精品解析：2024年山东省日照市新营中学九年级下学期4月中考数学模拟试题

初三数学模拟试题（五） 考试时间：120分钟 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年2月17日至2月27日第十四届全国冬季运动会在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行．该会的吉祥物成为焦点，某日通过搜索得出相关结果约为1600万个．将“1600万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，a，b是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的b边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示．对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（ ） A. 中位数是5 B. 众数是5 C. 平均数是5.2 D. 方差是2 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 12. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______． 13. 如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上且，，将△AOB沿AB翻折得ADB，反比例函数的图像恰好经过D点，则k的值是_____． 14. 如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为和，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为______． 15. 如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是___________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中m是使不等式组成立的整数解． 18. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整； （2）C组所对应的扇形圆心角为_______度； （3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________； （4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 19. 如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 20. 太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 21. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 22. 如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 如图，是等腰直角三角形，四边形是正方形，、分别在、边上，此时，成立． （1）当正方形绕点逆时针旋转（）时，如图，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）当正方形绕点逆时针旋转时，如图，延长交于点．求证：； （3）在（2）小题的条件下，与的交点为，当，时，求线段的长． 24. 如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． （1）求抛物线的表达式； （2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； （3）如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学模拟试题（五） 考试时间：120分钟 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，先把小数化为假分数，然后根据倒数的定义求解． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 2. 数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数是解题的关键． 观察数轴得出，在数轴上表示出、，即可由图得出结论． 【详解】解：由图得， 在数轴上表示出、为： 由图可得：， 故选：C． 3. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念得出答案即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念． 中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 4. 2024年2月17日至2月27日第十四届全国冬季运动会在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行．该会的吉祥物成为焦点，某日通过搜索得出相关结果约为1600万个．将“1600万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法， 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值0时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数． 【详解】解∶ 1600万， 故选∶B． 5. 如图，a，b是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的b边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质及平角可进行求解． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴； 故选B． 6. 为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示．对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（ ） A. 中位数是5 B. 众数是5 C. 平均数是5.2 D. 方差是2 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数、众数、平均数、方差定义逐个计算即可． 【详解】根据条形统计图可得， 从小到大排列第5和第6人投篮进球数都是5，故中位数是5，选项A不符合题意； 投篮进球数是5的人数最多，故众数是5，选项B不符合题意； 平均数，故选项C不符合题意； 方差，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差和条形统计图的知识，解答本题的关键在于读懂题意，从图表中筛选出可用的数据，然后整合数据进行求解即可． 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：在反比例函数中，， 此函数图象在二、四象限， ， 点，在第二象限， ，， 函数图象在第二象限内为增函数，， ． ，点在第四象限， ， ，，的大小关系为． 故选：C． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 8. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长． 9. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明推出，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出和长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出的最小值，从而证明②不对. 【详解】解： 为正方形， ，， ， ， . , , ， ， . 平分， . ， . ， ， 垂直平分， 故①正确. 由①可知，，， ， ， ， 由①可知， . 故③正确. 为正方形，且边长为4， ， 在中，. 由①可知，， ， . 由图可知，和等高，设高为， ， ， ， . 故④不正确. 由①可知，， ， 关于线段的对称点为，过点作，交于，交于， 最小即为，如图所示， 由④可知的高即为图中的， . 故②不正确. 综上所述，正确的是①③. 故选：D. 【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点. 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确． 【详解】①∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 由图象可得时，， 即， 而， ∴．故①错误； ②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线． 故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵，， 即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 故，故②正确； ③由图象可知：二次函数与直线有两个不同的交点， 即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误； ④∵函数图象经过，对称轴为直线， ∴二次函数必然经过点， ∴时，的取值范围，故④正确； 综上，②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用十字相乘法分解即可． 【详解】解： = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 12. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数，以及分式方程不能有增根列出不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 13. 如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上且，，将△AOB沿AB翻折得ADB，反比例函数的图像恰好经过D点，则k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到AO＝ABcos30°＝＝6，根据折叠的性质得到∠DAB＝∠OAB＝30°，AD＝AO＝6，求得∠DAO＝60°，过D作DC⊥OA于C，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，AB＝， ∴AO＝ABcos30°＝＝6， ∵将△AOB沿AB翻折得△ADB， ∴∠DAB＝∠OAB＝30°，AD＝AO＝6， ∴∠DAO＝60°， 过D作DC⊥OA于C， ∴∠ACD＝90°， ∴AC＝AD＝3，CD＝AD＝， ∴D（3，）， ∵反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过D点， ∴k＝3×＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数点的坐标特征，翻折变换（折叠问题），直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 14. 如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为和，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、圆锥的侧面积计算，三角形相似的判定和性质，熟练掌握圆锥的侧面积计算是解题的关键．根据展开面积大圆锥侧面积与小圆锥侧面积之差计算即可． 【详解】解：根据题意，补图如下： ∵是原大圆锥剩余部分的高， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴侧面展开图的面积为， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出点点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是，找到规律，得到答案见即可． 【详解】解：当，，解得， ∴点, ∵是正方形， ∴， ∴点， ∴点的横坐标是， 当时，，解得， ∴点， ∵是正方形， ∴， ∴点， 即点的横坐标是， 当时，，解得， ∴点， ∵是正方形， ∴， ∴点的横坐标是， …… 以此类推，则点的横坐标是 故答案为： 【点睛】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合是是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中m是使不等式组成立的整数解． 【答案】（1）1；（2）3 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值． （1）根据题意分别特殊角的三角函数值+零指数幂+绝对值+负整数指数幂+二次根式的化简+分是的化简求值． （2）根据题意先化简分式，在解出m的不等式组即可得出答案． 【详解】解：（1）， =， =． （2）， =， = =． ， 解得①，②，即， ∵， ∴， 即成立的整数解为，则原式． 18. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整； （2）C组所对应的扇形圆心角为_______度； （3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________； （4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1）40， 补全图形如下： （2）72 （3）560 （4） 【解析】 【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形； （2）用360°乘以C组人数所占比例即可； （3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 本次调查总人数为（名）， C组人数为（名）， 图略； 故答案为：40； 【小问2详解】 ， 故答案为：72； 【小问3详解】 （人）， 故答案为：560； 【小问4详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种， ∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 19. 如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：如图所示，连接与交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接与交于O，先由平行四边形对角线互相平分得到，再利用证明得到，进而证明，得到，由此即可证明平行四边形是菱形； （2）先由菱形的性质得到，再解， 得到，利用勾股定理求出，则，，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 20. 太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图， 依题意得：，，， 又 和均为等腰直角三角形， ，， ，， ， ，，， 四边形为矩形， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 在中，， 即：， ， 解得：， 检验：是原方程的根． ， 在等腰中，由勾股定理得：， 点为的中点， ， 答：太阳能电池板宽的长度约为． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键． 21. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【小问1详解】 解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． 【小问2详解】 设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 22. 如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 由题意可知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意可知，可知，易证得，可知，由，易知，进而可证得结论； （2）由角平分线的性质可知，可得，进而可求得，，，，由，可证得，可知，进而可得，求得，即为的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 可得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查切线的证明，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 23. 如图，是等腰直角三角形，四边形是正方形，、分别在、边上，此时，成立． （1）当正方形绕点逆时针旋转（）时，如图，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）当正方形绕点逆时针旋转时，如图，延长交于点．求证：； （3）在（2）小题的条件下，与的交点为，当，时，求线段的长． 【答案】（1） 解：成立． 理由：是等腰直角三角形，四边形是正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ． （2） 证明：设交于点， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质， （1）是等腰直角三角形，四边形是正方形，得出边角关系，再利用证明即可求解， （2）设交于点，根据得出，再证明，即可求解； （3）过点作于点，可得N为的中点，再利用勾股定理等求出，再根据可求出，进而可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，            在正方形中，， ， ． 在等腰直角中，， ，， 在中，， 在中，， ， ． 24. 如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点． （1）求抛物线的表达式； （2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标； （3）如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值． 【答案】（1） （2）点Q坐标，或或； （3）时，有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式； （2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解； （3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F， 可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为． 【小问1详解】 将，代入，得 ，解得 ∴抛物线解析式为： 【小问2详解】 二次函数，当时， ∴点 设点，点， 当为边，为对角线时， ∵四边形为平行四边形， ∴，互相平分 ∴解得，（舍去）或 点Q坐标； 当为边，为对角线时， 同理得， 解得，或， ∴ ∴点Q坐标或 综上，点Q坐标，或或； 【小问3详解】 如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，同理可得 设直线的解析式为： 则，解得 ∴直线： 同理由点，，可求得直线 ： 设点，， 则，，， 中，， ∴， 中， ∴，解得， ∴ ∵ ∴； 中， ∴，解得， ∴ ∵ ∴ ∴， 即． ∵ ∴时，，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $