精品解析：河南省TOP二十名校2024届高三下学期猜题（二）数学试卷

2024届高三年级TOP二十名校猜题二 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据样本数据百分位数的定义求解即可. 【详解】将数据从小到大排序得， 因为， 所以第75百分位数是． 故选：B． 2. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由，计算得或，即可判断. 【详解】因为， 所以， 解得或， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 3. 若且，则x取值的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，根据得方程，求解即得. 【详解】， 因，则，即， 可得，，解得，或7． 故选：C． 4. 在正方体中，若，P，Q分别为AC，的中点，则直线PQ与AO所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，将直线PQ与AO所成角转化成两相交直线与AO所成的角，通过计算证明，推理得到即得. 【详解】 如图，连接,由已知得，，则直线PQ与AO所成的角即为直线与AO所成的角. 由可得,则与AO相交. 在和中，，， 所以，所以，所以， 所以，即直线PQ与AO所成角的大小为． 故选:D． 5. 在平面直角坐标系xOy中，圆O是圆心为O的单位圆，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角交圆O于A点，绕原点将x轴的正半轴顺时针旋转角交圆O于B点，若A点的纵坐标为，，则B点到y轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数定义求出，，利用三角形面积公式求出，进而求出，再利用差角的余弦求出即可得解. 【详解】由A点的纵坐标为，得，，， 因为，所以， 又，所以，所以， 所以，， 所以B点到y轴的距离为．故选：C． 6. 在半径为R的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取得最大值时，圆柱的高为（ ） A. R B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出球的内接圆柱的高，再表示出圆柱底面圆半径，列出圆柱体积的函数关系，借助导数求解作答. 【详解】设内接圆柱的高为h，底面半径为r，则，所以， 则圆柱体积， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，V取得最大值． 故选：B． 7. 如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由余弦定理得出，再应用正弦定理求边长即可. 【详解】在中，由余弦定理， 得，所以， 因为，所以， 在中，， 由正弦定理，得，所以． 故选:D． 8. 已知，，则满足方程的解的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，又，结合分步乘法计数原理求结论. 【详解】由题设，得， 又，其中都为质数， 所以， 因为x，，所以可能为，，， 所以的取值个数为， 方程的整数解的个数为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用对数函数的性质，结合中间值法逐项分析判断即可. 【详解】A选项中，因为，， 所以，故A正确； B选项中，因为，故B错误； C选项中，因为，， 所以，故C正确； D选项中，因为，故D正确． 故选：ACD． 10. 若函数的定义域为R，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若对，，则 C. 若对，且，，则是R上的增函数 D. 若对，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A项，直接计算即可判定；对于B项，通过递推关系可判定 即可；对于C项，利用函数单调性的定义即可判定；对于D项，举出反例即可判定. 【详解】A选项中，因为，所以，所以，故A正确； B选项中，因为，所以， 所以，故B错误； C选项中，不妨设，则，所以是R上的增函数，故C正确； D选项中，若，满足，但不成立，故D错误． 故选:AC． 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的取值范围是 B. 当，时， C. 当，时，ab的取值范围是 D. 当，时，的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由条件可得，结合幕的性质，即可排除A；对于B，由条件可得，结合二次方程有解判别式大于等于，判断B；对于C，由条件可得，结合基本不等式求的取值范围，判断C；对于D，由条件可得，结合C的结论，求的范围，判断D. 【详解】A选项中，当时，可化为， 所以，， 所以的取值范围是，故A错误； B选项中，当，时，可化为， 所以， 所以，故B正确； C选项中，当，时，可化为 由，得，当且仅当时，等号成立， 由，得，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围是，故C错误； D选项中，由C选项，得，， 所以的取值范围是，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则的值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】由可得，展开代入数据计算即可. 【详解】由题意可得， 因为，所以， 所以， 解得或. 故答案为：或 13. 在数列中，已知，且，若，则n取值的集合为__________．（用列举法表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到，从而得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得出数列单调递增，即可求解. 【详解】因为，， 因为，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，所以， 令，所以， 所以单调递增，所以数列单调递增， 又，，，， 所以，即n取值的集合为， 故答案为：. 14. 已知正方形PQRS的边长为，两个不同的点A，B都在直线QS的同侧（但A，B与P在直线QS的异侧），A，B关于直线PR对称，若，则面积的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由求出点的轨迹，由轨迹特征求点的直线的距离的取值范围，可求面积的取值范围. 【详解】以PR为x轴，QS为y轴建系，则，， 设，，且，，所以，， 因为，所以， 即A位于双曲线的右支上，渐近线方程为或， 设点A到直线PS的距离为h，又直线与直线PS的距离为，点到直线PS的距离为， 则，又， 所以面积的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面； （2）若，是棱上一点且，求平面与平面的夹角. 【答案】（1） 在中，由，，则， 由，为公共边，则， 所以，由图可知， 则，即，， 因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质可得线线垂直，根据线面垂直的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由，则， 由，则，即两两垂直， 以以原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 在中，由，，则， 设，则，，，， 取，，，， 由，则，可得， 设平面的法向量，则； 令，则，，所以平面的一个法向量. 平面的一个法向量， 设平面与平面所成角的大小为， ，. 16. 某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． （1）若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； （2）若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 【答案】（1） （2）期望为；方差为 【解析】 【分析】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球，根据条件先求，再利用条件概率公式，即可求解； （2）由题知可能取值为，再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球， 因为球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元，且 ，，，所以， 又，所以． 【小问2详解】 设X为员工取得的红包数额，则可能取值为， 所以，， ，， 所以， ． 17. 设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点． （1）求抛物线的方程； （2）①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标； ②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为． 【答案】（1） （2）①； ②由①得，直线的斜率都存在， 要证：直线的倾斜角之和为， 只要证明：直线的斜率之和为． 设直线的方程为，，，, 则，， 由得， 所以，，，即， 所以， 即直线的倾斜角之和为． 【解析】 【分析】（1）由化简得，再根据定义得，代入即可的抛物线方程； （2）①设切点坐标为，通过导数求出切线方程，将点代入即可；②设直线的方程为，，，联立得，，然后计算即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 又P是C上一点， 所以， 所以，解得， 所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】 ①设切点坐标为， 因为，所以，切线的斜率为， 所以切线方程为， 将代入上式，得， 所以， 所以切点坐标为． ②略 【点睛】 18. 已知函数，，． （1）讨论：当时，的极值点的个数； （2）当时，，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 当时，的极值点个数为1， 当时，的极值点个数为0． （2）． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分别讨论当和导函数的正负，即可得到函数的单调性，从而求出极值点的个数； （2）对求导，确定其最小值，从而将问题转化成不等式成立，进而构造函数，求导确定其单调性，即可求解. 【小问1详解】 ，， ①当时，为增函数， 因为时，；时，， 所以有唯一的零点，当时，，当时，， 所以有一个极小值点，无极大值点． ②当时，令，则， 令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以，即，所以的极值点的个数为0． 综上所述，当时，的极值点个数为1， 当时，的极值点个数为0． 【小问2详解】 ， 由，得，由，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为当时，，使得， 所以只需成立，即不等式成立． 令，则， 则， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，所以， 故实数a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用导数求出，从而转化为求出不等式成立． 19. 设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列． （1）若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由； （2）证明：若的通项公式为，则不是数列； （3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值． 【答案】（1）是T数列， 理由：由题知，即， 所以，， 当时，，所以是T数列． （2）证明：假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项， ， 所以对任意正整数，存在正整数满足：， 显然时，存在，满足， 取，得，所以， 可以验证：当，2，3，4时，都不成立， 故不是T数列. （3）或． 【解析】 【分析】（1）由题知，再根据T数列的定义，即可作出判断； （2）先假设是数列，从而有，再进行验证，即可证明结果； （3）根据题设得到，取对数后可得，分类讨论后可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知是等比数列，其首项，公比， 所以， 所以， 由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 即对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 即对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 若，则，任意，这不可能成立； 若， 故对任意，总存在使得该等式成立， 故必为整数， 取，则有正整数解，故， 若，则，此时方程对任意， 必有正整数解； 若，则， 此时方程对任意， 必有正整数解； 综上，或． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三年级TOP二十名校猜题二 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 90 2. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若且，则x取值的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体中，若，P，Q分别为AC，的中点，则直线PQ与AO所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系xOy中，圆O是圆心为O的单位圆，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角交圆O于A点，绕原点将x轴的正半轴顺时针旋转角交圆O于B点，若A点的纵坐标为，，则B点到y轴的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在半径为R的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取得最大值时，圆柱的高为（ ） A. R B. C. D. 7. 如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知，，则满足方程的解的个数为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数的定义域为R，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若对，，则 C. 若对，且，，则是R上的增函数 D. 若对，，则 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的取值范围是 B. 当，时， C. 当，时，ab的取值范围是 D. 当，时，的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则的值为______. 13. 在数列中，已知，且，若，则n取值的集合为__________．（用列举法表示） 14. 已知正方形PQRS的边长为，两个不同的点A，B都在直线QS的同侧（但A，B与P在直线QS的异侧），A，B关于直线PR对称，若，则面积的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面； （2）若，是棱上一点且，求平面与平面的夹角. 16. 某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额． （1）若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率； （2）若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差． 17. 设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点． （1）求抛物线的方程； （2）①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标； ②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为． 18. 已知函数，，． （1）讨论：当时，的极值点的个数； （2）当时，，使得，求实数a的取值范围． 19. 设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列． （1）若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由； （2）证明：若的通项公式为，则不是数列； （3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $