导数压轴题中的先必要后充分讲义-2025届高三数学二轮专题复习

导数压轴题中的先必要后充分 试题: 已知函数.(1)当时,讨论的单调性(略).(2)当时,,求的取值范围. 试题分析:试题以含参函数为载体,考查利用导数研究函数的单调性,极值,求参数取值范围等导数中的热点问题.突出对数学运算素养与逻辑推理素养的考查.对于已知恒成立问题求参数的取值范围,是常考题型,常用的解题策略可以是分离参数法,也可以直接对参数进行分类讨论,还可以对取特殊值,代入不等式,得到参数的范围,再证明该范围对不等式恒成立(即先必要后充分).现采用先必要后充分解法如下. 解析:取,得,所以. 下证当时有,. 当时,显然不等式成立; 当时,.转化为证明,即证 ,即证. 令., 在单调递减,在单调递增,在单调递减. 所以,故. 综上,当时有.所以. 试题反思:上述解题过程取,得到.这是如何想到呢?思路如下: 将已知条件转化成, 进一步转化成. 记,., 令,,. 在上单调递增,,在上单调递增,,所以,在上单调递增. 又,所以图象如图1所示. 图1 设直线与曲线相切于点, 则.即, 即,即 , 整理得, 由于(),所以, 故.此时,代入直线得. 这就是为什么要取的原因.因此,对于导数压轴试题中的恒成立问题求参数取值范围,如果采用先必要后充分的方法求解,必须先对取特殊值.如何找到这个特殊点?可以由题目条件所给不等式出发,将该不等式重新组合,转化成一个新的不等式,这个新的不等式左右两边对应两个曲线的函数表达式.假设这两个曲线相切于点,利用导数求出此时的,则就是要找的特殊值. 例1:已知函数,若恒成立,求的取值范围. 思路分析:由可得.设直线与曲线相切于点. 则,, 由(2),(3)得.代入(1)得, 所以或 解析:取,得,解得.取,得,解得. 所以. 下证当时有. 证明:即证.即证当时,当时,.令,转化为证当时,;当时,; . 当时,令,,在单调递减,又,所以当时,,,单调递增;当时,,,单调递减;故最大值为,所以当时,. 当时,.所以当时,单调递减;当时,单调递增;故最小值为,所以当时,. 又当时,,所以当时,;当时,; 综上,. 例2:已知函数，(1)求的极值;(略)(2)若，求正实数的取值范围. 思路分析:由得. 设与相切于点.则 ...(1),...(2), ..(3).将(2),(3)代入(1)得 . 故. 解析:记,则， 令得 下证当时, 当时， ， 记，，令得 在单调递增，在单调递减，所以，则，故综上. 例3:已知关于的不等式在时恒成立,求的取值范围. 思路分析:由已知条件可得.设与相切于点.则...(1)...(2).由(1)得,代入(2)得,,解得. 解析:记,则,.令,得.下证当时有. 证明:当时,.即. 令,,. 在单调递增,,,在单调递减,在单调递增.所以,故,从而. 综上,. 例4:已知函数.当时,恒成立,求的取值范围. 思路分析:由得.设与相切于点.则...(1),...(2).将(2)代入(1)得,解得. 解析:令得.下证当时有. 证明:,,在单调递增.,.记,. ,在上单调递增,,所以.故存在使得,且在单调递减,在上单调递增.故.由得,解得.故 .故.综上. 练习: 已知函数.(1)略.(2)若,求的取值范围. 思路分析:由得.设与相切于点.则...(1).…(2).将(2)代入(1)得…(3).由(2)得,即,代入(3)得.记,.,在上单调递增.又,所以在上有唯一的零点1,故. 解析:令得.由在上单调递增,,得.下证当时. 证明:因为,,当且仅当时取等号. 所以当时,,即. 虽然导数试题千变万化,但是对于一些套路较为固定的题型,仍然可以从中把握试题背后的规律.对于此类先必要后充分中的取点探究,按照本文所述方法可以找出所需的点.当然,法无定法,在实际解题中,要根据题目条件灵活调整,并选择适当的方法,不断将未知转向已知,从而实现解题的高效和最优化. 学科网（北京）股份有限公司 $$