3 .3 探索与表达规律 同步训练 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

3 .3探索与表达规律 一、课标导航 课标内容 课标要求 目标层次 找规律 学会基本的找规律的方法 ★ 掌握常见的找规律题型，能根据题意找出相应的对应关系 ★★ 通过观察、归纳、验证及类比联想寻找规律，获得结论 ★★★ 定义新运算 能根据题意进行运算，熟悉定义新运算的关键所在 ★★ 程序计算 弄清程序与数学表达式之间的关系，并准确转化为数学问题进行解题 ★★ 二、核心纲要 1.找规律 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型： (1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系. (2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系. (3)图形(图表)规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系. (4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数. (5)数形结合的规律：观察前n项(一般前3项)及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论. 常见的数列规律： (1)1,3,5,7,9,…,2n—1(n为正整数). (2)2,4,6,8,10,…,2n(n为正整数). (3)2,4,8,16,32,…,2"(n为正整数). (4)2,5,10,17,26,…,n²+1(n为正整数). (5)0,3,8,15,24,…,n²—1(n为正整数). (6)2,6,12,20,…,n(n+1)(n为正整数). (7)-x,+x,-x,+x,-x,+x,…,(--1)"x(n为正整数). (8)+x,-x,+x,-x,+x,-x,…, (-1)"+1x(n)为正整数). (9)特殊数列： ①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. ②三角形数:1,3,6,10,15,21,…, 2.定义新运算 (1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算. (2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序. ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用. 3.程序计算 解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题. 4.数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力. 本节重点讲解：两大能力，三种题型(找规律、定义新运算和程序计算). 三、全能突破 基础演练 1.根据图2-3-1中数字的规律，在图形中填空. 2.观察下面一列整式： 照此规律第6个整式是 ，第n个(n≥1且为整数)整式是 . 3.正整数按图2-3-2中的规律排列.请写出第45行，第46列的数字 . 4.图2-3-3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层中含有正三角形个数是 个. 5.如图2-3-4所示，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”.如：小宇在编号为3 的顶点时，那么他应走 3个边长，即从 3→4→5→1 为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从 1→2为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是 ；第2012次“移位”后，则他所处顶点的编号是 . 6.观察下列等式： … 则第n(n是正整数)个等式为 . 7.我们规定一种运算： 若 则x= . 8.魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2-3-5所示的步骤操作： 魔术师立刻说出观众想的那个数. (1)如果小明想的数是--1，那么他告诉魔术师的结果应该是 ； (2)如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是 ； (3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙. 能力提升 9.已知: ，以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6，…，按照上面的研究方法确定 的个位数字为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10.如图2-3-6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 . 11.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图2-3-7(a)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2-3-7(b)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A.15 B.25 C.55 D.1225 12.如图2-3-11所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等. 9 & # x -6 2 图2-3-11 (1)可求得x= .第2012个格子中的数为 . (2)判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2012? 若能，求出m的值；若不能，请说明理由； 13.阅读图2-3-12并回答下列问题： (1)若A为785,则 E= ; (2)按框图流程，取不同的三位数A，所得 E的值都相同吗? 如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E的所有可能的值； (3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A，它的百位数字减去个位数字所得的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值? 并对你猜想的结论加以证明. 14.图2-3-13所示为手的示意图,在各个手指间标记字母A,B,C,D. 请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C第 201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 (用含 n的代数式表示). 15.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： ①f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,… ② 利用以上规律计算： 16.(1)如图2-3-14所示的运算程序中，若开始输入的x值为96，我们发现第1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为 . (2)计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如,用十六进制表示:5+A=F,3+F=12,E+D=1B,则A×C= . 巅峰突破 17.图2-3-15 所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是 . 18.对于两数a和b,给定一种运算“#”:a#b=a+b— ab,则在下列等式中: ①a#b=b#a; ②a#0=a; ③(a#b)#c=a#(b#c). 正确的是 (填序号). 19. 正整数n小于100，并满足等式 其中[x]表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有多少个? 基础演练 1.7;2n—1;2n;(2n)²—1. 【提示】系数分别为： x的指数分别为:2,4,8,…,2"; y的指数分别为: 1,4,9,…,n². 3.2070. 【提示】第一行，第二列为：1×2；第二行，第三列为：2×3；第三行，第四列为：3×4；以此类推： 第45行,第46列为:45×46=2070. 结论:第n行,第n+1列为:n(n+1). 4.114. 【提示】第1层包括6 个正方形和6 个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，第3层包括6个正方形和30个正三角形，依此递推，第n层包括6个正方形和6(2n-1)个正三角形，所以第10层中含有正三角形个数是 114个. 5.3;2. 【解析】从2开始，2→3→4为第一次移位，到达编号4 的顶点，然后从4→5→1→2→3为第二次移位；后面依次是：第三次移位3→4→5→1；第四次移位1→2;所以周期为4,10÷4=2……2,所以第十次移位所处顶点的编号为3；2012÷4=503，所以第2012次移位所处顶点的编号为2. 7.2 【提示】依题意得:4(x--1)--2x= 0,解得：x= 2. 8.(1)4; (2)88; (3)设观众想的数为a，则有 因此，魔术师只要将最终结果减去5，就能得到观众想的数了. 能力提升 9. C. 【提示】6的n次方的末位数字的规律：6.7的n次方的末位数字的规律：7，9，3，1 所以 2006²⁰⁰⁷的末位是 6,2007²⁰⁰⁶的末位是 9,所以 的个位数字为5. 10. n(n+2) 【提示】n=1 3=1×3; n= 2 8= 2×4; n=3 15=3×5; … , 第n个数为:n(n+2) 11. D 【提示】三角形数的第n个数的规律是：1+2+ 正方形数的第n个数的规律是：n². 首先A,C排除,25=5²,但1+2+3+4+5+6<25<1+2+3+4+5+6+7,所以25不是. 1225=1+2+3+…+49,而1225 = 35². 所以选 D. 12.(1)9;-6; (2)判断：前m个方格中所填整数之和不能为2012. ∵9+(-6)+2=5, ∴当 时,m=1207.2; 当 时,m=1202.8; 当 时,m=1207.4. ∴不存在m的值，使前m个方格中所填整数之和为2012. 13.(1)1089; (2)E的值都相同. 理由如下:设A=100a+10b+c且a-c=2,则B=100c+10b+a. ∴C=A-B=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)=99×2=198. ∴D=891.∴E=C+D=198+891=1089. (3)E是定值,E=1089. 证法1:设A=100a+10b+c且a-c>2,则B=100c+10b+a. ∴C=A-B=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=100(a-c)+(c-a)=100(a-c-1)+10×9+(10+c-a). ∴D=100(10+c-a)+10×9+(a-c-1). ∴E=C+D=[100(a-c-1)+10×9+(10+c-a)]+[100(10+c-a)+10×9+(a-c-1)]=1089. 证法2:设A=100a+10b+c且a-c>2,则B=100c+10b+a. ∴C=A-B=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c). ①若a-c=3,则C=297,D=792,∴E=C+D=297+792=1089; ②若a-c=4,则C=396,D=693,∴E=C+D=396+693=1089; ③若a-c=5,则C=495,D=594,∴E=C+D=495+594=1089; ④若a-c=6,则C=594,D=495,∴E=C+D=594+495=1089; ⑤若a-c=7,则C=693,D=396,∴E=C+D=693+396=1089; ⑥若a-c=8,则C=792,D=297,∴E=C+D=792+297=1089. 14. B;603;6n+3. 【提示】A→B→C→D→C→B每六个字母为一组，依次进行循环，∴12对应的字母是 B； 每一组里C出现两次,201=2×100+1,当字母C第201次出现时,恰好数到的数是:6×100+3=603，当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是:6n+3. 15.1 【提示】通过观察，猜想，得出结论： 16.(1)3; 【提示】96→48→24→12→6→3→3+3=6→3→3+3=6,由此出现循环, 所以:(2009-3)÷2=1003,所以输出的数为3. (2)78. 【提示】∵A×C对应的十进制中的10×12=120=7×16+8,∴A×C=78. 巅峰突破 17.-32. 18.①②③. 此题举例说明即可. 且 若 x 不是整数, [x] <x,则 不成立. 可知2整除n,3整除n,6整除n,100÷6=16……4,正整数n小于100的有16个. 学科网（北京）股份有限公司 $$