4.2 角 培优训练2024-2025学年北师大版七年级数学上册

4.2 角 一、课标导航 课标内容 课标要求 目标层次 角 会认识角并会表示；认识度、分、秒，并会进行简单换算；会度量角的大小及进行简单的计算 ★ 会比较角的大小，能估计一个角的大小；了解角平分线的概念 ★ 会尺规作图：做一个角等于已知角 ★★ 会用角平分线的性质解决简单问题，结合图形认识角与角之间的数量关系 ★★ 二、核心纲要 1.角的定义 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关.这是因为角的边是射线而不是线段. 定义2：角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所形成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. (1)如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2)如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注：由角的定义可知： (1)角的组成部分为：两条边和一个顶点. (2)顶点是这两条边的交点. (3)角的两条边是射线，是无限延伸的. (4)射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. (5)若没有特殊说明，本章指的角是( 之间. 2.角的表示方法 (1)利用三个大写字母来表示，如图所示： ∠AOB 注：顶点一定要写在中间.也可记为. 但不能写成 或 等. (2)利用一个大写字母来表示，如图所示： ∠A 注：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个. (3)用数字来表示角，如图所示： ∠1 (4)用希腊字母来表示角，如图所示：∠α 3.角的分类、度量及换算 (1)角的分类 角按大小可分为三类： ①锐角——小于直角的角( ②直角——等于90°的角( ③钝角——大于直角而小于平角的角( 90°<α<180°) (2)角的度量单位及其换算 角的度量单位是度、分、秒.把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1°.把一度的角60等份，每一份叫做1分的角，记做1'.把一分的角60等份，每一份叫做1秒的角，记做1". 1度=60分( 1分=60秒( (3)角的度量 度量角的工具常用量角器 用量角器注意：对中(顶点对中心)、重合(角的一边与量角器上的零刻度重合)、读数(读出角的另一边所在线的度数) 4.角平分线 定义：从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. 用尺规做已知角的平分线方法 作法：(1)以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交角的两边于A、B两点； (2)分别以A、B两点为圆心，以大 ₂AB 长为半径画弧，交于C点 (3)过C点作射线OC. 射线OC 就是所求作的. 5.余角和补角 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. 补角、余角的性质：同角或等角的补(余)角相等. 6.方位角 方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东××度”、“北偏西××度”、“南偏东××度”、“南偏西××度”，方位角α的取值范围 “北偏东45度”为东北方向，“北偏西45度”为西北方向，“南偏东45度”为东南方向，“南偏西45度”为西南方向. 7.钟表问题 钟表问题是指研究时钟的长针(分针)与短针(时针)成直线、成直角与重合等问题. 注：分针每分钟走 度，时针每分钟走 度，分针每分钟比时针多走(6-0.5)度. 本节重点讲解：一个方法(角的表示方法)，一个性质(余角、补角的性质)，四个概念(角、角平分线、余角和补角). 三、全能突破 基础演练 1.在下列说法中，正确的是( ) ①两条射线组成的图形叫做角； ②角的大小与边的长短无关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短； ④角的两边是两条射线. A.①② B.②④ C.②③ D.③④ 2.如图4-3-1中角的表示方法正确的个数有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是( ) 4.如图4-3-2所示,图中共有( )个角 A.6 B.7 C.8 D.9 5.若 则( ) A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C C.∠A>∠C>∠B D.∠C >∠A >∠B 6.计算 7.(1)已知 ，求∠α的余角和补角. (2)已知一个角的补角比它的余角的3倍多 求这个角的度数. 8.时钟表面3点45分时，时针和分针所夹角的度数是多少? 能力提升 9.上午九点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是( ) A.9时30分 B.10时5分 C.10时 分 D.9时 分 10.张老师出门散步，出门时5点多一点，他看到手表上分针与时针的夹角恰好为110°.回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成110°角.则张老师此次散步的时间是( ) A.40分钟 B.30分钟 C.50分钟 D.以上答案都不对 11.如图4-3-3 所示,O为直线AB 上一点,OC 平分∠AOE,∠DOE=90°,则以下结论正确的是( ) ①∠AOD与∠BOE互为余角; ③∠BOE=2∠COD;④若. 则 A.①④ B.①③④ C.③④ D.①②③④ 12.如图4-3-4所示,要将角钢(图4-3-4(a))弯成 145°(图4-3-4(b))的钢架,在角钢上截去的缺口(图4-3-4(a)中的虚线)应为 度. 13.如图4-3-5所示，A、B、C、D是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题. 为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心(即点O的位置)建立了位置指示图，直线CO 与DE相交于点O， 请按要求完成下列问题： ①若在图上测得 ，则可知场馆B的位置是北偏西 ,距中心54mm,可简记为(54mm,北偏西 .据此方法，场馆A 的位置可简记为( ， ). ②可求得 ③在现有的图形中(不增加新的字母)，∠AOD 与 是互补的角. 14.如图4-3-6 所示,在锐角. 内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3 条不同射线，可得10个锐角；……，照此规律，画10条不同射线，可得锐角多少个? 画n条射线，可得锐角多少个? 15.画 ,在边 AM上取AC=3cm,以点C为顶点,CA为一边,在AN同侧作 在边AN上截取 ，以点 B为顶点，BA 为一边，在AM 同侧作 BQ与CP 交于点D,请测量 CD、BD的长及 的度数. 16.已知α的余角是β的补角的 并且 试求 的度数. 17.如图4-3-7 所示,若 已知 求 的度数. 18.按如图4-3-8所示方法折纸，然后回答问题： (1)∠2是多少度? 为什么? (2)∠1与∠3 有何关系? (3)∠1与∠AEC,∠3与∠BEF分别有何关系? 19.已知:如图4-3-9所示,OB、OC分别为定角. 内的两条动射线 (1)当OB、OC运动到如图的位置时， 求 的度数. (2)在(1)的条件下,射线OM、ON 分别为 的平分线，当 绕着点O旋转时，下列结论：( 的值不变；( 的度数不变.可以证明，①②只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值. 20.现有一个 17°的“模板”(如图4-3-10所示)，请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来. 21.如图4-3-11所示,已知O是直线AB 上一点,∠1=40°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是( ) A.20° B.25° C.30° D.70° 22.从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是( ) A.30 B.60° C.90° D.120° 巅峰突破 23.图4-3-12所示是一个3×3的正方形,则∠1+∠2+∠3+…+∠9= . 24.α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算 的值时，有三位同学分别算出了 这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，则α+β+γ= . 25.已知 是钝角,OC、OD、OE 是三条射线,如果OC⊥OA,OD 平分∠AOB,OE平分 那么 的度数是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$