4. 第4章 图形的相似 适应性评估卷-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（北师大版）河北专版

九年级上册 2024 数学 北师大版 2 第四章适应性评估卷 一、选择题(共12题，每题3分，共36分) 1. 如果4 x ＝5 y ( y ≠0)，那么下列比例式成立的是(　B　) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 2. 下列各组中的四条线段成比例的是(　C　) A. 1，2，3，4 B. 2，4，3，5 C. 4，8，5，10 D. 3，9，4，7 【解析】A. ∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例； B. ∵2×5≠4×3，∴四条线段不成比例； C. ∵4×10＝8×5，∴四条线段成比例； D. ∵3×9≠4×7，∴四条线段不成比例. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 3. 如图，已知 AB ∥ CD ∥ EF ， AD ∶ AF ＝3∶5， BC ＝6， CE 的长为 (　B　) A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】∵ AB ∥ CD ∥ EF ， ∴ ＝ ＝ . ∴ BE ＝ BC ＝ ×6＝10. ∴ CE ＝ BE － BC ＝10－6＝4. 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 思路点拨 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 4. 已知线段 a ， b ， c ，作线段 x ，使 a ∶ b ＝ c ∶ x ，则正确的作法是 (　B　) B 【解析】A. 根据平行线的性质得 a ∶ b ＝ x ∶ c ，故此选项错误； B. 根据平行线的性质得 a ∶ b ＝ c ∶ x ，故此选项正确； C. 根据平行线的性质得 x ∶ b ＝ a ∶ c ，故此选项错误； D. 根据平行线的性质得 a ∶ b ＝ x ∶ c ，故此选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 5. 如图小明在作业纸上画出图1，图2两组三角形，每组各有两个三角 形，其边长和角的度数已在图上标注，对于图1，图2中的两个三角形而 言，下列说法正确的是(　A　) A. 都相似 B. 都不相似 C. 只有图1相似 D. 只有图2相似 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】图1根据三角形的内角和定理，即可求得第一个三角形的第三 角为70°，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定图1中的两个三 角形相似；图2根据图形中的已知条件，即可证得 ＝ ，又因为对 顶角相等，所以根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 6. 小亮同学为了估计江水流域的宽度，在江的对岸选定一个目标作为点 A ，在江的这一边选定点 B 和 C ，使 AB ⊥ BC ，然后再选定点 E ，使 EC ⊥ BC ，确定 BC 与 AE 交于点 D ，此时测得 BD ＝150 m， DC ＝50 m， CE ＝30 m，则江水流域的宽度 AB 是(　B　) A. 80 m B. 90 m C. 100 m D. 110 m 第6题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】∵ AB ⊥ BC ， EC ⊥ BC ，∴∠ B ＝∠ C ＝90°. ∵∠ ADB ＝∠ CDE ，∴△ ADB ∽△ EDC . ∴ ＝ ，∴ ＝ . ∴ AB ＝90. ∴江水流域的宽度 AB 是90 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 7. 如图，已知 D 是△ ABC 中边 BC 上的一点，∠ BAD ＝∠ C ，∠ ABC 的平分线交边 AC 于点 E ，交 AD 于点 F ，那么下列结论中错误的是 (　A　) A. △ BDF ∽△ BEC B. △ BFA ∽△ BEC C. △ BAC ∽△ BDA D. △ BDF ∽△ BAE 第7题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】∵∠ BAD ＝∠ C ，∠ ABC ＝∠ DBA ， ∴△ BAC ∽△ BDA . 故C选项正确. ∵ BE 平分∠ ABC ，∴∠ ABE ＝∠ CBE . 又∵∠ BAD ＝∠ C ，∴△ BFA ∽△ BEC . 故B选项正确. ∴∠ BFA ＝∠ BEC . ∴∠ BFD ＝∠ BEA . ∴△ BDF ∽△ BAE . 故D选项正确. 而不能证明△ BDF ∽△ BEC ，故A错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 8. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形， 它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似. 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们 的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似. 对于两人的观点，下列说法正确的是(　A　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】甲：如图1，根据题意，得 AB ∥A'B'， AC ∥A'C'， BC∥B'C'， ∴∠ A ＝∠A'，∠ B ＝∠B'. ∴△ ABC ∽△A'B'C'. ∴甲说法正确； 乙：如图2，根据题意，得 AB ＝ CD ＝3， AD ＝ BC ＝5， 则A'B'＝C'D'＝3＋2＝5，A'D'＝B'C'＝5＋2＝7， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∴ ≠ . ∴新矩形与原矩形不相似. ∴乙说法不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 9. 如图，在正方形网格中，△ ABC ，△ EDF 的顶点都在正方形网格的 格点上，则∠ ABC ＋∠ ACB 的度数为(　B　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 第9题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】根据勾股定理，得 AB ＝ ， AC ＝ ， DE ＝ ， FD ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ . ∴△ ABC ∽△ EDF . ∴∠ BAC ＝∠ DEF ＝180°－45°＝135°. ∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°－135°＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 10. 如图，正方形网格图中的△ ABC 与△A'B'C'是位似关系图，则位似 中心是(　A　) A. 点 O B. 点 P C. 点 Q D. 点 R 第10题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】如图，连接AA'，CC'交于点 O ， ∴位似中心是点 O . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 11. 如图，在△ ABC 中， D 是 AB 的中点， DE ∥ BC ，若△ ADE 的面积 为4，则四边形 DBCE 的面积为(　C　) A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 第11题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】∵ D 是 AB 的中点，∴ AD ＝ BD ＝ AB . ∵ DE ∥ BC ，∴△ ADE ∽△ ABC . ∴ ＝ ＝ ＝ . ∴ S△ ABC ＝4 S△ ADE ＝16. ∴四边形 DBCE 的面积为16－4＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 12. 《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除.如图，已知△ ABC ∽△ ADE ，则 ＝ ，若规定 AB 为单位线段1，则 AE ＝ AD · AC ，若规定 AC 为单位线段1，则 CE 为(　C　) A. B. C. D. 第12题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】∵△ ABC ∽△ ADE ， ∴ ＝ . ∴ ＝ . ∵规定 AC 为单位线段1， ∴ CE ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 二、填空题(共4题.每题3分，共12分.其中第15题第一空1分，第二空2分) 13. 如图，这是一个鹦鹉螺外壳.经研究发现，点 C 是线段 AB 的黄金分割点( BC ＞ AC ).若线段 AB 长为2 cm，则 BC 长的近似值约为 cm(精确到0.01). 第13题图 1.24　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】∵点 C 是线段 AB 的黄金分割点( BC ＞ AC )， ∴ BC ＝ AB ＝ －1≈2.24－1＝1.24. 根据黄金分割的概念得到 BC ＝ AB ，把 AB ＝2代入计算求出 BC ，即可得出答案. 思路点拨 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 14. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶 A 的影 子A'处直立一根木杆 BC ，借助太阳光测金字塔的高度.如图所示，木杆 BC 长2米，它的影长BC'是3米，同一时刻测得OA'是201米，则金字塔 的高度 AO 是 米. 第14题图 134　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】根据相同时刻的物高与影长成比例，设金字塔的高度 AO 为 x 米，则可列比例式为 ＝ ，解得 x ＝134， 经检验， x ＝134是原分式方程的解. ∴ AO ＝134米. 在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似. 思路点拨 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 15. 有五本形状为长方体的书放置在长方形书架中，如图所示，其中四 本竖放，第五本斜放，点 G 正好在书架边框上.每本书的厚度为5 cm， 高度为20 cm，书架宽 BI 为40 cm. 第15题图 (1) CI ＝ cm； 20　 (2) FI ＝ ⁠cm. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】(2)由题知， CI ＝ BI － BC ＝40－4×5＝20 cm， EF ＝20 cm， FG ＝5 cm，∵∠ EFC ＋∠ CEF ＝90°，∠ EFC ＋∠ GFI ＝90°， ∴∠ CEF ＝∠ GFI . ∵∠ ECF ＝∠ FIG ＝90°，∴△ GIF ∽△ FCE . ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴ CE ＝4 FI . 在Rt△ CEF 中，由勾股定理，得 CE2＋ CF2＝ EF2， 即(4 FI )2＋(20－ FI )2＝202，解得 FI ＝ 或 FI ＝0(舍去)， ∴ FI 为 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 16. 如图， B ， C 是线段 AD 上的点，△ ABE ，△ BCF ，△ CDG 都是等 边三角形，且 AB ＝4， BC ＝6，已知△ ABE 与△ CDG 的相似比为2∶5. 则图中阴影部分的面积为 ⁠. 第16题图 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 【解析】如图，设 AG 与 CF ， BF 分别相交于点 M ， N ，根据等边对等 角求出∠ CAG ＝∠ CGA ，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和求出∠ CGA ＝30°，然后求出 AG ⊥ GD ， NM ⊥ FM ， 再根据相似三角形对应边成比例求出 CM ＝5，从而得到 MF ＝1，然后 求出 MN ＝ ，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解. ∴ S△ MNF ＝ MF · MN ＝ ×1× ＝ ， 即阴影部分的面积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 三、解答题(共52分) 17. (6分)已知 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，且 ＝ ＝ . (1)求 的值； 解：∵ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ . 设 ＝ ＝ ＝ k ( k ≠0)，则 a ＝2 k ， b ＝3 k ， c ＝4 k ， ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 解：∵ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ . 设 ＝ ＝ ＝ k ( k ≠0)，则 a ＝2 k ， b ＝3 k ， c ＝4 k ， ∵△ ABC 的周长为81， ∴ a ＋ b ＋ c ＝2 k ＋3 k ＋4 k ＝9 k ＝81，解得 k ＝9， ∴ a ＝18， b ＝27， c ＝36. (2)若△ ABC 的周长为81，求三边 a ， b ， c 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 18. (8分)如图，四边形 ABCD 相似于四边形A'B'C'D'. (1)∠ B ＝ ⁠°； 【解析】∵四边形 ABCD ∽四边形A'B'C'D'， ∴∠ C ＝∠C'＝135°. ∴∠ B ＝360°－135°－96°－60°＝69°. 69　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 (2)求边 x ， y 的长. 解：∵四边形 ABCD ∽四边形A'B'C'D'， ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ ， 经检验， x ＝4是原分式方程的解. ∴ x ＝4， y ＝18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 19. (8分)如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上，连接 DE . (1)若 AD · AB ＝ AE · AC . 求证：△ ADE ∽△ ACB ； (1)证明：∵ AD · AB ＝ AE · AC ， ∴ ＝ . 又∵∠ A ＝∠ A ， ∴△ ADE ∽△ ACB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 (2)若 AB ＝8， AC ＝6， AD ＝3，直接写出：当 AE ＝ 时， △ ADE 与△ ACB 相似. 或4　 【解析】若△ ADE ∽△ ACB ，则 ＝ ， 即 ＝ ，∴ AE ＝4. 若△ ADE ∽△ ABC ，则 ＝ ，即 ＝ ， ∴ AE ＝ . 综上所述，当 AE ＝ 或4时△ ADE 与△ ACB 相似. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 20. (8分)如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，点 E 在 BO 上， EF 垂直 平分 AB ，垂足为 F . (1)求证：△ BEF ∽△ DCO ； (1)证明：∵ EF 垂直平分 AB ，∴∠ BFE ＝90°. ∵四边形 ABCD 为菱形，∴ AB ∥ CD ， AC ⊥ BD . ∴∠ FBE ＝∠ ODC ，∠ DOC ＝90°. ∴∠ BFE ＝∠ DOC . ∴△ BEF ∽△ DCO . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 (2)若 AB ＝10， AC ＝12，求线段 EF 的长. (2)解：∵ AC 与 BD 互相垂直且平分. ∴ AO ＝ CO ＝ AC ＝6. 由勾股定理可知 DO ＝ BO ＝ ＝8， ∵ EF 垂直平分 AB ，∴ BF ＝ AB . ∴ BF ＝5. 由(1)，知△ BEF ∽△ DCO ，∴ ＝ . ∵ CO ＝ AO ＝6， DO ＝ BO ＝8，∴ ＝ . ∴ EF ＝ .∴线段EF的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 21. (10分)嘉淇家的阳台上放置了一个晒衣架(如图1)，图2是晒衣架的侧 面示意图，立杆 AB ， CD 相交于点 O ， B ， D 两点在地面上，经测量 得到 AB ＝ CD ＝136 cm， OA ＝ OC ＝51 cm， OE ＝ OF ＝34 cm，现将 晒衣架完全稳固张开，扣链 EF 成一条线段. (1)连接 AC ，求证： AC ∥ EF ； 21 22 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 (1)证明：如答图1，连接 AC . ∵立杆 AB ， CD 相交于点 O ， ∴∠ AOC ＝∠ EOF . 又∵ ＝ ＝ ＝ ， ∴△ AOC ∽△ EOF . ∴∠ A ＝∠ OEF . ∴ AC ∥ EF . 21 22 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 (2)已知 EF ＝32 cm，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于 多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ (2)解：如答图2，过点 A 作 AM ⊥ BD 于点 M ，过点 O 作 ON ⊥ EF 于点 N . 21 22 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 ∵ OE ＝ OF ＝34 cm，∴△ OEF 是等腰三角形. ∴∠ OEF ＝ (180°－∠ EOF ). ∵ ON ⊥ EF ，∴ ON 是边 EF 上的中线. ∴ EN ＝ EF ＝16 cm. 在Rt△ OEN 中，根据勾股定理可得 ON ＝ ＝ ＝30(cm). 21 22 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 ∵ ON ⊥ EF ， AM ⊥ BD ，∴∠ ONE ＝∠ AMB ＝90°. ∵ OA ＝ OC ， AB ＝ CD ，∴ OB ＝ OD . ∴∠ OBD ＝ (180°－∠ BOD ). ∴∠ OEF ＝∠ OBD . ∴△ EON ∽△ BAM . ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 AM ＝120 cm. 答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于120 cm时，连衣裙才 不会拖在地面上. 21 22 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 22. (12分)在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是边 BC 的中点，以 D 为角的顶 点作∠ MDN ＝∠ B ＝α.如图1，射线 DN 经过点 A ， DM 交边 AC 于点 E . (1)图1中所有与△ ADE 相似的三角形有哪些？ 21 22 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 (1)解：∵ AB ＝ AC ， D 是边 BC 的中点， ∴∠ B ＝∠ C ，∠ BAD ＝∠ CAD ，∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°， ∵∠ MDN ＝∠ B ，∴△ ADB ∽△ AED . ∴∠ ADB ＝∠ AED ＝90°. ∴∠ ADC ＝∠ AED ＝∠ DEC ＝90°. 又∵∠ MDN ＝∠ B ＝∠ C ，∴△ ADE ∽△ DCE ∽△ ACD . ∴△ ADE ∽△ ABD ∽△ ACD ∽△ DCE ； 21 22 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 (2)如图2，将∠ MDN 从图1中的位置开始，绕点 D 按逆时针方向旋转(旋 转角不大于α)，射线 DM ， DN 分别交 AC ， AB 于点 E ， F . ①求证：△ BFD ∽△ CDE ； ①证明：∵∠ FDC 是△ BFD 的一个外角， ∴∠ FDC ＝∠ B ＋∠ BFD . ∵∠ FDC ＝∠ FDE ＋∠ CDE ，∠ FDE ＝∠ B ，∴∠ BFD ＝∠ CDE . 又∵∠ B ＝∠ C ，∴△ BFD ∽△ CDE . 21 22 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 ②如图3，若 AB ＝ AC ＝10， BC ＝16，在线段 AC 上有一点 P ，且 AP ＝3，若点 P 始终在∠ MDN 内(包括边界上)，求 AF 的取值范围； ②解：如答图1，初始位置时， AF ＝0， 如答图2，当 DM 过点 P 时， ∵ AB ＝ AC ＝10， BC ＝16， AP ＝3， D 是边 BC 的中点， ∴ BD ＝ CD ＝8， CE ＝ AC － AP ＝10－3＝7. 由①,知△ BFD ∽△ CDE ， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 AF ＝ ， ∴ AF 的取值范围为0≤ AF ≤ . 21 22 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 49 ③若α＝55°，直接写出旋转角为多少度时，△ BDF 与△ ABC 相似. ③解：当旋转角为20°或35°时， △ BDF 与△ ABC 相似. 21 22 第四章适应性评估卷 解答题 填空题 选择题 $$