主元法解决导数压轴试题讲义-2025届高三数学二轮专题复习

主元法解决导数压轴试题 许多数学问题中都含有常量,参量,变量等多个量.通常情况下,有一些元素处于突出和主导的地位,可视之为主元.在某些情况下,为解决问题的需要,我们也可人为突出某个元素的地位作用,将之当作主元.确立主元后,以此作为解题的主线,进而把握问题,促使问题转化,直至问题解决的思想方法称为主元法.数学中的多元参数问题,若按常规思路确定主元,可能导致问题复杂化,此时,若能针对题目的结构特征,改变思考的角度,重新确立主元,即选择某参变量为主元,亦即把参变量与主变量对换,反客为主,另辟蹊径,往往可以使问题化难为易,迅速求解.在导数试题中,经常涉及到多个变量(如等)问题,常规思路是以为主元进行求解.但是对于不少导数压轴试题,以为主元进行求解会十分繁琐.此时如果能够改变思路,重新确定主元,则会使得解题过程格外简捷自然. 例1:已知函数,.(1)若时,取得极小值,求及的取值范围.(2)当,时,证明. 解析:(2)即证.由于,所以转化成证. 记,转化成证. 当时,,在上单调递减; 则 记,. ,在上单调递减,故,所以 当,. 当时,,在上单调递增;则. 综上,,即. 简析:要证明,如果以为主元进行求解较为繁琐,此时重新确定主元,以为主元,记,转化成证.此时只需对进行分类讨论即可.由此可见重新确定主元后使得解题过程大大化简,可谓大道至简,多思少算. 例2:设函数,,为的导函数.若,,,且的极大值为,求证. 证明:由已知有,. 结合三次函数的图像可知存在,使得. . 记, 由于,所以,则在上单调递增; . 记,.易求得的最大值为. 故. 简析:要证明,常规思路是将表示成以为主元的函数,求导证明.不妨重新确定主元,以为主元,将表示成,结合的取值范围确定在上单调递增,从而迅速证明出.整个解题过程自然流畅,思路清晰,十分简捷. 例3:已知实数,设函数,.(1)当时,求函数的单调区间;(2)对任意均有,求的取值范围. 解析:(2)令,得.下证就是符合题意的的取值范围. 当时,由已知可得,.整理得 . 记,.此时有. 记,则,. ,, 若,即时,, 记,. ,,. 易知在单调递减,在单调递增.所以,则,故符合题意. 若,即时,, 记,.即. 记,由可得在单调递减,,所以,则,故符合题意. 综上,. 简析:对于不等式,常规思路是以为主元进行求解.重新确定主元,以为主元,得到,则,.此时是以为主元的一元二次函数,配方,讨论对称轴与的关系,将复杂的问题转化成学生熟悉的二次函数最值问题,化繁为简,化抽象为具体. 例4:已知函数,.(1)若,,求(2)对任意的,不等式恒成立,求正实数的取值范围. 解析:(2)由已知可得,. 记,则. ,令,得. 易知在单调递减,在单调递增.. 所以. 记, . 若,则,在上单调递增,,此时,符合题意. 若,则,在上单调递减,,矛盾. 综上,有. 简析:对于不等式,有多个变量,此时首先确定以为主元,得到.接着再以为主元,得到.通过两次重新确定主元,将复杂的多元问题转化成简单的问题,化难为易,提高了解题效率. 不难发现,对于此类导数压轴试题,当面对题目中含参数问题时,若以为主元证明考虑很困难,可通过重新确立主元的方法,重新设定参数,会很自然得到解题思路,化繁为简,化难为易,化抽象为具体,使求解过程更加简捷. 练习1:已知函数,.若是唯一的极值点,求. 解析:, 设,令. 当,即时,,. 当,即时,且,. 当,即时,且,. 综上,. 练习2:已知函数,对任意的恒成立,求的取值范围. 解析:由已知有,令,则对任意的恒成立.令,得. 练习3:已知函数,其中,若对任意的及上恒成立,求的取值范围. 解析:令,得,故,所以.下证当时,.令,则. 由于,所以在上单调递减.转化为证当时,. ,记,.显然.,显然.,所以 在单调递减 ,则,故在单调递增 ,则,从而 . 练习4:已知,,证明:若,则. 证明：由已知可得,.令,则.当时,显然.以下考虑的情形.要证,即证,结合的图像及单调性可知，即证,即证. 令,. ,,在上单调递减.又,所以,所以,在上单调递增,所以,故 ,即. 练习5:已知函数,.对任意,且,求证. 解析:,. 由于,,所以,在单调递减. 设,以为主元,令, 显然.,由于,所以,在上单调递减.故,则,即. 练习6:若实数满足,则以下结论正确的是 A B C D 解析:由已知有. 令,则. 由,得. . 令,由,得. . 所以. 因此有,此时,,,选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$