湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试卷

长沙市第一中学2023—2024学年度高二第一学期入学数学考试 数学 时量: 120 分钟 满分: 150 分 得分 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 在空间直角坐标系中,点(-2,1,9)关于x轴的对称点的坐标是 ( ) A. (-2,1,9) B. (-2,-1,-9) C. (2,-1,9) D. (2,1,-9) 2. 从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的事件( ) A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个白球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D. 至少有一个黑球与都是白球 3. 已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出: x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(3))= ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图是某校举行的诗歌朗诵比赛中,七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据的平均数和方差分别为 ( ) A. 84,4.84 B. 84,1.6 C. 85,1.6 D. 85,0.4 5. 如图,在棱长为2的正方体 中, A₁B₁的中点是P, 过点A₁作与截面. 平行的截面,则该截面的面积为 ( ) D. 4 6. 在 ABC中, 若tanAtanB=tanA+tanB+1, 则cosC的值是 ( ) C 7. 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是边长为3的正方形, PA⊥平面ABCD, 且 则PC与平面ABCD所成角的大小为 ( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 8. 已知圆 的圆心为C, 点P是直线l: mx-y-5m+4=0上的点, 若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30 ,则实数m的取值范围为 ( ) A. [-1,1] B. [-2,2] 二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.) 9. 已知 ABC中,角A、B、C所对的边分别是 、b、c且 =6,4sinB=5sinC以下四个命题中正确的有( ) A. ABC的面积的最大值为40 B. 满足条件的 ABC不可能是直角三角形 C. 当A=2C时, ABC的周长为15 D. 当A=2C时, 若O为 ABC的内心, 则 AOB的面积为 10. 下列叙述正确的是 ( ) A. 频率反映的是事件发生的频繁程度,概率反映的是事件发生的可能性大小 B. 做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率 就是事件的概率 C. 百分率是频率,但不是概率 D. 频率是不能脱离具体的n次试验的试验值,而概率是确定性的不依赖于实验次数的理论值 11. 已知a,b∈R, 则 ( ) A. 任意a,b有 B. 存在a,b使得 C. 任意a,b有 D. 存在a,b使得 12. 设等差数列{ an}的前n项和是 Sn, 已知, 正确的选项有 ( ) B. S₅与S₆均为Sₙ的最大值 D. a₇<0 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.) 13. 已知数列{ an}的前n项和为 Sn, 通项公式( 则 14. 已知 则sin2 = . 15. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B分别为x轴、y轴上一点,且|AB|=1,若点P的坐标为( 则 的取值范围是 . 16. 已知函数 关于x的方程 恰有6个不同实数解,则a的取值范围是 . 四、解答题(本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10分) 已知函数 (1) 求函数f(x)的单调递增区间; (2) 求满足f(x)=1且x∈[- , ]的x的集合. 18. (12分) 已知四棱锥P-ABCD如图所示, AB∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=PD=1, PAB为等边三角形. (1) 证明: (2) 求二面角P-CB-A的余弦值. 19. (12分) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1) 求回归直线方程 其中 (2) 预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1) 中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元? (利润=销售收入-成本) 20. (12分) 在 ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且满足 (1) 求角 C的大小; (2) 若 求 ABC面积的最大值. 21.(12分) 设无穷等差数列{ an}的前n项和为 Sn,已知( (1) 求a₂₄与S₇的值; (2) 对任意的正整数n,不等式 恒成立,试求实数 的取值范围. 22. (12分) 已知函数 且f(2)=1. (1) 求f(x)的解析式; (2) 已知f(x)的定义域为[2,+∞). (i)求f(4 +1)的定义域; ( ii ) 若方程 有唯一实根,求实数k的取值范围. 长沙市第一中学2023—2024学年度高二第一学期入学数学考试 数学参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B c c C C B A D ACD AD AC ACD 4. C【解析】由题意得 5. C【解析】在棱长为2的正方体 中, A₁B₁的中点是P, 过点A₁作与截面. 平行的截面,则截面是一个对角线分别为正方体体对角线A₁C和面对角线EF 的菱形,如下图所示: 则 则截面面积 故选C. 6. B【解析】由 tan AtanB = tan A+tanB+1 , 可得 即 又A+B∈(0, ), 所以 则 故选 B. 7. A【解析】如图, 连接AC,∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥AC,∠PCA为PC与平面ABCD所成的角. 底面ABCD是边长为3 的正方形, ∴∠PCA=30 . 故选A. 8. D【解析】如图所示,过点P作圆的切线PQ, 要使圆上存在点Q使得∠CPQ=30 , 则. 此时 点 P为直线l上的点,则圆心到直线l的距离小于等于4, ∴圆心到直线的距离 故选 D. 9. ACD 【解析】A、以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,可得. 由 可得4b=5c, 设A(m,n), 可得 平方可得 即有 化为 则A 的轨迹为以 为圆心,半径为 的圆,可得 ABC的面积的最大值为 故 A 正确; B、a=6,4sinB=5sinC,即4b=5c,设b=5t,c=4t,由 可得t=2,满足条件的 可能是直角三角形,故B错误; C、a=6,4sinB=5sinC,A=2C, 可得B= -3C, 由正弦定理可得 可得 由 可得 由 sin C≠0, 可得 解得 或 (舍去), 所以 由 可得c=4,b=5, 则a+b+c=15, 故C正确; 设 ABC 的 内 切 圆 半 径 为 R , 则 故D 正确, 故选: ACD. 10. AD【解析】由频率及概率的定义可知A是正确的. 在B 中, 是事件A发生的频率,由于概率是与频率接近一个常数,所以概率不一定等于频率,故B是错误的. 百分率通常指概率,所以C 是不正确的. 由概率的定义知D 是正确的. 故选 AD. 11. AC【解析】∵a、 b∈R,.. a +b ≥2ab,当且仅当a=b时等号成立, . A选项正确,B选项错误; 当且仅当a=b=1时等号成立, ∴对于任意实数(a、b C 选项正确, D选项错误; 故选 A、C.100 12. ACD【解析】因为 所以 故 C 正确. 又因为 所以 故D正确,所以等差数列前6 项为正数,从第7 项开2始为负数,则. 故A 正确, S₆为Sₙ的最大值, 故B 错误; 故ACD 正确. 故选: ACD. 三、填空题 13. -51【解析】由. 得: -2+3-4+5-…-98+99-100=(-2+3)+(-4+5)+…+(-98+99)-100=49-100=-51 【解析】由已知可得 则 15. [5,7]【解析】设A(x,0),B(0,y), 则. 所以 所以 所以 令x=cos ,y=sin , 则 当 时, 取得最大值 当 时, 取得最小值 故 的取值范围是[5,7]. 16. (-4,-2)【解析】由题意, 易知函数 f(x) 定义域为 关 于原点对称,又因为 所以函数f(x)为偶函数,只需研究( )上根的情况,当. 时, 当0<x≤1时, f(x)=2x, 作出函数f(x)大致图象如下: 结合图象可知,要使方程. 恰有6个不同实数解,令 则只需使方程 恰有2个不同实数解,其中一根为2,另一根在区间(0,2)内,所以b=-4-2a,0<-a-2<2,即a的取值范围是(-4,-2). 四、解答题 17.【解析】(1 令 得 则函数f(x)的单调递增区间为 5分 (2) 因为x∈[- , ], 所以 因为f(x)=1, 所以 由 可知: 所以 10分 18.【解析】(1) 证明: 取AB的中点E, 连接PE,DE. ∵AB=BC=2,CD=PD=1, PAB为等边三角形, ..四边形BCDE是平行四边形, ∴DE=CB=2,DE∥CB,∴AB⊥ED, PE ED=E,PE,ED⊂平面PED,∴AB⊥平面PED, ∵PD⊂平面PED,∴AB⊥PD, AB PE=E,AB,PE⊂平面PAB,.. PD⊥平面PAB; 5分 (2)由(1)知AB⊥平面PED,又AB⊂平面ABCD,∴平面PED⊥平面ABCD,过P作. 于O,∵平面PED⊥平面ABCD,平面PED∩平面ABCD=ED,PO⊂平面PED,则. , 过O作OH⊥CB 于H,连接PH, ∵PO⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD, 则PO⊥BC, ∵PO∩OH=O,PO,OH⊂平面POH , 故BC⊥平面POH, 又PH⊂平面POH,故BC⊥PH , 则∠PHO为二面角P-CB-A的平面角. 在Rt PED中, PO ED=PE PD, 可得 在Rt PHO 中, 故 ∴二面角P-CB-A的余弦值为 12分 19.【解析】(1) 由于 所以 从而回归直线方程为 5分 (2) 设工厂获得的利润为L元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) 当且仅当x=8.25时,L取得最大值. 故当单价定位8.25元时,工厂可获得最大利润. 12分 20.【解析】(1) 由 得 解得 由0<C< ,所以 5分 (2) 取BC中点D, 则 在 ADC中, 即 所以ab≤8, 当且仅当a=4,b=2时取等号, 此时 故 ABC面积的最大值为 12分 21.【解析】(1) 因数列 是等差数列,所以 所以 又 所以公差 所以 所以 5分 (2) 根据题意,对任意的正整数n,不等式 恒成立, 当n=1时, 得 ≥0, 而 =0时,得 显然不是恒成立, 故 ≠0, 所以 >0, 当n≥2时, 所以 所以当n≥2,不等式 恒成立等价于 当 恒成立, 记 且n∈N , 则当n≥2时, 即f(n+1)>f(n), 所以 且n∈N⁺,单调递增, 所以 得 所以所求的实数 的取值范围为 12分 22.【解析】(1) 令t=x+1(t>0), 则.f(t)=alog₃t, 所以f(x)=alog₃x, 因为 所以 所以 4分 (2)(i) 因为f(x)的定义域为[2,+∞), 所以 解得x≥0, 所以 的定义域为[0,+∞). 6分 ( ii) 因为 所以 在[0,+∞)恒成立, 因为 在[0,+∞)单调递减, 所以 的最大值为1,所以k≥1. 又因为 所以 化简得 令 则 在[1,+∞)有唯一实数根, 令 当 时,令 则 所以 得 符合题意,所以 当 时, 所以只需 解得 因为 ,所以此时无解; 综上, 12分 学科网(北京)股份有限公司 $$