精品解析：2024年福建省三明市三元区中考二模数学试题

2024年福建省三明市三元区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数：，0，，，其中最小的是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数大小比较的法则解答． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 2. 以下几何体的主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图的定义，从正面看到的图形是主视图，即可解决问题． 【详解】解：几何体的主视图是矩形的是： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解决本题的关键是掌握三视图的定义． 3. 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键． 根据对顶角相等的性质求解即可． 【详解】解：根据对顶角相等的性质，可得：， 故选：A． 4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上的点的特征即可判断． 【详解】解：点a在2的右边，故a>2，故A选项错误； 点b在1的右边，故b>1，故B选项错误； b在a的右边，故b>a，故C选项错误； 由数轴得：2<a<1.5，则1.5<a<2，1<b<1.5，则，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 5. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　） A. 0.905 B. 0.90 C. 0.9 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案． 【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905， ∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9， 故选：C． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率． 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理． 【详解】解：A. ，原运算错误，本选项不合题意； B. ，原运算错误，本选项不合题意； C. ，符合运算法则，本选项符合题意； D. ，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键． 7. 如图，点A，B，C在⊙O上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形性质得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出度数和得出． 8. 我国明代数学读本《算法统宗》一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果1托为5尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为x尺，竿子长为y尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设索长为x尺，竿子长为y尺， 根据题意，可列方程组为， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 9. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案. 【详解】解：根据新运算法则可得：， 则即为， 整理得：， 则， 可得： ， ； ， 方程有两个不相等的实数根； 故答案选：B. 【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号. 10. 如图，正方形纸片 ，P为正方形边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，交于点H，折痕为，连接，，交于点M，连接．下列结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】①利用正方形的性质、翻折不变性即可解决问题； ②构造全等三角形即可解决问题； ③如图2，过 作，垂足为 ．证明，以及即可判断； ④利用特殊位置，判定结论即可； 【详解】解：根据翻折不变性可知：； ． 又， ．即． 又， ． ，即平分，故①正确； 如图1中，作于．设交于 ． ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确， 如图2，过 作，垂足为 ． 由（1）知， 在和中， ，，， ． ，． 又， ． 又，， ， ，故③正确； 当点 与 重合时，显然，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质常用辅助线，构造全等三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，根据负整数指数幂的运算法则，计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 12. 菱形ABCD周长为8，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，则OE的长是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得菱形的边长即AB＝2OE，进而解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵E是AB的中点， ∴AB＝2OE， ∵菱形ABCD周长为8， ∴AB＝2， ∴OE＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质和直角三角形斜边中线的定理，掌握以上知识点是解题的关键． 13. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，根据一元二次方程的定义，得到，将代入方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：（舍去）或； 故答案为：． 14. 在一个不透明的袋子中装有3张完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3．从中随机抽取两张，组成的两位数是3的倍数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及组成的两位数是3的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 1 12 13 2 21 23 3 31 32 共有6种等可能的结果，其中组成的两位数是3的倍数的结果有：12，21，共2种， 组成的两位数是3的倍数的概率为 ． 故答案为： 15. 如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为， 为边上一点，将沿 边折叠，圆心 恰好落在弧上的点 处，则阴影部分的面积为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积问题，掌握割补法求阴影部分的面积，是解题的关键．连接，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，根据勾股定理求出，即可由求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，则， 由折叠得， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数图象上，若，，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定，分别过引 轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：如图，分别过A、B引 轴的垂线，垂足分别为， 点B在函数的图象上， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 又 ， ， ， 点A在函数的图象上， ， ∵（函数图象经过第二象限）， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】将方程组的两个方程相加，得出，求出，把代入①求出y即可． 【详解】, ①+②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解为：． 18. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示如图． 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 数轴表示如图： 19. 如图， ，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，继而可得出． 【详解】略 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式减法法则计算括号内的，再运用二次根式除法法则计算，即可化简，再把代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 当时， 原式 ＝ 【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握分式混合运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 21. 如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE． （1）求证：BE是⊙O的切线． （2）若AC＝4，CE＝1，求tan∠BAD． 【答案】（1） 证明：如图，连接OB， ∵CB平分∠ACE． ∴∠ACB＝∠ECB， ∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠CBO， ∴∠BCE＝∠CBO， ∴OB∥ED． ∵BE⊥ED， ∴EB⊥BO． ∴BE是⊙O的切线； （2）tan∠BAD＝ 【解析】 【分析】（1）连接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可； （2）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵BE⊥ED， ∴∠E＝90°， ∴∠E＝∠ABC， ∵∠BCE＝∠ACB， ∴△BCE∽△ACB， ∴， ∵AC＝4，CE＝1， ∴， ∴， ∵∠BCD+∠BAD＝∠BCD+∠BCE＝180°， ∴∠BCE＝∠BAD， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等． （1）姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为_______________； （2）在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端、、三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三根同样的绳子、、穿过一块木板，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）利用列举法可得：，，，其中符合题意的有2种、，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解： 共有三根同样的绳子、、穿过一块木板， 姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列举得：，，，，，，，，； 共有9种等可能的结果，其中符合题意的有6种， 这三根绳子能连接成一根长绳的概率是：． 【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比． 23. 某综合与实践小组想要测量如图1所示的池塘 、 两个端点的距离，但没有足够长的测量工具，两个小组的同学想到了不同的测量方案． （1）勤奋小组的同学根据平时学习到的知识，设计了如下的测量方案： ①先在池塘一侧的平地上取一个可以直接到达 、 两点的点 （可以测得 、 的距离）； ②连接 并延长至点 ，使______，连接 并延长至点 ，使______； ③连接 并测量出它的长度，则______的长度就是 、 两个端点的距离； ④用直尺和圆规在图1中画出测量示意图（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； ⑤成员任务分配与实地测量（略）． 请你帮勤奋小组的同学将测量方案补充完整，并说明此测量方案合理的理由． （2）创新小组的同学受到启发，经过组内成员的探究，画出如图2所示的示意图，并得到了如下的测量方案： ①派一名同学戴一顶太阳帽，在点 处立正站好； ②调整太阳帽，使视线通过帽檐正好落在池塘对面的点 处； ③该同学旋转后保持方才的姿势，再次使视线通过帽檐，且将视线所落在平地上的位置记为点 ； ④测得的长度就是 、 两个端点的距离． 试说明该测量方案可行的理由． 【答案】（1） ②；； ③ ④测量示意图如解图所示： 理由：在与中， ， ， ； （2） 根据题意，得，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，准确理解题干中两种测量方案是解题关键． （1）利用全等三角形的判定和性质求解即可； （2）利用全等三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知抛物线（为常数，且） （1）请直接写出该抛物线的对称轴：直线______． （2）若对于任意实数x，抛物线始终在x轴下方，求a的取值范围； （3）若，设抛物线的顶点为．若直线l与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴相交于点E，且点E在点M的上方，过点A作直线的垂线，垂足为D．若点D、M、B三点共线，那么直线是否经过一个定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是； 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，以及解不等式组， （1）根据二次函数对称轴的表达式求解即可； （2）结合题意列出不等式，且求解即可； （3）根据题意得抛物线的表达式为：，顶点，设点A、B的横坐标为m，n，直线的表达式为：，则点，联立抛物线和直线的表达式得，则，，直线的表达式为：，将点D的坐标代入直线的表达式得，即，则直线的表达式为：，即可求得定点． 【小问1详解】 解：由题意得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：，且， 即， 解得：； 【小问3详解】 解：时，抛物线的表达式为：，顶点， 设点A、B的横坐标为m，n，直线的表达式为：， 则点， 联立抛物线和直线的表达式得：，即 则，， 设直线的表达式为：， 则，解得， 直线的表达式为：， 将点D的坐标代入直线的表达式得：， 整理得：， 即， 则直线的表达式为：， 当时，， 即直线过定点． 25. 问题提出：如图（1）， 是菱形 边 上一点，是等腰三角形，，交于点 ，探究与 的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与 的数量关系． 问题拓展： （3）将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长 过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点 ，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出． 【小问1详解】 延长 过点F作， ∵， ， ∴， 在和中 ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ， ． ． 【小问3详解】 解：过点 作的垂线交的延长线于点 ，设菱形的边长为， ． 在中， ， ． ，由（2）知，． ． ， ， ， 在上截取，使，连接，作于点O． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ． 【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年福建省三明市三元区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数：，0，，，其中最小的是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 以下几何体的主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　） A. 0.905 B. 0.90 C. 0.9 D. 0.8 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C在⊙O上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 我国明代数学读本《算法统宗》一书有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果1托为5尺，那么索长和竿子长分别为多少尺？设索长为x尺，竿子长为y尺，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 10. 如图，正方形纸片 ，P为正方形 边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处， 交于点H，折痕为 ，连接，，交 于点M，连接．下列结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算_____． 12. 菱形ABCD周长为8，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，则OE的长是_____． 13. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为___________． 14. 在一个不透明的袋子中装有3张完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3．从中随机抽取两张，组成的两位数是3的倍数的概率为______． 15. 如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为， 为边上一点，将沿 边折叠，圆心恰好落在弧 上的点 处，则阴影部分的面积为______ ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数图象上，若，，则k的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程组：． 18. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 如图， ，，，求证： ． 20. 先化简，再求值：，其中 21. 如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE． （1）求证：BE是⊙O的切线． （2）若AC＝4，CE＝1，求tan∠BAD． 22. 如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等． （1）姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为_______________； （2）在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端、、三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率． 23. 某综合与实践小组想要测量如图1所示的池塘 、 两个端点的距离，但没有足够长的测量工具，两个小组的同学想到了不同的测量方案． （1）勤奋小组的同学根据平时学习到的知识，设计了如下的测量方案： ①先在池塘一侧的平地上取一个可以直接到达 、 两点的点 （可以测得、 的距离）； ②连接并延长至点 ，使______，连接 并延长至点 ，使______； ③连接 并测量出它的长度，则______的长度就是 、 两个端点的距离； ④用直尺和圆规在图1中画出测量示意图（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； ⑤成员任务分配与实地测量（略）． 请你帮勤奋小组的同学将测量方案补充完整，并说明此测量方案合理的理由． （2）创新小组的同学受到启发，经过组内成员的探究，画出如图2所示的示意图，并得到了如下的测量方案： ①派一名同学戴一顶太阳帽 ，在点 处立正站好； ②调整太阳帽，使视线通过帽檐正好落在池塘对面的点 处； ③该同学旋转后保持方才的姿势，再次使视线通过帽檐，且将视线所落在平地上的位置记为点 ； ④测得的长度就是 、 两个端点的距离． 试说明该测量方案可行的理由． 24. 已知抛物线（为常数，且） （1）请直接写出该抛物线的对称轴：直线______． （2）若对于任意实数x，抛物线始终在x轴下方，求a的取值范围； （3）若，设抛物线的顶点为 ．若直线l与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴相交于点E，且点E在点M的上方，过点A作直线的垂线，垂足为D．若点D、M、B三点共线，那么直线是否经过一个定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 25. 问题提出：如图（1）， 是菱形 边 上一点，是等腰三角形，，交于点 ，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： （3）将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $