湖北省襄阳市第五中学2025届高三8月月考数学试卷

襄阳五中2025届高三年级八月数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个逃项中，只有-·项 符合题目要求 1.已知集合A-{log2x≤}，B={y=2,x≤2，则() A.AUB=B B.AUB=A C.AnB=B D.A∩(CRB)=R 2.复数z= 3+4i 2-i (其中i为虚数单位)的共轭复数z在复平面内对应的点在() A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3.已知a=(x,2),i=(2,-),且a1i,则a-等于（ A.5 B.√0 C.25 D.10 4.已知sina=2sin(a+2B),且tanB=2,则tan(a+B)=( A.-6 B.-2 C.2 D.6 5.已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为() A.3 B.5 C.√15 D.5 6.设函数y=f问在(8，+网)内有定义.对于给定的正数%定义函数f(问k>K [f(x),f(x)sk, 设函数f(个=2州.当K=时，函数/么()的严格增区间为( A.（-∞，0] B.[0,+o) C.(-o,-] D.[1,+o) 7,函数f(x)=4sin(3x+2)+2cos(3x+4)在(0，π)上的零点个数为（) A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知数列{4n}的前n项和为Sn,且满足4=1，au1= an+l,n为奇数 2a,n为偶数，则8w=() 扫描全能王创建 A.3x21-156 B.3×21-103 C.3×20-156D.3×2"-103 二、选择题：本题共3小题，每小愿6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若随机变量X~N(0o2),f(x)=P(X≤x),则( A.f(-)=1-f(x) B.f(2x)=2f(x) C.Px<x=2f(x)-1(x>0) D.若}a刨，则时x<1 10.设函数f(x)=(c-1)2(x-4),则( A.x=1是f(x)的极小值点 B.f(2+x)+f(2-x)=-4 C.4<f2x-l)<0的解集为x1<x<2斗D.当o<x<时，f(ix)>fsin2x) 11.已知曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线：y=-1的距离之和等于4的点的 轨迹，若P(x。,y。)在曲线C上，则下列结论正确的是（) A.曲线C关于x轴对称 B.曲线C关于y轴对称 C.-2≤x0≤2 D.1≤PFs4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分、共15分. 12. 号茶-(4>0A>0与C苦专=%>06>0小有相同的 已知双曲线G:苦- 渐近线，若C的离心率为2，则C2的离心率为 13.曲线y=2√x与y=2+nx的公切线方程为 14.袋中有大小质地均相同的1个黑球，2个白球，3个红球，现从袋中随机取球， 每次取一个，不放回，直到某种颜色的球全部取出为止，则最后一个球是白球的 概率是 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」 15.在a4BC中，内角A、RC的对边分别为a、b、c,且c=2b,2sinA=3sin2C. a)求岩的值： 2若AMBC的面积为3万， 求AB边上的高， 2 16.在平面直角坐标系xOy中，已知点P到直线x=4的距离与点P到点F（1,0的距离之比为2 记P的轨迹为CG,曲线C的上顶点为R (1)求C的标准方程： (2)过B的直线与C相交于另一点A若△ABF面积为√5，求直线AB的方程. 17.如图，三棱柱ABC-AB,C,中，侧面BB,CC为矩形，底面ABC为等边三角形. (1)证明：AB=AC； C (2)若AC⊥AB,AA=AB=2, ①证明：平面ABC⊥平面ABC: ②求平面ABC与平面ABC的夹角的余弦值 扫描全能王创建 18.在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标(4,42，马)表示，其中 4∈0,1，i=1,2,3,而在n维空间中(n之2，n∈N),以单位长度为边长的“立方体” 的顶点坐标可表示为n维坐标(4,4,4，…，a),其中a∈{0,10≤i≤mie).现 有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点(4，A,4,“,a)与 (,,,,b)坐标差的绝对值之和，即为4-+%-+4-++a- 回答下列问题： (I)求出n维“立方体“的顶点数： (②)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距 离 ①求X的分布列与期望与方差： 19.己知e是自然对数的底数，常数k>0,函数 f倒=c0-=+空 (1)求f(x)、H(x)的单调区间； (2)讨论直线y=x与曲线y=r-1的公共点的个数： 3)记函数F问=血r-x+,z、4,若0<4<西且F6)=F(), (e2-2e)5+为-a之0，求实数a的取值范围， 扫描全能王创建 方合案： .A【详解】由log2x≤1解得0<x≤2：由x≤2，则0<2s4:所以A={0<x≤2，B={y0<y≤4号， 则AsB,且B={y≤0，或y>4号，则AUB=B,4nB=A,A∩4B=0故选：A. 2A【详解1=--24-号片，故号号，故z在复菌内对应的点金 2-i(2-i2+i)555 第四象限故选：A. 3.B由平面向量坐标模长公式求解即可. 【详解】因为ā⊥i,所以a6=2x-2=0,解得x=1,所以a=(仙，2)， a-6=（13),所以后--+32=而.故选：B. 4.A【详解】由题，sina=2sin(a+2p),则sim[(a+)-]=2sin[(a+p)+B], sin(a+B)cos B-cos(a+B)sin B=2sin(a+B)cosB+2cos(a+B)sinB, sin(a+)cosB=-3cos(a+B)sinB,tan(a+)=-3tanB=6,故选：A. 5. B【详解】设圆锥的高与底面半径以及母线长依次为么人1， 则由题意号2，即1=2 所以由圆维结物特征得么P严2☑-子_。5，放选：B 6.C【详解】解：f()=2图像，如图所示： 24x21 f(x) 当K=时，()={ 2 x≤-1， 1 -1sx≤1 如图所示： k(x) 所以当K=。时，函数f(x)的严格增区间为(o,-小，故选：C 0 1 7.C【详解】由题意函数f(x)=4sin(3x+2)+2cos(3x+4)在(0，)上的墨点， 即为f(x)=0,即2sin(3x+2)=-cos(3x+4)的根， 也即函数g(x)=2si血(3x+2).h)=-cos(3x+4)的图象的交点的横坐标， 作出g(x)=2sin(3x+2）,h(x)=-cos(3x+4)的图象如图示： 由图象可知在(0，π)上两函数图像有3个交点， 故函数f(x)=4sin(3x+2)+2cos(3x+4)在(0，π)上的墨点个数为3，故选：C 扫描全能王创建 8.A【详解】因为4=1，aa= a+l,n为奇数 2an,n为偶数1 所以a2=a4+1=2as+l，a2H=20u=2a+2,keN*,且4=2， 所以a2*2+a1=2(au+ak)+3, 记6，=4n+4n,n21,则b1=2b+3,所以b1+3=2(6.+3), 所以{色+3列是以4+3=4+4+3=6为首项，2为公比的等比数列， 所以6+3=6×2”，6=6×2-3，记{6，}的前n项和为，则 S0=T0=(6×2°+6×2+6×22++6×2）-3x50=3×2-156.故选：A 9.ACD【详解】对于A,随机变量X~N(O,o2)满足正态分布，且μ=0， 故f(x)=P(X≤-)=P(X≥x)=1-f(),故A正确： 对于B,当x=0时，f(2x)=P(X≤0)=5,2f()=2P(Xs0)=l 此时f(2x)≠2f(:),故B错误： 对于C,P(K<到=P(←x<X<-2P0<X<刘=2f)习-2-1，故C正确， 对于D,f()=P(X≤x),故f)单调递增， 故}f,即芒经>2，解得<1，敬D正瑞故选：ACD 10.BD【详解】对于选项A:因为f(x)的定义域为R, 且f(x)=2(x-10(x-4)+(x-1)°=3(x-10(x-3), 当x∈(，3)时，f(x)<0；当xe(-o,)或x∈(3，+o)时，f()>0: 可知f(x)在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减， 所以x=1是函数f(x)的极大值点，故A错误： 对于选项B:因为f(2+x)+f(2-x)=(x+1)(x-2)+(1-x)}(-x-2)=4,故B正确： 对于选项C:对于不等式-4<f(2x-1)<0, 因为份)-受e(4,0,即x=为不等式4<f亿x-)<0的解，但x-22到， 所以不等式-4<f(2x-1)0的解集不为{x1<x<2},故C错误； 对于选项D:因为0<x<号，则0<sinx<l,且s血x-sin2x=sinx(1-sin>0,可得 0<sin2x<sinx<1,因为函数f()在(0，)上单调递增，所以f(sinx)>f(sin2x),故D 正确；故选：BD. 11.BD【详解】由题，曲线C上任意一点2(xy),则Vx+(y-1)2+y+1=4.当y2-1时 Vx2+(y-1)2=3-y,即x2+0y-)°=y2-6y+9, 化简得y=2-,且-1y52；当)<-1时，2+0-可=y45, 化简可得y方2-2，且-25y5-山，画出曲线C的图象。 扫描全能王创建 对A,B,显然图象不关于x轴对称，关于y轴对称，故A错误，B正确： 对C,当y=2-=-时，解得x=5,故-25≤%≤25，散C错误： 对D, 因为y=子即2=4的焦点为Q-),故抛物线y=2-}女的焦点为F(Q,), 4 同理F(0,1)也是抛物线y=2-2的焦点。 12 故P℉的最小值为(0,2)到F(0,)的距离1，最大值为方程左右端点(25，-J)到F(0,)的距离 V2+2=4,故1sPFs4,故D正确：故选：BD 2【详解1】双鱼线G荐茶=-%>04>0)的渐近线方程为y=±会：。 x2 y2 a 日安=1(%>0,6>0)的渐近线方程为y=±经x,由愿意可得久=乌 由C的离心率为2得：g2=2=-1+色y,则y=3， 所以C的离心率为6，则1+=1+兮故2 14 3 13.x-y+1=0【详解】设曲线f(x)=2F上的切点为A云，2)（名>0），曲线g()=2+x上的切 点为8(6,2+16>0.因为f(倒=左8=主 公初线粉*店安所以6=民。 因为公接然方程为y-+一-小，即)=号+t山， 将名，2写代入公切线方程得2名=王++1， 由2=乐，得n-+1=0. 令h()=nx-x+lx>0,则(x)=上-1， 当0<x<J时，H(x>0:当x>1时，H(x)<0, 故函数h(x)在(0，上单调递增，在(，+∞)上单调递减，hx)==h)=0, 所以x=1,2=1,故公切线方程为y=x+1,即x-y+1=0.故答案为：x-y+1=0. 14。言【弹解】由题可知，要使直到某种颜色的球全都取出为止，最后一个球是白味测摸球次数可 抱为2,3,4次 扫描全能王创建 设两次取球便结束，最后一个球是白球的概率为？ 两次取球便结束，且最后一球为白球的情况为：两个球都是白球，楷况数为2种故 21 R=龙西 设三次取球便结束，最后一个球是白球的概率为P, 三次取球便结束，且最后一球为白球的情况为：前两次为一白一红，情况数为： 121 cc4=2.故6=元=10 设四次取球便结束，最后一个球是白球的概率为乃， 四次取球便结束，且最后一球为白球的情况为：前三次为两红一白，情况数为： 29%=36故3=36-1 设直到某种颜色的球全部取出为止，最后一个球是白球的概率是P, 则P=月+B+月=古+0+0-活故答案为：吉 4 号(237【详解】(D2snA=3sin2C,“sinA=3s血 d 由正余弦边角关系得，a=3cP+5-c0,又c=2b,@ 2ab 由@得，=30(e+8-46),a=262→a=35,=35 2 2 b 2 (2)由(1)得， cosC=sinA=a=2 -= 3sinC 3c 6b 4 （或由余弦定理得c0sC.+- 6+62-46 =2 2ab 3v2b2 4 C为做角，c9,△Bc的面银5=anC=×35x年35 2 22 42 ,b=2,设AB边上的高为h, 则的国积5-=9A:3 ，即AB边上的高为3万 4 160于+号=1：@☒x=0取x-4y+45=0. k-4 【详解】()设Pk),由题意可得x-+y =2 化简可将3+4矿=2，即苦+号1所以C的标准方程为苦+号=1. 3 3 (2)由(1)可得0，，设直线AB的方程为x=y-V5, +=1 联立{43 可得(32+4）y-6512y+92-12=0. x=y-) 扫描全能王创建 设4小，则5=罗导即a= 312+4 所以加= [5(6r-45-85 32+4 32+4' 即A 855(32-4)j 32+4332+4 设直线AB与x轴的交点为D, 在x=1y-5)中，令y=0,可得x=-3,即D-√5,0) 由椭圆方程可得F(,0叭，一。 w-40w小aa-t- 所以4+451=32+4，即32=451，解得t=0或：=45 3 所以直线B的方程为=0或x=(-同， 即直线AB的方程为x=0或V5x-4y+4W5=0. 7.【小问1详解】取BC,BC的中点为O,M,连接OM,AO,AO, 白于侧面BBCC为矩形，所以BB⊥BC,'OMI/BB,∴.OM⊥BC, 由于底面ABC为等边三角形，所以AO LBC, AO0OM=O,AO,MOc平面AOM, 所以BCL平面AOM, 由于AA/1OM,LA=OM,故四边形AOMA为平行四边形， 故4Oc平面AOM,故BC⊥AO,又O是BC中点，所以AB=4C, 【小问2详解】①由于AB=BC=AC=2,AO⊥BC,O是BC中点，所以A0=V3,C0=B0=1, 又AB=AC且AC⊥AB,所以4C=AB=V2,AO=1 由于BC⊥AO,BC⊥AO,故∠AOA为A-BC-A的平面角， 由于402+A02=A所以∠40A=受 故平面A,BC⊥平面ABC; 扫描全能王创建 ①由于OA,OA,OB肉肉垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系， 4(0,0,1),AN5,0,0,B(0,1,0),C(0-1,0), 则C=(51,0,4B=(01,-1),GA=Ca=V51,0, 设平面4BC的法向盘为m=6y列，则☑质=5x+y=0 4Bm=y-2=0,取x=月，则 m=（N5,-3,-3,由于平面ABC的法向量为0A=(0,0,), m0A32 色eos瓦0风- 司7故平面A8C与平面4BC的夹角的余弦值为 7 18.(1)2个 R0分布列黑相折，()导，@0)=2n- (2”-2 【详解】(1)对于n维坐标(a,a,4,,an),ae{0,10≤i≤m,ie), 所以共有2"种不同的点，即共有2”个顶点. (2)①对于X=k1≤k≤%k∈Z)的随机变量，在坐标(4,4,4，…，an)与 (,,4,,b,)中有飞个坐标值不同，剩下(n-)个坐标相同，此时对应情况数有 C2种， 所以P(X=)=C:2”.C 则X的分布列为： 2”- 20-1 JC+2C+…+nC 所以B(X)=2兰*2-1 2-1 倒序相加得，2B0=2”（C+C+c++C+C)-2 2”- 扫描全能王创建