福建省莆田市城厢区霞林中学2022−2023学年九年级上学期期中考数学试卷

2022−2023学年霞林九年级上期中考试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．函数y＝x2的开口方向和对称轴分别是（　　） A．向上，x轴 B．向上，y轴 C．向下，x轴 D．向下，y轴 3．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系为（　　） A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定 4．如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A．y＝x2+1 B．y＝x2+3 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x+1）2+2 5．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠CAB＝50°，则∠ADC的度数为（　　） A．130° B．140° C．135° D．150° 6．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　） A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64 C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64 7．如图，△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A旋转逆时针旋转α度（0＜α＜180）后得到△ADE，点E恰好落在BC上，则α＝（　　） A．30° B．35° C．40° D．不能确定 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，则它的外心与直角顶点的距离是为（　　） A．3cm B．2.5cm C．3.5cm D．5cm 9．如图，将线段AB绕一个点顺时针旋转90°得到线段CD，则这个点是（　　） A．M点 B．Q点 C．P点 D．N点 10．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2）是其图象上的两点，且x1＜x2，|x1﹣1|≠|x2﹣1|，则下列式子正确的是（　　） A．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0 B．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 C．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＜0 D．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＞0 二．填空题（共6小题） 11．在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为　 　． 12．已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 　 　． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB相切，则半径r的值是 　 　． 14．将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为　 　． 15．某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是　 　米． 16．如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，点D在半圆O上，AD＝6，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 　 　． 三．解答题（共9小题） 17．用适当方法解下列方程：x2-6x-3＝0； 18．已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 19．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根． 20．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少m？ 21．某款“不倒翁”（图1）的截面图是图2，PA、PB分别与所在的圆相切于点A、B，若该“不倒翁”顶部为边长为6的等边三角形． （1）作出所在圆的圆心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求⊙O的面积． 22．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不高于35元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 23．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F． （1）求证：PD∥AB；（2）求证：EF+AE＝BF． 24．综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE． 猜想证明： （1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由； （2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与E′F的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长． 25．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使△ABC和△ADC面积相等，如果存在，求出所有满足条件的点D的横坐标；如果不存在，说明理由； （3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）． 2022−2023学年霞林九年级上期中考试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．B． 2．B． 3．C． 4．D． 5．B． 6．C． 7．A． 8．B． 9．A． 10．C． 二．填空题（共6小题） 11．（2，﹣3）． 12．（﹣5，0）． 13．． 14．（﹣1，1）． 15．． 16．﹣3． 【解答】解：连接BD，取AD的中点E，连接BE， ∵DH⊥AC， ∴H点在以E为圆心，AE为半径的圆上， ∴EH＝DE＝AE， ∵AD＝6， ∴EH＝AD＝3， 当B、H、E三点共线时，BH最小， ∵AB是直径， ∴∠BDA＝90°， ∵AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝8，，DE＝AD＝3， 在Rt△BED中，BE＝＝， ∴BH＝BE﹣EH＝﹣3． 三．解答题（共9小题） 17． 解：x2﹣6x﹣3＝0， x2﹣6x＝3， x2﹣6x+9＝3+9， （x﹣3）2＝12， x﹣3＝±， x﹣3＝或x﹣3＝﹣， x1＝3+，x2＝3﹣． 18． 解：（1）由顶点（﹣2，2），可设抛物线为：y＝a（x+2）2+2， 将点（﹣1，3）代入上式可得：（﹣1+2）2a+2＝3， 解得a＝1， 所以二次函数的关系式y＝（x+2）2+2＝x2+4x+6． （2）点P（1，9）不在这个二次函数的图象上，理由如下： 把x＝1代入y＝x2+4x+6得，y＝1+4+6＝11， ∴点P（1，9）不在这个二次函数的图象上． 19． 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴（﹣2）2﹣4（﹣k）＝4k+4＞0， 解得：k＞﹣1． （2）取k＝0，此时方程为x2﹣2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝2． 20． 解：设道路的宽是xm，则栽种花草的部分可合成长（12﹣x）m，宽（8﹣x）m的矩形， 依题意得：（12﹣x）（8﹣x）＝60， 整理得：x2﹣20x+36＝0， 解得：x1＝2，x2＝18． 又∵8﹣x＞0， ∴x＜8， ∴x＝2． 答：道路的宽是2m． 21． 解：（1）如图2，点O即为所在圆的圆心． （2）连接OA，OB，OP， ∵PA、PB分别与所在的圆相切于点A、B， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵△APB是等边三角形， ∴∠APO＝30°，AP=6，OP=2OA ∴， ∵该圆半径是cm，∴． 22． 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由所给函数图象可知：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120； （2）由（1）知y＝﹣2x+120， 根据题意得： w＝（x﹣20）y ＝（x﹣20）（﹣2x+120） ＝﹣2x2+160x﹣2400 ＝﹣2（x﹣40）2+800， ∵﹣2＜0， ∴当x＜0时，w随x的增大而增大， ∵规定这种商品每件售价不高于35元， ∴x≤35， ∴当x＝35时，w有最大值，最大值为﹣2×（35﹣40）2+800＝750， ∴售价定为35元/件时，每天最大利润为750元． 23． （1）证明：连接OD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠DAB＝∠ABD＝45°， ∴△DAB为等腰直角三角形， ∴DO⊥AB， ∵PD为⊙O的切线， ∴OD⊥PD， ∴DP∥AB； （2）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， 又∵AE⊥CD， ∴△ACE等腰直角三角形， ∴AE＝CE， 又∵BF⊥CD，∠BCD＝45°， ∴△CFB为等腰直角三角形， ∴CF＝FB， ∴BF＝CF＝CE+EF＝AE+EF， 即EF+AE＝BF； 方法2． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴弧AD＝弧BD， ∴AD＝BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ADE+∠BDF＝90°， ∵AE⊥CD，BF⊥CD， ∴∠AED＝∠BFD＝90°， ∴∠FBD+∠BDF＝90°， ∴∠FBD＝∠ADE， 在△ADE和△DBF中， ， ∴△ADE≌△DBF（AAS）， ∴BF＝DE，AE＝DF， ∵EF+DF＝DE ∴EF+AE＝BF． 24． 解：（1）结论：四边形BE'FE是正方形， 理由：如图1中， ∵△CBE'是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的， ∴∠CE'B＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°， 又∵∠BEF+∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝90°， ∴四边形BE'FE是矩形， 由旋转可知：BE＝BE'， ∴四边形BE'FE是正方形； （2）结论：CF＝E'F． 证明：如图2中，过点D作DH⊥AE于点H， 则∠AHD＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°， ∵DA＝DE， ∴AH＝EH＝AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA∠DAB＝90°， ∴∠DAH+∠EAB＝90°， ∴∠ADH＝∠EAB， 在△ADH和△BAE中， ， ∴△ADH≌△BAE（AAS）， ∴AH＝BE， 由旋转可知：AE＝CE'， 由（1）可知：四边形BE'FE是正方形， ∴BE＝E'F， ∴E'F＝AH＝AE＝CE'， ∴CF＝E'F； （3）如图1，过点D作DH⊥AE于点H． ∵△ADH≌△BAE， ∴AH＝BE＝E'F， ∵CF＝3， ∴DH＝AE＝CE'＝CF+E′F＝3+E′F＝3+BE， 在Rt△ABE中，AB＝15， 根据勾股定理得：AE2+BE2＝AB2， ∴（3+BE）2+BE2＝152， ∴BE＝9或BE＝﹣12（舍去）， ∴DH＝3+BE＝12， 在Rt△DEH中， DE＝＝＝3． 25． 解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵OP＝OA＝1， ∴P（0，1）， ∴直线AC的解析式为y＝x+1． 又∵ ∴B，D两点到AC的距离相等， ①若点D在AC的下方时， 过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1． ∵B（3，0），BD1∥AC， ∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3， 由，解得或， ∴D1（0，﹣3）， ∴D1的横坐标为0． ②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（0，5）， 过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件． 直线l的解析式为y＝x+5， 由，可得x2﹣3x﹣8＝0， 解得x＝或， ∴D2，D3的横坐标为，， 综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，． （3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b， 由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0， 设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b， ∴xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b ∵xA＝﹣1， ∴xC＝3+b， ∴m＝3+b， ∵xB＝3， ∴xE＝﹣1﹣， ∴n＝﹣1﹣， 设直线CE的解析式为y＝px+q， 同法可得mn＝﹣3﹣q ∴q＝﹣mn﹣3， ∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b， ∴OF＝b2+2b， ∴＝b+1＝（m﹣3）+1＝m． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$