2.1.1认识有理数 培优训练 2024—2025学年北师大版七年级数学上册

2.1.1认识有理数 一、课标导航 课标内容 课标要求 目标层次 有理数 理解并掌握整数、分数和有理数的意义 ★ 会比较有理数的大小 ★★ 数轴 正确理解数轴的意义；能用数轴上的点表示有理数 ★ 会借助数轴比较有理数的大小 ★★ 相反数 会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求有理数的相反数 ★ 掌握相反数的性质 ★★ 绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求有理数的绝对值 ★ 会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 ★★ 倒数 会求有理数的倒数 掌握倒数的性质 注：负倒数课标不作要求. 二、核心纲要 1. 有理数：整数与分数统称有理数. 2. 有理数的分类 注：①小学学过的π不是有理数. ②“四非”：非负数，非负整数，非正数，非正整数.(不要丢掉“0”) ③“0”既不是正数也不是负数. 3. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 4. 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.特别地，0的相反数是0. 5. 绝对值 (1)绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离.数a的绝对值记作|a |. (2)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0. 6.(1)倒数：若a与b的乘积是1，则称a与b互为倒数；反之，若a与b互为倒数，则 ab =1. 注：①0没有倒数； ②求带分数的倒数时要先将其变成假分数，然后再求倒数. (2)负倒数：若a与b的乘积是--1，则称a与b互为负倒数；反之，若a与b互为负倒数，则ab=-1. 7.比较有理数大小的常用方法 ①代数法：正数大于非正数，零大于一切负数. ②数轴法：数轴右边的数比左边的数大. ③绝对值法：对于两个负数，绝对值大的反而小. ④特殊值法：给题目中的字母一个特定的值，然后代入求值，进而比较大小. 8.数学思想方法 (1)初步理解分类讨论的思想. 分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结果，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略. (2)体会数形结合思想. 数形结合思想是一种重要的数学方法，数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.本章中的“数”就是有理数，“形”就是数轴，由于任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，就把数和形巧妙的结合起来了，数轴是数形结合常用的工具，运用数形结合思想可解决与数轴有关的各种问题. 本节重点讲解：一个方法(比较大小)，两个思想(分类讨论、数形结合)，六个概念(有理数、数轴、相反数、绝对值、倒数和负倒数). 三、全能突破 1.(1)下列说法中，正确的是( ) A.正数和负数统称为有理数 B.任何有理数均有倒数 C.绝对值相等的两个数相等 D.任何有理数的绝对值一定是非负数 (2)下列语句正确的是( ) A.数轴上的点只表示整数 B.不同的有理数可能用数轴上的同一点表示 C.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 D.有些分数在数轴上不能表示 2.下列各对数中，不是相反数的是( ) A.+(-3)与 -[-(-3)] 与 C.—(—8)与 ——8 | D.-5.2与 3.(1)有下列四个命题：①最大的负整数是--1；②最小的整数是1；③最小的负整数是 ； ④最小的正整数是 1.其中正确的说法有 . (2)下列数中：15 ， ，₇,-5,3. 8,23%,0.420,—I—0.05|,—π 负有理数有 ，分数有 . 4.—a的相反数是2,则a= ;若3m+7与--10互为相反数,则 的相反数是 . 5.数轴上，若点 M、N表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6，则这两点所表示的数为 . 6.绝对值小于 |—4.5|的整数有 ,和为 . 7.已知|x|=3,|y|=2,且x>y,求x+y的值. 8.比较大小： 与 与-|-3.14| 9.若m、n互为相反数，p、q互为倒数，且a为最大的负整数，求 的值. 能力提升 10.下列说法正确的是( ) A.一个数的负倒数等于它本身的数是±1 B.一个数的倒数等于它本身的数是0，±1 C.一个数的绝对值等于它本身的数是0 D.一个数的相反数等于它本身的数是0 11.若m+n=0,n+p=0,且m--q=0,则( ) A. p与q 相等 B. m与p互为相反数 C. m与n 相等 D. n与q 相等 12.对于任意有理数a，下列式子中取值不可能为0的是( ) A. |a+1| B. |--1|+a C. |a|+1 D. 1-|a| 13.下列说法正确的个数是( ) (1)|a|一定大于0;(2)-a一定是负数;(3)|-m|的倒数一定是¹/m;(4)-|a|-1一定是负数;(5)若 ab =0,则a,b均为0;(6)若|x|=|y|,则x与y相等或互为相反数;(7)若|x|+|y|=0,则x，y中至少有一个为0. A.0 B.1 C.2 D.3 14.如果|m+n|=|m|+|n|,则下列说法正确的是( ) A. m、n同号 B. m、n异号 C. m、n为任意有理数 D. m、n同号或m、n中至少一个为零 15.数轴上的点A、B、C分别对应的数为0、-1、x，点C与点A 的距离大于点C 与点B 的距离，则( ) A. x>0 B. x>-1 D. x<-1 16.有理数a、b满足a>0,b<0,|a|<|b|,则下列结论正确的是( ) A.-a<b<-b<a B. b<-a<a<-b C.-a<-b<b<a D. b<-a<-b<a 17.(1)数轴上的点A、B分别表示的数为--3和4，点C是AB的中点，则点C所表示的数是 . (2)已知数轴上A、B两点之间的距离为5，且点 A 到原点的距离为2，那么点 B所对应的数为 . 18.已知0<x<1,则.x²、x\frac{1}{x} 的大小关系是 . 19.当3<a<4时,化简|a-3|-|a-6|. 20.若x、y满足2011|x-1|+2012|y+1|=0.求x+y+2012的值. 21.试比较2a与a 的大小. 22.-4的倒数的相反数是( ) A. -4 B.4 D 23如图1-1-1所示，若点 A 是有理数a 在数轴上对应的点，则关于a、-a、1 的大小关系正确的是( ) A. a<1<-a B. a<-a<1 C.1<-a<a D.-a<a<1 24.(2011·鄂尔多斯)如果a与1互为相反数,则|a|等于( ) A.2 B.-2 C.1 D.—1 25. a、b是有理数,如果|a-b|=a+b,那么对于结论: (1)a一定不是负数；(2)b可能是负数.其中( ) A.只有(1)正确 B.只有(2)正确 C.(1)(2)都正确 D.(1)(2)都不正确 26.已知m、n、l都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m+n+l的最大值是 ，最小值是 . 27.在数轴上，N点与O点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$