精品解析：2024年黑龙江省哈尔滨市道里区中考零模数学(五四制)试题

道里区2023——2024下学期九年级数学基础测试调研测试 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 2与互为倒数 B. 2与互为相反数 C. 0的相反数是0 D. 2的绝对值是 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若反比例函数的图像经过点，则它的图像也一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度，在点 处测得树顶 的仰角为 ，在点 处测得树顶 的仰角为 ，且三点在同一直线上，若米，则这棵树 的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在矩形 中，若，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图， 绕点 逆时针旋转 得到（点 与点 是对应点，点 与点 是对应点），点 是 中点， 与 相交于点 ，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 9. 按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是（ ） A. B. C. D. 10. 已知两地之间有一条长440千米的高速公路，甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达 地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程 （千米）与各自的行驶时间 （时）之间的函数关系如图所示，下面4个结论：①；②；③两车相遇后，甲车的速度为每小时60千米；④当乙车到达A地时，则甲车距 地的路程是300千米．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 将数字用科学记数法表示为____________． 12. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 13. 把因式分解的结果是____________． 14. 扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留）为____________． 15. 不等式组的解集为____________． 16. 一个袋子中有两个黄球，一个红球，任意摸出一个球后不放回，再任意摸出一个球，求两次摸到都是黄球的概率为____________． 17. 如图，在矩形 中，点E在 边上，将 沿 翻折得到（点C与点F是对应点），点F落在上．若，，则 的长______． 18. 在 中，，点 在直线 上，，则的度数是____________． 19. 阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于 的一元一次方程的解，则代数式的值是____________ 20. 如图，在 中，，点E是 的中点，延长 到点D，点H是 上一点，连接，过点E作垂足为点K，延长交于点F，，，则 的长为___________． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． （1）画出等腰直角三角形，点 在方格纸上的格点上，； （2）画出等腰三角形，点 在方格纸上的格点上， 的面积为6，连接 ，直接写出 的长． 23. 在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学、科技兴趣、民族体育、艺术鉴赏、劳技实践每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）该校共有名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏活动的学生人数． 24. 已知 是 直径， 是 的切线，点A为切点，连接 ，点D是弧 上一点，连接 和 ， 和 相交于点E，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接 ，，，求 的半径． 25. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 26. 已知四边形 是平行四边形，点 是对角线 上一点，点 是 外一点，连接和 ，且． 【问题背景】（1）如图1，若，求证：四边形 是菱形； 【问题拓展】（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长和 交于点和 交于点 ，求证：； 【问题迁移】（3）如图3，连接和 ，点 是 的中点，连接和 ，若，求线段 的长． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线 上方抛物线上一动点，连接，设直线 交线段 于点E， 的面积为的面积为，当最大值时，求点D的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，将 沿 翻折，得到（点D和点F为对应点），直线 交y轴于点P，点S为 中点，连接，过点S作的垂线交x轴于点R，在对称轴上有一点Q，使得是以 为直角边的直角三角形，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 道里区2023——2024下学期九年级数学基础测试调研测试 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 2与互为倒数 B. 2与互为相反数 C. 0的相反数是0 D. 2的绝对值是 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可． 【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确 B. 2与互为倒数，故选项B不正确； C. 0的相反数是0，故选项C正确； D. 2的绝对值是2，故选项D不正确． 故选C． 【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、，选项错误，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 4. 下图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看可得第一列有2个正方形，第二列有1个正方形，第三列有2个正方形，如图所示： 故选：A． 5. 若反比例函数的图像经过点，则它的图像也一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出函数的解析式是解此题的关键． 把代入求出k，得出函数的解析式为，再逐个判断即可． 【详解】解：把代入得：， 则， ， A、把代入得：左边≠右边，即反比例函数的图象不经过点，故本选项不符合题意； B、把代入得：左边≠右边，即反比例函数的图象不经过点，故本选项不符合题意； C、把代入得：左边≠右边，即反比例函数的图象不经过点，故本选项不符合题意； D、把代入得：左边＝右边，即反比例函数的图象不经过点，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度，在点 处测得树顶 的仰角为 ，在点 处测得树顶 的仰角为 ，且三点在同一直线上，若米，则这棵树 的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角函数的应用，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．设，首先根据得到，然后利用得到，利用列方程求出，即可求出 的高度． 【详解】解：由题意得： ， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴这棵树 的高度约为． 故选：B． 7. 如图，在矩形 中，若，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．根据勾股定理求出 ，再根据相似三角形的判定及性质进行解答即可． 【详解】解：在矩形 中，， 则：， ∴ ∵， ∴ ， ， 故选：C． 8. 如图， 绕点 逆时针旋转 得到（点 与点 是对应点，点 与点 是对应点），点 是 中点， 与 相交于点 ，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应角相等，以及解直角三角形的方法和步骤． 根据旋转的性质可得，，， ，则 为等边三角形，再根据点 是 中点，得出，进而得出，易得为直角三角形，然后解直角三角形求出 ， 的值，即可求得答案． 【详解】解： 绕点 逆时针旋转 得到， ，，， ， 是等边三角形， ，， 点 是 中点， ， ， ， ， ， 即， 在中，， ， ， ， 故选：A 9. 按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式找规律，解题的关键是找到规律．根据题意分别找出单项式系数和指数的规律即可解题． 【详解】解：由题可知： 系数依次为连续的奇数，次数为连续的正整数， 则第n个单项式为：， 所以第2024个单项式为： 故选：A． 10. 已知两地之间有一条长440千米的高速公路，甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达 地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程 （千米）与各自的行驶时间 （时）之间的函数关系如图所示，下面4个结论：①；②；③两车相遇后，甲车的速度为每小时60千米；④当乙车到达A地时，则甲车距 地的路程是300千米．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图象中获取信息，读懂图象是解答本题的关键． ①②先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加4即可得n的值； ③根据路程、速度、时间的关系求出两车相遇后，甲车的速度即可； ④先求出乙车的行驶速度，再求出乙车从A地到B地的时间，然后求出在这段时间内甲车通过的路程，最后求出从而可求出乙车到达A地时，则甲车距 地的路程即可． 【详解】解：①②根据题意得，（小时）， （小时），故①②正确； ③两车相遇后，甲车的速度为：（千米/时），故③正确； ④甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为（千米）， ∴乙车的速度为：（千米/时）， ∴乙车行完全程用时为：（时）， ∴乙车到达A地时，甲车距离B地的路程为： （千米） 即：当乙车到达A地时，甲车距B地的路程为140千米，故④错误； 综上分析可知，正确的有3个，故C正确． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 将数字用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的定义；确定幂的指数是解题的关键． 根据科学记数法定义处理：把一个绝对值大于1的数表示成，其中，n等于原数整数位数减1． 【详解】解：； 故答案为： 12. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠1.5 【解析】 【分析】由分式的分母不为0，列出关于x的不等式，即可求出x的范围． 【详解】根据题意得，﹣2x+3≠0， 解答x≠1.5， 故答案为x≠1.5． 【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解本题的关键． 13. 把因式分解的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先提取公因式 ，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留）为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：该扇形的面积为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 15. 不等式组的解集为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，然后得到不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式 ，得， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为． 故答案为：． 16. 一个袋子中有两个黄球，一个红球，任意摸出一个球后不放回，再任意摸出一个球，求两次摸到都是黄球的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．先画出树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出两次摸到一红球和一黄球的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有6种，其中，两次摸到都是黄球的结果有2种， ∴两次摸到都是黄球的概率为， 故答案为：． 17. 如图，在矩形 中，点E在 边上，将沿 翻折得到（点C与点F是对应点），点F落在上．若，，则 的长______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意，得到，，结合，得到，，根据勾股定理，得，根据三角形面积的不变性，得，得到，继而求得，再计算即可． 【详解】解：根据题意，设，， ∵， ∴，， 根据勾股定理，得， 根据三角形面积的不变性，得， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得(舍去)， 故， 故答案为：． 18. 在 中，，点 在直线 上，，则的度数是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理与等腰三角形的性质，解题的关键是考虑到点D的位置分两种情况予以讨论． 根据点D在直线 上分两种情况讨论，运用三角形内角和为与“等边对等角”即可求得答案． 【详解】∵， ∴， ∴，则． 下分两种情况讨论． ①当点D在线段 的延长线上时，如下图． ∵ ， ∴， ∴． ②当点D位于线段 的延长线上时，如下图． 由 得， ∵， ∴， 解得：． ∴． 故答案为：或 ． 19. 阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于 的一元一次方程的解，则代数式的值是____________ 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：7． 20. 如图，在 中，，点E是 的中点，延长 到点D，点H是 上一点，连接，过点E作垂足为点K，延长交于点F，，，则 的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作，交 的延长线于点 ，过点 作于点 ，利用相似三角形的判定与性质，得到，，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论； 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，添加恰当的辅助线构造出三角形的中位线是解题的关键． 【详解】解：过点 作，交 的延长线于点 ， 过点 作于点 ，如图， ， ∴ ， 点 是 的中点， ∴， ， ， ， ， 故答案为： ． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据特殊角三角函数值的混合计算法则求出x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， ∴原式 ． 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． （1）画出等腰直角三角形，点 在方格纸上的格点上，； （2）画出等腰三角形，点 在方格纸上的格点上， 的面积为6，连接 ，直接写出 的长． 【答案】（1） 等腰直角三角形如图所示： （2） 如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查网格中作等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据题意， 是以， 为腰，以 为斜边的等腰直角三角形，作交于点E即可； （2）分类讨论：分别以 为腰，以 为底，三种情况进行画图分析，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 是以， 为腰，以 为斜边的等腰直角三角形， , 解得：， ，且点 在方格纸上的格点上， 等腰直角三角形如图所示： 【小问2详解】 解：依题意，, ①取，连接，如图所示， ， 取 的中点N，过点N作，交 于点G， 根据格点的特点， 点G为 的中点，连接 ， ， ， ， ， 故不符合题意， ②取连接，如图所示， ，， 取的中点Q，作交 于点G， 根据格点的特点，， 点G为 的中点，连接 ， ， ， ， ， 符合题意，符号题意，且点F在格点上， 连接 ， ， ③以 为底，作 的垂直平分线 ，如图所示， 不符合题意， 等腰三角形如图所示， ． 23. 在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学、科技兴趣、民族体育、艺术鉴赏、劳技实践每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）该校共有名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏活动的学生人数． 【答案】（1）90名； （2） 补全条形统计图如下： （3）200名． 【解析】 【分析】（ ）用参加劳技实践的人数除以它的百分比即可求解； （ ）求出参加民族体育的人数，补全条形统计图即可； （ ）用乘以的占比即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，从统计图中获取必要的信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：（名） 答：在这次调查中，一共抽取了 名学生； 【小问2详解】 解：民族体育社团人数为：（人）， 【小问3详解】 解：解：（名） 答：估计本学期参加艺术鉴赏活动的学生人数名． 24. 已知 是 直径， 是 的切线，点A为切点，连接 ，点D是弧 上一点，连接 和 ， 和 相交于点E，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接 ，，，求 的半径． 【答案】（1） 证明： 是 直径， 是 的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等： （1）由切线的性质得到 ，由等边对等角得到，再由等角的余角相等证明，接着由对顶角线段得到，则； （2）先求出 ，根据，得到，设，则，由勾股定理得，，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ）解： 是 直径， ， ， ， 在 中，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， （舍去）或， ∴． 25. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】（1）购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元； （2）甲种农机具最多能购买6件． 【解析】 【分析】（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，找出等量关系列方程求解即可； （2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，根据购买的总费用不超过46万元列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元， 依题意得： 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意， ∴x+1＝2+1＝3． ∴购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元． 【小问2详解】 解：设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具， 依题意得：3m+2（20﹣m）≤46， 解得：m≤6． ∴甲种农机具最多能购买6件． 【点睛】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，（1）的关键是理解题意，找出等量关系列出分式方程，（2）的关键是根据购买的总费用不超过46万元列出不等式． 26. 已知四边形 是平行四边形，点 是对角线 上一点，点 是 外一点，连接和 ，且． 【问题背景】（1）如图1，若，求证：四边形 是菱形； 【问题拓展】（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长和 交于点和 交于点 ，求证：； 【问题迁移】（3）如图3，连接和 ，点 是 的中点，连接和 ，若，求线段 的长． 【答案】 （1）证明：如图1， 四边形 是平行四边形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是菱形； （2）证明：如图2， 四边形 是菱形， ， ， ， 在 上取一点 ，连接，使， ， ， ． ∵， ∴， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到 ，推出，由，推出，证明，得到，即可证明四边形 是菱形； （2）由菱形的性质得到，在 上取一点 ，连接，使，则，证明，即可证明； （3）先证明四边形 是菱形，再证明，得到；连接 ，证明是等边三角形，得到，进而证明，得到，则可得；延长 到点使，连接 ．证明，得到；接着证明 是中位线，得到，推出，过点 作，垂足为点 ，证明四边形为矩形，设，则，，，在中，由勾股定理得到，，解得或（舍去）则，求出， 则． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，， ， ， ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， 连接 ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 即， 延长 到点使，连接 ． ， ， ， ， ， ， 是中位线， ， ， ， 过点 作，垂足为点 ， ， 在中， ， 四边形为矩形， 设， 则， ， ， ， 在中，由勾股定理得到， ∴， 解得或（舍去） ， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线 上方抛物线上一动点，连接，设直线 交线段 于点E，的面积为的面积为，当最大值时，求点D的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，将 沿 翻折，得到（点D和点F为对应点），直线 交y轴于点P，点S为 中点，连接，过点S作的垂线交x轴于点R，在对称轴上有一点Q，使得是以 为直角边的直角三角形，求直线的解析式． 【答案】（1） （2）D（，） （3）直线的解析式为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数图象上的点的坐标特征，相似三角形的性质是关键； （1）利用待定系数法解答即可； （2）过点A作x轴的垂线交 的延长线于点M，过点D作y轴平行线交 于点N，利用相似三角形的判定与性质得到，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质得到，设，则，进而求得线段，求出线段，再利用配方法解答即可； （3）利用分类讨论的方法分两种情形讨论解答：①当时，利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得点R，Q的坐标，再利用待定系数法解答即可；②当时，利用①中的方法解答即可． 【小问1详解】 解：令 ，则 ， ∴， 令 ，则， ∴， 把和代入抛物线解析式中得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 过点A作x轴的垂线交 的延长线于点M，过点D作y轴平行线交 于点N，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中 边上的高与 中边上的高相同， ∴， 设，则， ∴， 把代入 中，得：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， ∴D（，）； 【小问3详解】 ①当时，如图， 由（2）知：， ∵点D和点F关于直线 对称， ∴． ∴直线 的解析式为， 令，则， ∴ ， 根据题意可知：， ∴直线的解析式为． ∴直线的解析式为， 令 ，则． ∴． ∵直线 的解析式为， ∵， ∴直线 的解析式为． ∵， ∴抛物线对称轴的解析式为 ， 当 时， ， ∴． 设直线的解析式为 ， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ②当时， ∵直线 的解析式为，， ∴直线 的解析式为， ∵抛物线对称轴的解析式为 ， ∴当 时，， ∴ ． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 综上，直线的解析式为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $