圾分类知识更好． （3）估计参加此次比赛成绩优秀的学生共有人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，求中位数，求众数，样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据初一年级10名学生的成绩求得众数，根据扇形统计图以及在组中的数据求得中位数，根据扇形统计图求得的值； （2）比较中位数，即可得出结论； （3）根据样本估计总体，即可求解． 【小问1详解】 解：初二年级抽取学生比赛成绩组中的数据有3个，则， ∴， ∵初一年级10名学生的成绩是：68，69，77，78，84，86，86，95，97，100． 出现了2次，出现次数最多，则， ∵初二年级抽取学生比赛成绩中 A组中的数据有个， B组中的数据有个， C组中的数据有3个，分别为86，87，87． 中位数在第，个数据，为，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：估计参加此次比赛成绩优秀的学生共有280人． 22. 某工厂有40名工人，生产甲、乙两种摩托车配套零件，每个工人每天能加工甲种零件30个，或乙种零件20个． （1）若1个甲零件和2个乙零件配套成一个完整的部件，应怎样安排工人才能使一天生产的零件正好配套？ （2）该工厂将这种完整的部件销售给摩配公司，一月份的销售总额为30万元，受市场影响，二月份该工厂将一个完整部件的销售单价在一月份的基础上提高了，销量比一月份少了500个，结果二月份的销售总额比一月份多了3万元，求一月份每个完整部件的销售单价为多少元？ 【答案】（1）应安排10名工人生产甲零部件，30名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套 （2）一月份每个完整部件的销售单价为50元 【解析】 【分析】该题主要考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式． （1）设应安排名工人生产甲零部件，名工人生产乙零部件，根据题意列出方程求解即可； （2）设一月份每个完整部件的销售单价为y万元，则二月份每个完整部件的销售单价为万元，根据题意列出方程求解即可 【小问1详解】 解：设应安排名工人生产甲零部件，名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套． 依题意，得． 解得，所以． 答：应安排10名工人生产甲零部件，30名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套． 【小问2详解】 解：设一月份每个完整部件的销售单价为y万元，则二月份每个完整部件的销售单价为万元， 依题意，得， 解得：万元元， 经检验：是方程的解，且符合题意， 故一月份每个完整部件的销售单价为50元． 23. 如图，中，于点 D，动点P以每秒 个单位长度的速度从点B出发沿折线方向运动，到点C运动停止，过点 P作于点Q，设运动时间为t秒，点Q，D之间的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，当正比例函数的图象与该函数图象有两个交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2） 作函数图象如图1； 当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】（1）由，可得，由题意知，当时，在上运动，则，证明，则，即，可求；当时，在上运动，，同理，，则，即，可求；进而可得y关于t的函数表达式； （2）描点连线作函数图象即可，根据函数图象确定性质即可； （3）如图2，当经过点时，，可求，然后数形结合可得，当正比例函数的图象与该函数图象有两个交点时，k的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由题意知，当时，在上运动， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，； 当时，在上运动， ∴， 同理，， ∴，即， 解得，； 综上所述，y关于t的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2， 当经过点时，， 解得，， 由图象可知，当正比例函数的图象与该函数图象有两个交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题考查了腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数的图象与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数的图象与性质是解题的关键． 24. 如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向． （1）求B，D两地的距离； （2）大门C在风景点D的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，此次翻修工程的总费用约为多少元？（参考数据：） 【答案】（1）米 （2）75712元 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，三角形的内角和定理，等角对等边，含直角三角形的性质，掌握知识点的应用及根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，求出，，从而可得，，（米），再求出的长即可得解； （2）过点作于点，解直角三角形求出的长，即可得解． 【小问1详解】 解：如图：过点作于点， 由题意知，， ∴，， ，，米， ∴（米） ∴（米） 答：、两地的距离约为米； 【小问2详解】 解：如图：过点作于点， 米， ，，， ， ， ∵，， （米）， ， （米）， （米）， 总费用约为（元）， 答：总费用约为75712元． 25. 如图， 直线与x，y轴分别交于点A，B，抛物线经过A， B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点 D． （1）求抛物线的表达式； （2）求的最大值及此时点P的坐标； （3）在点P运动过程中，连接，当的中点恰好落在y轴上时，连接，在抛物线 上是否存在点Q，使得，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为， （3）存在，所有符合条件的点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）当时，，即；当时，，可求，即，将，代入得，，可求，进而可得抛物线的表达式； （2）由（1）可知，，勾股定理得，，如图1，作轴于，设，则，，，，证明，则，即，可求，则，由，可知当时，的值最大，进而可求最大值以及点的坐标； （3）令，可求或，则，由的中点恰好落在y轴上，可得，可求，即；如图2，作，交抛物线于，则，待定系数法求的解析式为，联立，计算求解即可；如图2，在上取点，连接，交抛物线于，使，则，，设，则，，则，可求，则，同理，直线的解析式为，联立，计算求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 勾股定理得，， 如图1，作轴于，设，则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为，； 【小问3详解】 解：令， 解得，或， ∴， ∵的中点恰好落在y轴上， ∴， 解得，， ∴； 如图2，作，交抛物线于， ∴， 设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为， 联立， 解得，或， ∴； 如图2，在上取点，连接，交抛物线于，使， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得，或， ∴； 综上所述，存在，所有符合条件的点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点，一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等角对等边，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握一次函数与二次函数的交点，一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 如图，在中，，于点 D， E为上一点， 连接． （1）如图1，若平分，， 求线段的长； （2）如图2，过点E作交的延长线于点 F， 连接， G为的中点，连接，若，猜想线段之间的数量关系， 并证明你的猜想； （3）如图3， 过点D作的垂线交于点H，点P是直线上一动点， 连接，将绕A点顺时针旋转得， 连接与直线交于点Q，当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） ，证明如下： 如图所示，过点F作交延长线与M， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 如图所示，取中点N，连接， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作于H，证明都是等腰直角三角形，得到，由角平分线的性质得到，则，可得，解方程即可得到答案； （2）如图所示，过点F作交延长线与M，证明，得到，设，则，取中点N，连接，则是的中位线，可得，求出，则，可得，则再由，则； （3）如图3-1所示，将绕点A逆时针旋转60度得到，连接，则是等边三角形，证明点H为的中点，得到；同理可得是等边三角形，则，证明，得到，则点Q在直线上运动，故当时，有最小值；如图3-2所示，设交于T，则，设，则，可得；再证明，得到四边形是梯形，则，再由，可得． 【小问1详解】 解：如图所示，过点E作于H， ∵，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，将绕点A逆时针旋转60度得到，连接，则是等边三角形， ∴； ∵是等腰直角三角形，， ∴点H为的中点， ∴； ∵将绕A点顺时针旋转得， ∴同理可得是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∵点Q是直线的交点， ∴点Q在直线上运动， ∴当时，有最小值； 如图所示，设交于T， ∵， ∴， 设，则， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $