第1章 微探究小专题1 勾股定理的应用 正文-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步习题课件（北师大版）河北专版

2024 北师大版 八年级上册 数学 2 第一章　勾股定理 微探究小专题1　勾股定理的应用 类型一　巧用勾股定理求最短路径的长 1. 如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20 m，又向南走40 m，再向东走70 m到达终点，则小明到达的终点与原出 发点的距离是 ⁠. 100 m　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第1题图 微探究小专题1　勾股定理的应用 【解析】如图，作 AC ⊥ BC 于点 C . 因为 AC ＝40＋40＝80(m)， BC ＝ 70－(20－10)＝60(m)，所以 AB2＝ BC2＋ AC2＝602＋802＝1002，则 AB ＝100 m， 即小明到达的终点与原出发点的距离是100 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 2. 如图，已知∠ B ＝∠ C ＝∠ D ＝∠ E ＝90°，且 AB ＝ CD ＝3， BC ＝4， DE ＝ EF ＝2，则 AF 的长是 ⁠. 第2题图 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 3. 某岛争端持续，我国海监船加大对该岛海域的巡航维权力度.如图， OA ⊥ OB ， OA ＝45 n mile， OB ＝15 n mile，该岛位于 O 点，我国海 监船在点 B 处发现有一艘不明国籍的渔船，自 A 点出发沿着 AO 方向匀 速驶向此岛所在地点 O ，我国海监船立即从 B 处出发以相同的速度沿某 直线去拦截这艘渔船，结果在点 C 处截住了渔船.求我国海监船行驶航 程 BC 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 解：由题意画出点 C 的位置如图所示，连接 BC ，则 AC ＝ BC ，设 BC ＝ x n mile，则 CA ＝ x n mile. 在Rt△ OBC 中， OB2＋ OC2＝ BC2， 所以152＋(45－ x )2＝ x2. 解得 x ＝25，即我国海监船行驶的航程 BC 的长为25 n mile. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 4. 高速公路的同一侧有 A ， B 两城镇，如图所示，它们到高速公路所 在直线 MN 的距离分别为AA'＝2 km，BB'＝4 km，且A'B'＝8 km.现要 在高速公路上A'，B'之间建一个出口 P ，使 A ， B 两城镇到出口 P 的距 离之和最短，求这个最短距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 解：如图，作点 B 关于 MN 的对称点 C ，连接 AC 交 MN 于点 P ，则点 P 即为所建的出口.此时 A ， B 两城镇到出口 P 的距离之和最短，最短距离 为 AC 的长.作 AD ⊥BB'于点 D ，在Rt△ ADC 中， AD ＝A'B'＝8 km， DC ＝DB'＋B'C＝AA'＋BB'＝6 km，所以 AC2＝ AD2＋ DC2＝100.所以 AC ＝10 km.所以这个最短距离为10 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 5. 如图， A ， B 两块试验田相距200 m， C 为水源地， AC ＝160 m， BC ＝120 m，为了方便灌溉，现有两种修筑水渠的方案： 甲方案：从水源地 C 直接修筑两条水渠分别到试验田 A ， B ； 乙方案：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 H ，先从水源地 C 修筑一条水渠 到线段 AB 上的 H 处，再从 H 分别向试验田 A ， B 修筑水渠. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 (1)试判断△ ABC 的形状，并说明理由； 解：(1)△ ABC 是直角三角形.理由如下：因为 AC2＋ BC2＝1602＋1202＝40 000， AB2＝2002＝40 000，所以 AC2＋ BC2＝ AB2.所以△ ABC 是直角三角形，且 ∠ ACB ＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 (2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明. 解：(2)甲方案所修的水渠较短.因为△ ABC 是直角三角 形，所以△ ABC 的面积＝ AB · CH ＝ AC · BC . 所以 CH ＝ ＝ ＝96(m).因为 AC ＋ BC ＝160＋ 120＝280(m)， CH ＋ AH ＋ BH ＝ CH ＋ AB ＝96＋200 ＝296(m)，所以 AC ＋ BC ＜ CH ＋ AH ＋ BH . 所以甲 方案所修的水渠较短. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 类型二　巧用勾股定理判定直角 6. 如图，在正方形 ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 BC 上一点，且 CE ＝ BC . 试说明：∠ AFE 是直角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 解：设 CE ＝ a ，则 BC ＝4 a ， BE ＝3 a .因为四边形 ABCD 为正方形， 且 F 为 DC 的中点，所以 AB ＝ AD ＝ CD ＝ BC ＝4 a ， DF ＝ CF ＝2 a .由 勾股定理，得 AF2＝ AD2＋ DF2＝(4 a )2＋(2 a )2＝20 a2 ， EF2＝ CE2＋ CF2＝ a2＋(2 a )2＝5 a2， AE2＝ AB2＋ BE2＝(4 a )2＋(3 a )2＝25 a2.所以 AF2＋ EF2＝20 a2＋5 a2＝25 a2.所以 AF2＋ EF2＝ AE2.由勾股定理的逆定 理，得∠ AFE ＝90°，即∠ AFE 是直角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 7. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ B ＝90°， AB ＝3， BC ＝4， CD ＝ 13， AD ＝12.求 S四边形 ABCD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：如图，连接 AC . 在Rt△ ACB 中， AB ＝3， BC ＝4， AB2＋ BC2＝ AC2， 所以32＋42＝ AC2. 所以 AC ＝5. 因为 AD ＝12，所以 AC2＋ AD2＝52＋122＝132＝ CD2. 微探究小专题1　勾股定理的应用 所以△ ACD 为直角三角形，且∠ CAD ＝90°. 所以 S四边形 ABCD ＝ S△ ABC ＋ S△ ACD ＝ AB · BC ＋ AC · AD ＝ ×3×4＋ ×5×12＝36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 8. 如图，在△ ABC 中， D 为边 BC 的中点， AB ＝5， AD ＝6， AC ＝ 13.试说明： AB ⊥ AD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：如图，延长 AD 至点 E ，使 ED ＝ AD ，连接 BE . 因为 D 为 BC 的中点，所以 CD ＝ BD . 又因为∠ ADC ＝∠ EDB ， AD ＝ ED ，所以△ ADC ≌△ EDB (SAS).所以 EB ＝ AC ＝13.在△ ABE 中， AE ＝2 AD ＝12， AB ＝5， EB ＝13，所以 AE2＋ AB2＝122＋52＝169.又因为 EB2＝132＝169，所以 AE2＋ AB2＝ EB2.所以△ ABE 是直角三角形，且∠ BAE ＝90°，即 AB ⊥ AD . 微探究小专题1　勾股定理的应用 9. 如图，在△ ABC 中， CA ＝ CB ，∠ ACB ＝90°， D 为 AB 的中点， M ， N 分别为 AC ， BC 上的点，且 DM ⊥ DN . 试说明： AB2＝2( CM ＋ CN )2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 解：如图，连接 CD . 因为 DM ⊥ DN ，所以∠ MDC ＋∠ CDN ＝90°. 因为∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， D 为 AB 的中点，所以 CD ⊥ AB ，∠ ACD ＝∠ BCD ＝45°， CD ＝ BD ＝ AD ，∠ A ＝∠ B ＝45°.所以∠ CDN ＋∠ NDB ＝90°.所以∠ MDC ＝∠ NDB . 在△ CMD 和△ BND 中，因为∠ MDC ＝∠ NDB ， CD ＝ BD ，∠ MCD ＝∠ NBD ＝45°，所以△ CMD ≌△ BND (ASA).所以 CM ＝ BN . 所以 CM ＋ CN ＝ BN ＋ CN ＝ BC . 又因为 AB2＝ AC2＋ BC2＝2 BC2，所以 AB2＝2( CM ＋ CN )2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 类型三　勾股定理与折叠问题 10. 如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C'处，顶点 D 落在点D'处.若 AB ＝6， BC ＝9，则 BF 的长为(　A　) A. 4 B. 3.5 C. 4.5 D. 5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 【解析】因为C'是 AB 边的中点， AB ＝6， 所以BC'＝ AB ＝3. 由图形的折叠性质，知C'F＝ CF ＝ BC － BF ＝9－ BF ，在Rt△C'BF 中， BF2＋BC'2＝C'F2， 所以 BF2＋32＝(9－ BF )2，解得 BF ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 11. 如图，把长方形纸条 ABCD 沿 EF ， GH 同时折叠， B ， C 两点恰好 落在 AD 边的点 P 处.若∠ FPH ＝90°， PF ＝8， PH ＝6，则长方形纸 条 ABCD 的边 BC 的长为 ⁠. 24　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 【解析】因为长方形纸条 ABCD 沿 EF ， GH 同时折叠， B ， C 两点恰 好落在 AD 边的点 P 处， 所以 BF ＝ PF ＝8， PH ＝ CH ＝6. 因为∠ FPH ＝90°， 所以在Rt△ PFH 中， FH2＝ PF2＋ PH2，即 FH2＝82＋62. 所以 FH ＝10. 所以 BC ＝ BF ＋ CH ＋ FH ＝8＋6＋10＝24， 即长方形纸条 ABCD 的边 BC 的长为24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 微探究小专题1　勾股定理的应用 $$