导数压轴题中的虚设零点,整体代换讲义-2024届高三数学二轮专题复习

导数压轴题中的虚设零点,整体代换 对于导数压轴试题中的导函数零点不可求问题,经常虚设零点,整体代换,可以化繁为简,化抽象为具体,顺利实现转化.本文以几道导数压轴试题进行说明. 例1.已知函数,且.(1)求;(2)证明:存在唯一的极大值点,且. 解析:(1),过程略. (2),.,. 令得. 当时,,在上单调递减; 当时,,在上单调递增; 有最小值.结合,画出的大致图像,如图(1)所示. 图(1) 可知存在一个零点,设为.即,. 当时,,在上单调递增; 当时,,在上单调递减. 当时,,在上单调递增; 故函数存在唯一的极大值点. 由,可得. 故. 令,.由得在上单调递增,则有 ,即. 综合上述分析有存在唯一的极大值点,且. 简评:的零点不可求,但是考查其单调性以及特殊值,结合零点存在性定理可知存在隐零点,隐零点的区间为,且将替换成为,如此一来解题过程不仅严密,而且思路自然流畅,一气呵成.本道高考试题充分体现了虚设零点,整体代换的强大作用. 例2. (1) 讨论函数的单调性,并证明当时,. (2) 证明:当时,函数()有最小值.设的最小值为,求函数的值域. 解析:(1),,在和上单调递增.显然,,所以当时,,即,故有. (2) ,,. 令.由第(1)步在上单调递增可得在上单调递增.又 ,,故存在唯一的,使得,即, 故. 当时,,在上单调递减; 当时,,在上单调递增. 故 ,此即为. 令,.由可知在单调递增,故有,即. 简评:的零点不可求,但是考查其单调性以及特殊值,结合零点存在性定理可知存在隐零点,隐零点的区间为,且将替换成为,顺利实现转化. 例3.已知函数 .证明:当时,. 证明:,. 当时,在上单调递增,且只有一个零点,设为.即. 当时,,在上单调递减; 当时,,在上单调递增. 故. 由得,,,,化简得. 故. 故,即当时,. 简评:的零点不可求,但是考查其单调性以及和的图像关系可知存在隐零点,隐零点的区间为,且将替换成为,将替换成为,顺利实现转化. 例4.已知函数,(1)略.(2)当时,求证:. 证明:.当时,,,, .故只需证. 令,,在上单调递增. 由,,可知存在,使得. 当时,,在上单调递减; 当时,,在上单调递增. 故. 由得,,即,. 则. 故,则当时,. 简评:的零点不可求,但是考查其单调性以及特殊值,结合零点存在性定理可知存在隐零点,隐零点的区间为,且将替换成为,将替换成为,顺利实现转化. 通过上述几道试题的分析,不难发现全国卷高考试题偏爱此类导函数零点不可求问题.对于导函数零点不可求的问题,在虚设零点,整体代换的过程中必须把握好两个原则.原则一:在虚设零点的过程中,对隐零点的估值区间要尽量缩小.原则二:在整体代换的过程中,要把握好用什么样的式子代替什么样的式子(其依据是使得计算简洁,解题过程流畅).如果忽略了这两个原则,不仅会使得解题过程较为繁琐,甚至会得出错误结果. 练习1:已知函数,若存在实数,使得成立,求整数的最小值. 解析:由已知有.令,只需. ,,在上单调递增. 由,,可知存在,使得. 当时,,在上单调递减; 当时,,在上单调递增. 故. 由得,,即. 则. 当时,,则. 故整数的最小值为0. 练习2:已知函数,证明:当时,不等式. 证明:,. 由,得在上单调递增. 又,, 根据零点存在定理可知,存在,使得. 当时,,在上单调递减; 当时,,在上单调递增. 故. 由得,即,. 故,其中. 令,. 由得在上单调递减. 故,即. 综上,有,则当时,不等式. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$