第1章 勾股定理 章末整合集训 正文-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步习题课件（北师大版）河北专版

2024 北师大版 八年级上册 数学 2 第一章　勾股定理 章末整合集训 勾股定理及其应用 1. (2023·保定第17中学期中)下列各图是以直角三角形各边为边在三角 形外部画正方形得到的.每个正方形中的数及字母 S 表示所在正方形的 面积，其中 S 的值恰好等于5的是(　B　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 4 【解析】因为每个正方形中的数及字母 S 表示所在正方形的面积，所以 每个正方形中的数字以及字母 S 表示所在正方形的边长的平方.A. 由勾 股定理，得 S ＝4＋9＝13，故该选项不符合题意；B. S ＝9－4＝5，故该 选项符合题意；C. S ＝4＋3＝7，故该选项不符合题意；D. S ＝4－3＝ 1，故该选项不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 2. 如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正 方形，若每个直角三角形的较长直角边长为 a ，较短直角边长为 b ，大 正方形的面积为 S1，小正方形的面积为 S2，则( a ＋ b )2可以表示为 (　C　) A. S1－ S2 B. S1＋ S2 C. 2 S1－ S2 D. S1＋2 S2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 【解析】如图所示，设直角三角形的斜边长为 c ，则 S1＝ c2＝ a2＋ b2， S2＝( a － b )2＝ a2＋ b2－2 ab ， 所以2 ab ＝ S1－ S2. 所以( a ＋ b )2＝ a2＋ b2＋2 ab ＝ S1＋ S1－ S2＝2 S1－ S2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 3. 如图，在四边形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ，且 AC ⊥ BD ，若 AD ＝2， BC ＝4，则 AB2＋ CD2的值为(　C　) A. 8 B. 14 C. 20 D. 26 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】因为 AC ⊥ BD ，所以 AB2＝ AO2＋ BO2， CD2＝ OC2＋ OD2， BC2＝ BO2＋ CO2， AD2＝ OA2＋ OD2.所以 AB2＋ CD2＝ AO2＋ BO2＋ OC2＋ OD2＝( BO2＋ CO2)＋( AO2＋ OD2)＝ BC2＋ AD2.因为 AD ＝2， BC ＝4，所以 AB2＋ CD2＝42＋22＝20. 章末整合集训 4. 如图，有一个圆柱形玻璃杯，它的高为12 cm，底面周长为18 cm.在 杯内离杯底4 cm的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离 杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为 (　A　) A. 15 cm B. 14 cm A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C. 12 cm D. 18 cm 章末整合集训 【解析】如图是将圆柱沿过点 A 的母线剪开后的示意图. 由题意可知，需要在杯口所在的直线上找一点 F ，使 AF ＋ CF 最小， 故先作出点 A 关于杯口所在直线的对称点A'，连接A'C与杯口的交点即 为 F ，此时 AF ＋ CF ＝A'F＋ CF ＝A'C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据两点之间线段最短，即可得到此时 AF ＋ CF 最小，并且最小值为A'C的长度， 章末整合集训 如图所示，延长过点 C 的母线，过点A'作A'D垂直于此母线于点 D ， 由题意可知，A'D＝ ×18＝9(cm)， CD ＝12－4＋4＝12(cm)， 由勾股定理，得A'C2＝A'D2＋ CD2＝92＋122＝225， 则A'C＝15 cm. 故蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为15 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 5. (2023·秦皇岛青龙县期末)如图，将一根长12 cm的筷子置于底面直径 为6 cm，高为8 cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少 为 cm. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】杯子内的筷子、杯子的高、杯子的直径恰好构成直角三角形，因为62＋82＝100＝102，所以圆柱形水杯内的筷子的最大长度为10 cm，所以筷子露在杯子外面的长度至少为12－10＝2(cm). 章末整合集训 6. 如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形 的面积为1，两边的正方形的面积分别是 S1， S2，则 S1＋ S2＝ ⁠. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 【解析】如图. 因为 a ， b ， c 都是正方形， 所以 AC ＝ CD ，∠ ACD ＝∠ ABC ＝∠ CED ＝90°. 所以∠ ACB ＋∠ DCE ＝90°. 因为∠ ACB ＋∠ BAC ＝90°， 所以∠ BAC ＝∠ DCE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 在△ ACB 和△ CDE 中，因为∠ ABC ＝∠ CED ，∠ BAC ＝∠ ECD ， AC ＝ CD ， 所以△ ACB ≌△ CDE (AAS). 所以 AB ＝ CE ， BC ＝ DE . 在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得 AC2＝ AB2＋ BC2＝ AB2＋ DE2， 即 Sb ＝ Sa ＋ Sc ＝1， 所以 S1＋ S2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 勾股数 7. 定义：如果一个正整数 m 能表示为两个正整数 a ， b 的平方和，即 m ＝ a2＋ b2，那么就称 m 为广义勾股数.下面给出的三个结论：①7不是广 义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数. 其中正确的结论是(　B　) A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 【解析】①因为7不能表示为两个正整数的平方和，所以7不是广义勾股 数，故此结论正确；②因为13＝22＋32，所以13是广义勾股数，故此结 论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义 勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故此结论错误.综上所述，正 确的是结论是①②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 8. 请写出一组勾股数 (三个数都要大于10). 【解析】因为162＋122＝202，并且这三个数均为正整数，所以16，12， 20是一组勾股数. 16，12，20(答案不唯一)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 直角三角形的判定及其应用 9. 有下列三角形：①有两个内角互余的三角形；②三边长为 m2－ n2， 2 mn ， m2＋ n2( m ， n 均为正整数， m ＞ n )的三角形；③三边之比为 3∶4∶5的三角形；④三个内角的比是1∶2∶3的三角形.其中一定是直 角三角形的有(　D　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 【解析】两个内角互余的三角形是直角三角形，故①符合题意；因为 ( m2＋ n2)2＝ m4＋2 m2 n2＋ n4，( m2－ n2)2＋(2 mn )2＝ m4－2 m2 n2＋ n4＋ 4 m2 n2＝ m4＋2 m2 n2＋ n4，所以( m2＋ n2)2＝( m2－ n2)2＋(2 mn )2，所以 此三角形是直角三角形，故②符合题意；设三角形的三边长分别为3 k ，4 k ，5 k ( k ＞0)，则(3 k )2＋(4 k )2＝9 k2＋16 k2＝25 k2＝(5 k )2，所以 此三角形是直角三角形，故③符合题意；④因为三个内角之比为 1∶2∶3的三角形的三个内角分别为30°，60°，90°，所以三内角之 比为1∶2∶3的三角形是直角三角形，故④符合题意.综上，一定是直角 三角形的有4个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 10. 如图，点 A ， B ， C 均在由边长相等的小正方形组成的网格的格点 上，则∠ ACB 的度数为(　B　) A. 30° B. 45° C. 40° D. 60° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 【解析】如图，连接 AB . 设每个小正方形的边长为 a ，则 AB2＝5 a2， BC2＝5 a2， AC2＝10 a2.所以 AB2＋ BC2＝ AC2.所以△ ABC 是等腰直角三角形，且∠ ABC ＝90°.又因为 AB ＝ BC ，所以∠ ACB ＝∠ CAB ＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 11. 如图，在△ ABC 中， AD ， BE 分别为边 BC ， AC 的中线，若 CD ＝ 4， CE ＝3， AB ＝10，试说明∠ C ＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：因为 AD ， BE 分别为边 BC ， AC 的中线， CD ＝4， CE ＝3， 所以 AC ＝2 CE ＝6， BC ＝2 CD ＝8. 又因为 AB ＝10， 所以 AB2＝ AC2＋ BC2. 所以△ ABC 是直角三角形，且∠ C ＝90°. 章末整合集训 12. 某小区有两个喷泉 A ， B ，两个喷泉的距离为250 m，如图所示.现 要为喷泉铺设供水管道 AM ， BM ，供水点 M 在小路 AC 上，供水点 M 到 AB 的距离 MN 的长为120 m， BM 的长为150 m. (1)求供水点 M 到喷泉 A ， B 需要铺设的管道总长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 解：(1)在Rt△ MNB 中， BN2＝ BM2－ MN2＝1502－1202＝902， 所以 BN ＝90 m. 所以 AN ＝ AB － BN ＝250－90＝160(m). 在Rt△ AMN 中， AM2＝ AN2＋ MN2＝1602＋ 1202＝2002，所以 AM ＝200 m. 所以供水点 M 到喷泉 A ， B 需要铺设的管道总长为 AM ＋ BM ＝200＋150＝350(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 (2)求喷泉 B 到小路 AC 的最短距离. 解：(2)因为 AB ＝250 m， AM ＝200 m， BM ＝150 m，2502＝1502＋2002， 所以 AB2＝ BM2＋ AM2. 所以△ ABM 是直角三角形，且∠ AMB ＝90°. 所以 BM ⊥ AC . 所以 BM 的长度为喷泉 B 到小路 AC 的最短距离， 所以喷泉 B 到小路 AC 的最短距离是150 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 章末整合集训 $$