精品解析：山东省烟台市2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题

山东省烟台市（五四制）2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图的四个转盘中，，转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程组，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. -3 4. 将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在中，的垂直平分线分别交于E、D两点，且，，则的周长是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A 每一个内角都小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角大于 D. 有一个内角小于 7. 如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A B. 垂直平分 C. D. 8. 如图，在中，和的角平分线相交于点P，连接，，，若，，的面积分别为，，，则有（　　） A. B. C. D. 9. 已知关于的不等式的整数解共有个，则m的取值范围为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、填空题. 11. 如图，将含角的直角三角板放在平行线a和b上，，，若，则的度数为______________． 12. 现规定一种新运算，，其中、为常数．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为______． 13. 下图是可调躺椅示意图，AE与BD交于点C．小明觉得当躺椅角度是如图所示的数据时最舒适，此时___________度． 14. 如图，，∠BAE和∠ABF的平分线交于点P，过点P作DP⊥AE于点D，且交BF于点C．若，则点P到AB的距离是______． 15. 某业主贷款22000元购进一台机器，生产某种产品．已知产品的成本每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%．若每月能生产、销售2000个产品，问至少 _____个月后能赚回这台机器的贷款． 16. 如图所示，中，，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，，则______． 三、解答题（解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解下列方程组、不等式组： （1） （2） （3） （4） 18. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由． 19. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1=∠2． （1）试说明：DG∥BC； （2）若，，求的度数． 20. 已知，如图中，，于D，平分，且于E，与相交于点F．求证： （1）； （2）． 21. 如图，已知直线：过点与点，直线与直线：相交于点P，直线：（）也是经过P点的一条直线． （1）求直线解析式； （2）根据图象写出不等式的解集； （3）求四边形的面积． 22. 如图，D是等边三角形内一点，且，，． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元． （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； （2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案?哪个方案费用最低，最低费用是多少万元? 24. 如图，中，于点，，为上一点，且，连接并延长交于点． （1）求证：，； （2）连接，若． ①求证：； ②若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省烟台市（五四制）2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A.在不等式两边同时减去5，不等式仍然成立，即，故选项A不符合题意； B. 在不等式两边同时乘以-5，不等号方向改变，即，故选项B不符合题意； C.当c≤0时，不等得到，故选项C符合题意； D. 在不等式两边同时加上c，不等式仍然成立，即，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质运用的，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键． 2. 如图的四个转盘中，，转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指针落在阴影区域内的概率是：阴影面积比总面积，分别求出概率比较即可 【详解】A、指针落在阴影区域内的概率是 B、指针落在阴影区域内的概率是 C、指针落在阴影区域内的概率是 D、指针落在阴影区域内的概率是 ∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D 故选：D 【点睛】本题考查了几何概率，计算阴影区域面积占总面积的比例是解题关键． 3. 已知方程组，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】先分别利用加、减法求出x＋y与x−y的值，原式分解后代入计算即可求出值． 【详解】解：， ①＋②得：，即， ①−②得：， ． 故选：D． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，重点培养学生整体思想的数学中的应用，熟练掌握解二元一次方程组的方法及步骤是解题的关键． 4. 将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可． 【详解】解：由得， 所以不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： 故选：B． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 5. 如图所示，在中，的垂直平分线分别交于E、D两点，且，，则的周长是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得，然后将的周长转化为即可； 【详解】解：为线段的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长． 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练运用线段垂直平分线的性质是解题关键． 6. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 每一个内角都小于 B. 每一个内角都大于 C. 有一个内角大于 D. 有一个内角小于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，应假设这个三角形中每一个内角都小于， 故选：A． 7. 如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. B. 垂直平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作法得OC= OF = OG，FG= FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断;利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG = ∠FOC =30°，则可对A选项进行判断;通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断;利用含30度的直角三角形三边的关系得到 OC = 2CM，加上CF> CM，FC= FG，则可对D选项进行判断. 【详解】由作法得OC=OF= OG，FG= FC，则OF垂直平分CG， 所以B选项的结论正确； ∵C点与G点关于OF对称 ∴∠FOG=∠FOC=30°， ∴∠AOG =60°， 所以A选项的结论正确; ∴△OCG等边三角形， OG = CG， 所以C选项的结论正确; 在Rt△OCM中，∵∠COM =30° ∴OC = 2CM， ∵CF > CM， FC= FG， ∴ OC ≠2FG， 所以D选项的结论错误 故选：D. 【点睛】本题考查含30度的直角三角形、线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形的三边关系，等边三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点 8. 如图，在中，和的角平分线相交于点P，连接，，，若，，的面积分别为，，，则有（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过P点作于D，于E，于F，如图，先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，，，然后根据三角形三边的关系对各选项进行判断． 【详解】解：如图，过P点作于D，于E，于F， ∵和的角平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∵，，， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 9. 已知关于的不等式的整数解共有个，则m的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解出不等式组的解集，再根据不等式的整数解共有2个，即可得到m的取值范围． 【详解】解：， 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 由题意可知，不等式组有解集， 原不等式组的解集是， 不等式的整数解共有2个， 这两个整数解是2，3， ∴3<m≤4， 故选：D． 【点睛】此题考查了由一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法，知道求不等式组的解集应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 10. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知MN是AB的垂直平分线，可得AD=BD，再根据△ABC的周长和AB的长，求出AC+BC，即可得出△ADC的周长． 【详解】根据题意可知MN是AB的垂直平分线， ∴AD=BD． ∵△ABC的周长为12， ∴AB+BC+AC=12． ∵AB=5， ∴BC+AC=7， 即AC+CD+BD=7， ∴AC+CD+AD=7， 所以△ADC的周长为7． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，求三角形的周长等，将两边长的和转化为三角形的周长是解题的关键． 二、填空题. 11. 如图，将含角的直角三角板放在平行线a和b上，，，若，则的度数为______________． 【答案】##42度 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质得出∠3=42°，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：如图，AB与直线a相交于点M， ∵∠1=∠AMN，∠1=12°， ∴∠AMN=12°， ∵∠A=30°， ∴∠3=∠A+∠AMN=42°， ∵， ∴∠2=∠3=42°； 故答案为：42° 【点睛】此题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 12. 现规定一种新运算，，其中、为常数．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据k※x≤3得出2k-x≤3，求出不等式的解集是x≥-3＋2k，根据数轴得出-3＋2k＝-1，再求出k即可． 【详解】解：∵k※x≤3， ∴2k-x≤3， ∴-x≤3-2k， ∴x≥-3＋2k 从数轴可知：-3＋2k＝-1， 解得k＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集和解一元一次方程等知识点，能正确识图是解此题的关键． 13. 下图是可调躺椅示意图，AE与BD交于点C．小明觉得当躺椅的角度是如图所示的数据时最舒适，此时___________度． 【答案】120 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出，利用对顶角相等，求出，利用四边形的内角和与周角的定义，即可求解． 【详解】解：在中，， ∵对顶角相等， ∴， ∴ ． 故答案为：120． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理和四边形的内角和定理，利用对顶角相等是本题解题的关键． 14. 如图，，∠BAE和∠ABF的平分线交于点P，过点P作DP⊥AE于点D，且交BF于点C．若，则点P到AB的距离是______． 【答案】4 【解析】 【分析】过P作PH⊥AB于H，根据角平分线的性质PH=PD，由平行线的性质推出DC⊥BF，同理可证PH=PC，得到PC=PD=4即可． 【详解】解：过P作PH⊥AB于H， ∵AP平分∠BAE，PH⊥AB，PD⊥AE， ∴PH=PD， ∵， ∴DC⊥BF， 同理可证PH=PC， ∴PC=PD=4， ∴PH=4， ∴点P到AB的距离是4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了角平分线的性质，平行线的性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键． 15. 某业主贷款22000元购进一台机器，生产某种产品．已知产品的成本每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%．若每月能生产、销售2000个产品，问至少 _____个月后能赚回这台机器的贷款． 【答案】5 【解析】 【分析】设x个月后能赚回这台机器的贷款，利用总利润=每个的利润×每月的产量×时间，结合总利润不少于这台机器的贷款，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设x个月后能赚回这台机器的贷款， 依题意得：（8-5-8×10%）×2000x≥22000， 解得：x≥5， ∴至少5个月后能赚回这台机器的贷款． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 16. 如图所示，中，，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据AAS证明△AEB≌△CFA，推出AF=BE=3，AE=CF=7，即可求出EF． 【详解】解：∵于点E， 于点F． ∴∠AEB=∠AFC=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAF=90°， ∴∠ABE=∠CAF， ∵AB=AC， ∴△AEB≌△CFA， ∴AF=BE=3，AE=CF=7， ∴EF=AE+AF=7+3=10， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 三、解答题（解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解下列方程组、不等式组： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 分析】（1）先整理成一般式，再利用加减消元法求解即可； （2）先整理成一般式，再利用加减消元法求解即可； （3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （4）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：整理得：， ①②得：， 将代入①得：， 解得， 方程组的解为； 【小问2详解】 整理得：， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为； 【小问3详解】 解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为； 【小问4详解】 由得， 由得：， 则不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）能，可以将盒子中的白球拿出3个． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式可直接进行求解； （2）由题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴盒子中球的总数为：（个）， ∴盒子中黑球的个数为：（个）； ∴任意摸出一个球是黑球的概率为：； 【小问2详解】 解：∵任意摸出一个球是红球的概率为 ∴盒子中球的总量为：， ∴可以将盒子中的白球拿出3个． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率求解是解题的关键． 19. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1=∠2． （1）试说明：DG∥BC； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠3=71°． 【解析】 【分析】（1）由CD⊥AB，EF⊥AB即可得出CD//EF，从而得出∠2=∠BCD，再根据∠1=∠2即可得出∠1=∠BCD，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出DG//BC； （2）在Rt△BEF中，利用三角形内角和为180°即可算出∠2度数，从而得出∠BCD的度数，再根据BC//DG即可得出∠3=∠ACB，通过角的计算即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴DG//BC； （2） 解：在Rt△BEF中， ∵∠B=54°， ∴∠2=180°-90°-54°=36°， 又∵ ∴∠BCD=∠2=36°． ∵ ， ∴∠BCA=∠BCD + ∠ACD = 36°+ 35°= 71° ． 又∵BC//DG， ∴∠3=∠BCA = 71°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）找出∠1=∠BCD；（2）找出∠3=∠ACB=∠ACD+∠BCD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角证出两直线平行是关键． 20. 已知，如图中，，于D，平分，且于E，与相交于点F．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出，推出，根据证出即可； （2）先证明，，再根据证出，推出即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， 即， ∵由（1）知， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出和． 21. 如图，已知直线：过点与点，直线与直线：相交于点P，直线：（）也是经过P点的一条直线． （1）求直线的解析式； （2）根据图象写出不等式的解集； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求银即可； （2）求出直线：与直线：的交点坐标，即可由图象法求解； （3）求出直线与y轴相交于点C的坐标为，直线与x轴相交于点A的坐标为，从而得AB=3，即可根据求解． 【小问1详解】 解：∵直线：过点与点， ∴， 解得. ∴直线的解析式为： 【小问2详解】 解：∵点P是直线：与直线：的交点 ∴ 解得 ∴点P的坐标为（-1，2）， ∴不等式的解集. 【小问3详解】 解：∵直线与y轴相交于点C， ∴C的坐标为， 又∵直线与x轴相交于点A， ∴A点的坐标为， ∵， ∴， 而， ∴. 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，根据两直线交点求不等式组的解集，利用点的坐标求图形面积，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式、图象法求不等式（组）解集是解题的关键． 22. 如图，D是等边三角形内一点，且，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形ABC为等边三角形得到AB=AC，再由BP=AB，得到AC=BP，利用SAS证明，最后证得结果； （2）由三角形ABC为等边三角形得到AB=AC，，再证明，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠BCD，即可求出所求角的度数． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ 又∵，. ∴ ∴ ∴ 即 【小问2详解】 ∵是等边三角形， ∴，. 在和中， ， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 23. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元． （1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； （2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案?哪个方案费用最低，最低费用是多少万元? 【答案】（1）甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元 （2）该公司有3种购买方案，该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元 【解析】 【分析】本题考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次方程组和不等式组的应用． （1）设甲型机器人每台价格是万元，乙型机器人每台价格是万元，利用二元一次方程组解决问题； （2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值． 【小问1详解】 解：设甲型机器人每台价格是万元，乙型机器人每台价格是万元，根据题意得 解这个方程组得： 答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是万元、万元； 小问2详解】 设该公司可购买甲型机器人台，乙型机器人台，根据题意得 解这个不等式组得 为正整数 的取值为，，， 该公司有种购买方案 设该公司的购买费用为万元，则 ， 随的增大而增大 当时，最小，最小万元 该公司购买甲型机器人台，乙型机器人台这个方案费用最低，最低费用是万元． 24. 如图，中，于点，，为上一点，且，连接并延长交于点． （1）求证：，； （2）连接，若． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）①证明见解析；②2＋ 【解析】 【分析】（1）证明△BDF≌△ADC（SAS），由全等三角形的性质可得出BF＝AC，∠DBF＝∠DAC，由直角三角形的性质可得出结论； （2）①由等腰三角形的性质可得出结论； ②由全等三角形的性质得出CD＝DF，由勾股定理求出CF＝2，求出AF＝CF＝2，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝45°， ∴∠ABD＝45°， ∴∠BAD＝∠ABD， ∴AD＝BD， 又∵DF＝DC，∠BDF＝∠ADC＝90°， ∴△BDF≌△ADC（SAS）， ∴BF＝AC，∠DBF＝∠DAC， 又∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠BDF＝∠AEF＝90°， ∴BF⊥AC； 小问2详解】 ①证明：由（1）知BF＝AC， ∵AB＝BC，BE⊥AC， ∴AC＝2AE， ∴BF＝2AE； ②解：∵△BDF≌△ADC， ∴CD＝DF＝， 在Rt△CDF中，， ∵BE⊥AC，AE＝EC， ∴AF＝CF＝2， ∴AD＝AF＋DF＝2＋． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$