第1章 微探究小专题1 特殊四边形中的折叠问题 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（北师大版）河北专版

九年级上册 2024 数学 北师大版 2 第一章　特殊平行四边形 微探究小专题1　 特殊四边形中的折叠问题 问题探究思考 问题：折叠后图形的两个顶点重合 如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，使得点 D 与点 B 重合，点 C 落 在点C'的位置上. (1)若∠1＝50°，求∠2，∠3的度数； 解：(1)∵在矩形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∴∠1＝∠2＝50°. 由折叠的性质，得∠2＝∠ BEF ＝50°， ∴∠3＝180°－2×50°＝80°. 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 (2)①若 AD ＝6， AB ＝2，求 CF 的长； 解：(2)①由题意，得 BC ＝ AD ＝6. 由折叠的性质，得 CF ＝C'F，BC'＝ CD ＝ AB ＝2， ∠C'＝∠ C ＝90°， ∴在Rt△BC'F中，C'B2＋C'F2＝ BF2. ∴22＋ CF2＝(6－ CF )2. ∴ CF ＝ . 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 ②由(2)①，知C'F＝ CF ＝ ，BC'＝ CD ＝ AB ＝2， ∠C'＝∠ C ＝90°， ∴ S△BC'F＝ BC'·C'F＝ ×2× ＝ . ②求△BC'F的面积. 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 【变式1】“沿对角线折叠” 如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处， AB ＝ 4， BC ＝8. (1)试判断折叠后重叠部分△ AFC 的形状，并说明理由； 解：(1)△ AFC 是等腰三角形.理由如下： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD ∥ BC . ∴∠ DAC ＝∠ ACB . 由折叠的性质，得∠ ACB ＝∠ ACE ， ∴∠ DAC ＝∠ ACE . ∴ AF ＝ FC . ∴△ AFC 是等腰三角形. 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 (2)求重叠部分△ AFC 的面积. 解：(2)由题意，得 CD ＝ AB ＝4， AD ＝ BC ＝8. 设 AF ＝ CF ＝ x ，则 FD ＝8－ x ， 在Rt△ CDF 中，(8－ x )2＋42＝ x2， FD2＋ CD2＝ CF2， 即解得 x ＝5， ∴ AF ＝5. ∴ S△ AFC ＝ AF · CD ＝ ×5×4＝10. 故重叠部分△ AFC 的面积为10. 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 【变式2】“沿过顶点的直线折叠” 如图，点 O 是矩形 ABCD 的中心， E 是边 AB 上的点，沿 CE 折叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若 BC ＝9，则折痕 CE 的长为 ⁠. 6 　 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 【解析】由折叠的性质，得 BC ＝ OC ， BE ＝ OE . ∵点 O 是矩形 ABCD 的中心， ∴ OE 是 AC 的垂直平分线， AC ＝2 OC ＝2 BC ＝2×9＝18. ∴ AE ＝ CE ， AO ＝ OC ＝9. 在Rt△ ABC 中， AC2＝ AB2＋ BC2，即182＝ AB2＋92， 解得 AB ＝9 ， 在Rt△ AOE 中，设 OE ＝ x ＝ BE ，则 AE ＝ AB － BE ＝9 － x ， ∵ AE2＝ AO2＋ OE2，即(9 － x )2＝92＋ x2，解得 x ＝3 ，∴ AE ＝ EC ＝9 －3 ＝6 . 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 【变式3】“沿不过顶点的直线折叠” 如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A'处，点 B 落在点B'处，A'B'与 BC 交于点 G ，若∠A'GC＝60°，则 ∠ BFE 的度数为 ⁠. 105°　 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 【解析】由折叠与矩形的性质可知∠B'＝∠ B ＝∠ C ＝90°，∠ BFE ＝ ∠B'FE， ∴∠GA'C＝180°－∠A'GC－∠ C ＝30°. ∵∠B'FG＋∠B'＋∠B'GF＝180°＝∠GA'C＋∠ C ＋∠CGA'， ∴∠B'FG＝30°. ∵∠ BFE ＋∠B'FE－∠B'FG＝180°， ∴∠ BFE ＝ ＝105°. 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 专题进阶小练 1. 如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 G 处，折痕为 EF ，若∠ ABE ＝20°，则∠ EFG 的度数为 ⁠. 125°　 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 【解析】四边形 ABCD 是矩形， ∴ BC ∥ AD ，∠ ABC ＝90°.∴∠ BFE ＝∠ DEF . 由折叠的性质，得∠ BEF ＝∠ DEF ， ∴∠ BEF ＝∠ BFE ，即△ BEF 是等腰三角形. ∵∠ ABC ＝90°，∠ ABE ＝20°， ∴∠ EBF ＝∠ ABC －∠ ABE ＝90°－20°＝70°. ∵∠ BEF ＋∠ BFE ＋∠ EBF ＝180°， ∴∠ BEF ＝ ＝55°. ∵ FG ∥ EB ， ∴∠ EFG ＝180°－∠ BEF ＝180°－55°＝125°. 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 2. 如图，在矩形 ABCD 中， F 是 BC 边上的一点，将△ CDF 沿着 DF 翻 折，点 C 恰好落在 AB 边上的点 E 处. (1)若∠ ADE ＝60°，则∠ EDF 等于 ⁠； 【解析】(1)∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ ADC ＝90°.∴∠ EDC ＝90°－60°＝30°. 由折叠的性质，得∠ EDF ＝∠ CDF ＝ ∠ EDC ＝15°. 15°　 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 【解析】(2)∵四边形 ABCD 是矩形， AB ＝5， BC ＝4， ∴ AD ＝ BC ＝4， CD ＝ AB ＝5，∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝90°. 由折叠的性质，得 ED ＝ CD ＝5， EF ＝ CF ＝4－ BF ， ∴ AE ＝ ＝ ＝3. ∴ BE ＝ AB － AE ＝5－3＝2. ∵ BE2＋ BF2＝ EF2， ∴22＋ BF2＝(4－ BF )2，解得 BF ＝ . (2)若 AB ＝5， BC ＝4，则阴影部分的面积为 ⁠. 　 ∴ S阴影＝ S△ AED ＋ S△ BEF ＝ ×4×3＋ × ×2＝ ，即阴影部分的面 积为 . 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 3. 如图，现有边长为4的正方形纸片 ABCD ， P 为 AD 边上的一点(不与 点 A ， D 重合)，将正方形纸片沿 EF 折叠，使点 B 落在点 P 处，点 C 落 在点 G 处， PG 交 DC 于点 H ，连接 BP ， BH ，则下列结论正确的有 (　D　) D ① BP ＝ EF ； ②当 P 为 AD 的中点时，△ PAE 的三边之比为3∶4∶5； ③∠ APB ＝∠ BPH ； ④△ PDH 的周长为8. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 【解析】如图1，过点 F 作 FM ⊥ AB 于点 M . ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠ A ＝∠ ABC ＝∠ C ＝90°， AB ＝ BC . ∵ FM ⊥ AB ，∴四边形 MBCF 为矩形. ∴ MF ＝ BC ＝ AB ，∠ FME ＝∠ FMB ＝∠ A ＝90°. 由折叠的性质可知 EF ⊥ BP ，∴∠ PBE ＋∠ BEF ＝90°， ∵∠ PBE ＋∠ APB ＝90°， ∴∠ BEF ＝∠ APB ，即∠ MEF ＝∠ APB . ∴△ ABP ≌△ MFE (AAS). 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 ∴ BP ＝ EF ，故①正确； 由折叠的性质可知 BE ＝ PE ， 设 BE ＝ PE ＝ x ，则 AE ＝4－ x ， ∵ P 为 AD 的中点，∴ AP ＝2. 在Rt△ PAE 中， AP2＋ AE2＝ PE2， ∴22＋(4－ x )2＝ x2，解得 x ＝ . ∴ PE ＝ ， AE ＝4－ x ＝ . 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 ∴ AE ∶ AP ∶ PE ＝ ∶2∶ ＝3∶4∶5， 即△ PAE 的三边之比为3∶4∶5，故②正确； 由折叠的性质可知 BE ＝ PE ，∠ EPH ＝∠ EBC ＝90°， ∴∠ PBE ＝∠ BPE ，∠ BPE ＋∠ BPH ＝90°. ∵∠ PBE ＋∠ APB ＝90°，∴∠ APB ＝∠ BPH ，故③正确； 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 ∴∠ BAP ＝∠ BNP ＝90°. 又∵∠ APB ＝∠ NPB ， PB ＝ PB ， ∴△ ABP ≌△ NBP (AAS). ∴ AB ＝ BN ， AP ＝ PN . 如图2，过点 B 作 BN ⊥ PH 于点 N ， ∴ BC ＝ BN . 又∵ BH ＝ BH ， ∴Rt△ BNH ≌Rt△ BCH (HL). ∴ NH ＝ CH . ∴ C△ PDH ＝ PD ＋ PN ＋ NH ＋ DH ＝ PD ＋ AP ＋ CH ＋ DH ＝2 AD ＝8，故④正确. 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 4. (2023·石家庄校考期中)综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片 ABCD ，如图1，其中点 E 在边 AD 上， F ， G 分别在边 AB ， CD 上，分别以 EF ， EG 为折痕进行折叠并压平，点 A ， D 的对应点分别是点A'和点D'. 甲同学的操作如图2，其中∠ FEG ＝120°； 乙同学的操作如图3，点A'落在ED'所在的直线上； 丙同学的操作如图4，点A'落在 EG 上，点D'落在 EF 上. 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 (1)求出图2中∠A'ED'的度数； 解：如答图，∵∠ FEG ＝120°，∴∠1＋∠4＝60°. 由折叠的性质，得∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝60°. ∴∠A'ED'＝∠ FEG －(∠2＋∠3)＝120°－60°＝60°. 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 (2)直接写出图3中∠ FEG 的度数； 解：∠ FEG ＝90°. 【解析】由折叠的性质，得∠ AEF ＝∠A'EF， ∠ GED ＝∠GED'， ∴∠AEA'＝2∠A'EF，∠DED'＝2∠GED'. ∵∠AEA'＋∠DED'＝180°， ∴2∠A'EF＋2∠GED'＝180°. ∴∠A'EF＋∠GED'＝90°，即∠ FEG ＝90°. 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 (3)直接写出图4中∠ FEG 的度数； 解：∠ FEG ＝60°. 【解析】由折叠的性质，得∠ AEF ＝∠A'EF＝∠ GED ＝∠GED'， ∵∠ AEF ＋∠ FEG ＋∠ GED ＝180°，即3∠ FEG ＝180°，　 ∴∠ FEG ＝60°. 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 (4)若折叠后∠A'ED'＝ n °，直接写出∠ FEG 的度数(用含 n 的代数式表 示). 解：∠ FEG ＝ 或∠ FEG ＝ . 【解析】如图2，当△A'EF与△D'EG不重叠时，∵∠A'ED'＝ n °， ∴∠AEA'＋∠DED'＝180°－ n °. 由折叠的性质，得∠ AEF ＝∠A'EF，∠ GED ＝∠GED'，　 ∴2∠A'EF＋2∠GED'＝180°－ n °. ∴∠A'EF＋∠GED'＝ . ∴∠ FEG ＝∠A'EF＋∠A'ED'＋∠GED'＝ ＋ n ° ＝ ； 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 如图3，当△A'EF与△D'EG重叠时，∠AEA'＋∠DED'－∠A'ED'＝180°， 由折叠的性质，得∠ AEF ＝∠A'EF，∠ GED ＝∠GED'，　 ∴2∠A'EF＋2∠GED'－∠A'ED'＝180°. ∴2(∠A'EF＋∠GED')＝180°＋ n °. ∴∠A'EF＋∠GED'＝ . ∴∠ FEG ＝∠A'EF＋∠GED'－∠A'ED'＝ － n °＝ . 综上所述，∠ FEG ＝ 或∠ FEG ＝ . 1 2 3 4 微探究小专题1　特殊四边形中的折叠问题 $$