26.2.3 求二次函数的表达式 课件2023-2024学年华东师大版数学九年级下册

26.2.3 求二次函数的表达式 知道图象上两点的坐标,可以确定一次函数 y = kx + b(k ≠ 0)的关系式. 知道图象上一点的坐标,可以确定反比例函数 y = (k ≠ 0)的关系式. 如果要确定二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)的关系式,需要知道几个条件呢? 新课导入 如图,某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线 AOB)的薄壳屋顶.它的拱宽 AB 为 4 m,拱高 CO 为 0.8 m. 施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢? 为了画出符合要求的模板,通常要先建立适当的平面直角坐标系,再写出函数表达式,然后根据这个函数表达式画出图形. 探究新知 解:如图所示,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,以过点 作 y 轴的垂线为 x 轴,建立直角坐标系.这时,屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴是 y 轴,开口向下,所以可设它的函数关系式为: 如图,某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线 AOB)的薄壳屋顶.它的拱宽 AB 为 4 m,拱高 CO 为 0.8 m. 施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢? y = ax2(a < 0) (1) 如图,某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线 AOB)的薄壳屋顶.它的拱宽 AB 为 4 m,拱高 CO 为 0.8 m. 施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢? y = ax2(a < 0) (1) 因为 y 轴垂直平分 AB,并交 AB 于点 C,所以 CB = = 2(m),又CO = 0.8 m,所以点 B 的坐标为(2,-0.8). 因为点 B 在抛物线上,将它的坐标代入(1)得 -0.8 = a 22,所以 a = -0.2,因此,所求函数关系式是 y = -0.2x2. y = -0.2x2. 你能根据这个函数表达式,画出模板的轮廓线吗? 一个二次函数的图象经过点 (0,1),它的顶点坐标为 (8,9),求这个二次函数的表达式. 图象顶点坐标为(h,k)的二次函数表达式有怎样的形式? 二次函数顶点式 y=a(x-h)2+k 设所求二次函数的表达式为 y = a( x – 8 )2 + 9, 由这个函数的图象经过点(0, 1),可得 a = . 因此,所求二次函数的表达式为 y = ( x – 8 )2 + 9. 一个二次函数的图象经过点 (0,1),它的顶点坐标为 (8,9),求这个二次函数的表达式. 已知顶点坐标和一点,求二次函数解析式的一般步骤: 第一步:设解析式为 y = a(x - h)2 + k. 第二步:将已知点坐标代入求 a 值得出解析式. 归纳 一个二次函数的图象经过点 (0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的表达式. 设所求二次函数的表达式为 y = ax 2 + bx + c, 由这个函数的图象经过点(0, 1),可得 c = 1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点,可得 4a + 2b + 1 = 4, 9a + 3b + 1 = 10. 解这个方程组,得 因此,所求二次函数的表达式为 y = 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,关键是求出待定系数a,b,c的值. 由已知条件(如二次函数图像上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c,就可以写出二次函数的解析式. 归纳 任意两点的连线不与y轴平行 1.求图象为下列抛物线的二次函数的表达式: 解:(1)设抛物线的解析式为 y = ax2 (a ≠ 0). ∵抛物线经过点(2,8),∴4a = 8,∴a = 2,∴y = 2x2. (1)抛物线的顶点在原点,且抛物线经过点(2,8); 随堂演练 点击优教平台“同步课堂”-“课堂教学”,使用本课时“互动课堂”训练. 解: (2)∵抛物线的顶点坐标是(-1,-2), ∴设其解析式为 y = a(x+1)2 - 2 (a ≠ 0). ∵抛物线经过点(1,10),∴a(1+1)2 - 2 = 10,∴a = 3, ∴ y = 3(x+1)2 - 2 = 3x2 + 6x + 1. 1.求图象为下列抛物线的二次函数的表达式: (2)抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且抛物线经过点(1,10); 1.求图象为下列抛物线的二次函数的表达式: (3)抛物线经过三点:(0,-2),(1,0),(2,3). 解: (3)设抛物线解析式为y = ax2 + bx + c(a ≠ 0). ∵抛物线过点(0,-2),(1,0),(2,3)三点, c = -2, a + b + c = 0, 4a + 2b + c = 3. ∴ 解得 ∴ 2. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c 经过三点:(-1,1),(0,-2),(1,1). (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式. (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. (3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 解:(1)∵抛物线过(-1,-1),(0,-2),(1,1)三点, ∴这条抛物线所对应的二次函数的关系式为 y = 2x2 + x -2. a – b + c = -1 c = -2 a + b + c = 1 a = 2 b = 1 c = -2 解得 (2)此抛物线的开口向上,对称轴为直线 , 顶点坐标为 . (3)这个函数有最小值,最小值为 . 2. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c 经过三点:(-1,1),(0,-2),(1,1). (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式. (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. (3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 3. 将抛物线 向下平移 1 个单位,再向右平移 4 个 单位,求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 解: ,平移后的抛物线解析式为 ,其开口向下,对称轴为直线 x = 3,顶点坐标为 . 待定系数法求二次函数解析式 : (1)知道三点,设其形式为 y = ax2 + bx + c (a≠0),其中a、b、c 是待定系数; (2)知道一点和顶点坐标,通常设其形式为 y = a(x-h)2 + k(a ≠ 0),其中 a 是待定系数. 课堂小结 $$